СПбГУ, 2016/17, заключительный этап, 9 класс

К противоположным стенам комнаты (шириной \(L=3\) м) прикрепили на одном уровне концы лёгкого резинового троса такой же длины \(L\). Затем к середине троса подвесили груз и аккуратно отпустили. В итоге груз «просел» на «глубину» \(h=2\) м относительно исходного уровня. Какой окажется длина троса (\(L^*\)), если один его конец закрепить на потолке, а к другому подвесить тот же груз? Считать, что груз не касается пола.

Две бесконечные полуплоскости образуют двугранный угол \(\varphi=17^\circ\), внутренние поверхности которого являются зеркалами. Какое максимальное число отражений может претерпеть лазерный луч, произвольно запущенный в этот зеркальный угол?

Из картонного прямоугольника произвольного размера вырезан прямоугольник меньшего размера так, что один угол (отрезанный) у них совпадает (см. рисунок). Соотношение сторон у вырезанного прямоугольника также произвольно. Пользуясь только карандашом и линейкой (без делений) и не прибегая к измерениям и расчётам, требуется построением найти центр масс получившейся фигуры. Дать общий алгоритм построения.

На снегу стоят санки (без спинки) массой \(M = 10\) кг. На них лежит коробка массой \(m = 15\) кг. Коэффициент трения санок о коробку \(\mu_2 = 0{,}6\). Санки тянут с горизонтальной силой \(F\), которую постепенно увеличивают. Когда она достигает значения \(F^* = 150\) Н, коробка начинает соскальзывать с санок назад и падает на снег. Найти коэффициент трения \(\mu_1\) санок о снег.

Два приятеля занимаются стрельбой из пневматического ружья по «летающим тарелкам». Один из них выбрасывает из окна верхнего этажа различные ненужные предметы, а другой с земли (стоя под этим окном) пытается их сбить. Стрелок всегда держит ствол под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{5}{12}\) к вертикали и на каждый бросок мгновенно реагирует выстрелом. Напарник выбрасывает «тарелки» с различной скоростью, но всегда вверх под одним и тем же углом к горизонту \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{3}{4}\). При какой скорости выбрасывания «тарелки» (\(V^*\)) происходит попадание, если скорость вылета пули из ружья \(V_0 = 26\) м/с. Сколько времени (\(T\)) «живёт» и на каком расстоянии (\(L\)) от дома «гибнет» подбитая «тарелка», если она вылетает с высоты \(h = 33\) м над стрелком? Сопротивлением воздуха пренебречь.

На пружине жёсткостью \(k = 100\) Н/м к потолку подвесили груз массой \(m = 8\) кг и раскрутили его в горизонтальной плоскости так, что он начал ходить по кругу, а пружина — описывать коническую поверхность (см. рисунок). В самом конце процесса, когда движение груза почти затухло и угол пружины с вертикалью стал исчезающее малым, период обращения груза по окружности асимптотически подошёл к значению \(T = \pi\) с. Чему равна длина пружины \(L_0\) в ненапряжённом состоянии?

Погрузка песка в различные ёмкости осуществляется с ленты транспортёра, которая движется горизонтально и равномерно со скоростью \(V_0 = 2\) м/с. Песок вертикально падает из бункера на ленту и быстро на ней «успокаивается». Интенсивность (\(\mu\)) подачи песка, т.е. количество песка, падающего на ленту за одну секунду, составляет \(\mu = 50\) кг/с.

Найти следующие параметры:

1. силу (\(F\)), с которой мотор тянет ленту транспортёра;

2. мощность (\(W_0\)), потребляемую мотором, принимая его КПД за \(100\%\);

3. выделяемую в песке и ленте тепловую мощность (\(W_T\)), считая, что песок падает из бункера на ленту с высоты \(h=20\) см.

Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2016/17, заключительный этап, 9 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.