зад 1 Тело и брусок на наклонном клине
Тело массой \(m_1 = 2\) кг находится на наклонной поверхности покоящегося клина, образующей угол \(\alpha = 30^\circ\) с горизонтом. На нём лежит брусок массой \(m_2 = 1\) кг. Коэффициент трения между телом и поверхностью \(\mu_1 = 0{,}1\), между телом и бруском — \(\mu_2 = 0{,}2\).
Найдите ускорения тела \(a_1\) и бруска \(a_2\).
Возможно ли, что при некотором горизонтальном ускорении клина тела будут покоиться относительно него, не отрываясь от его поверхности и друг друга? Если да, то найдите минимальное такое ускорение.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала проверьте, движутся ли тела по клину как одно целое: сравните составляющую силы тяжести вдоль наклона с наибольшей силой трения покоя. Во втором пункте рассмотрите равновесие в системе отсчёта клина.
▶ОтветСкрыть
1) \(a_1 = a_2 = g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha) \approx 4{,}1\) м/с\(^2\); 2) \(a_0 = g\,\dfrac{\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha}{\cos\alpha + \mu_1\sin\alpha} \approx 4{,}6\) м/с\(^2\).
зад 2 Цветочный горшок у окна
Цветочный горшок падает с балкона и за время \(\tau = 0{,}2\) с пролетает мимо окна высотой \(h = 2\) м, расположенного несколькими этажами ниже. Каково расстояние \(x\) от балкона до верхнего края окна.
▶ПодсказкаСкрыть
Обозначьте скорость горшка у верхнего края окна через \(v\): за время \(\tau\) горшок проходит путь \(h\) с этой скоростью, а от балкона до верхнего края окна он падает свободно.
▶ОтветСкрыть
\(x \approx 4{,}05\) м.
зад 3 Два заряда у заземлённой плоскости
Два заряда \(q_1 = 30\) мкКл и \(q_2 = 10\) мкКл находятся на расстояниях \(L = 4\) см и \(2L\) от бесконечной проводящей заземлённой плоскости (по разные стороны от неё) соответственно. Основания перпендикуляров, опущенных на плоскость из точек, в которых расположены заряды, находятся на расстоянии \(L\). Найдите силу, которая действует на заряд \(q_1\).
▶ПодсказкаСкрыть
Заземлённую плоскость можно заменить зарядами-изображениями. На заряд \(q_1\) действуют заряд \(q_2\) и изображения обоих зарядов; учтите, что заряд-изображение имеет знак, противоположный заряду.
▶ОтветСкрыть
\(F \approx 744\) Н.
зад 4 Колесо с шариком на ободе
Колесо, вся масса \(M = 20\) кг которого заключена в ободе радиусом \(R = 2\) м, катят по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью \(v = 5\) км/ч, прикладывая к оси некоторую неизвестную силу \(F\), направленную горизонтально. К внутренней поверхности обода прикреплён маленький шарик массой \(m = 2\) кг. Найдите силу давления колеса на поверхность \(p(t)\). При каких условиях возможно описанное движение?
▶ПодсказкаСкрыть
Центр колеса движется равномерно, а шарик вращается вместе с ободом по окружности радиуса \(R\). Найдите его центростремительное ускорение и запишите второй закон Ньютона для шарика и для обода в вертикальном направлении.
▶ОтветСкрыть
\(p(t) = (m+M)g + m\dfrac{v^2}{R}\cos\dfrac{vt}{R} \approx 220 + 1{,}93\cos(0{,}7\,t)\), где \(p\) — в ньютонах, \(t\) — в секундах; движение возможно, если \(v^2 \le gR\left(1 + \dfrac{M}{m}\right)\).
зад 5 Поршень с политропическим процессом
Невесомый поршень может скользить по гладкой внутренней поверхности вертикально расположенного цилиндра высотой \(L = 1\) м, сечением \(S = 100\) см\(^2\). Начальная температура воздуха \(T_0 = 300\) К, атмосферное давление \(p_0 = 100\) кПа. Цилиндр герметически закрыли поршнем и поставили на него груз массой \(m = 73\) кг. В начальном состоянии плоскость поршня расположена на расстоянии \(L\) от дна цилиндра. При движении поршня реализуется процесс \(pV^3 = \text{const}\). Найдите значения температуры в моменты времени, соответствующие прохождению поршнем 1) положения равновесия; 2) нижней границы движения поршня.
▶ПодсказкаСкрыть
В положении равновесия давление газа находится из условия равновесия поршня с грузом, а температура — из уравнения состояния. В нижней точке скорость поршня равна нулю.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1 = T_0\left(1 + \dfrac{mg}{p_0 S}\right)^{2/3} \approx 432\) К; 2) \(T_2 \approx 613\) К.
зад 6 Деревянный шар на двух нитях в воде
Деревянный шар зафиксирован в воде с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей, как показано на рисунке. Объём шара \(V = 200\) см\(^3\), плотность дерева \(\rho = 900\) кг/м\(^3\), \(\cos\beta = \dfrac{1}{4}\), \(\cos\gamma = \dfrac{2}{3}\), плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\). Найдите силы, с которыми нити действуют на шар в двух случаях: 1) сосуд и его содержимое неподвижны; 2) сосуд и его содержимое двигаются с постоянным ускорением \(a = g/5\). Шар всегда полностью покрыт водой.
▶ПодсказкаСкрыть
Во втором случае в системе отсчёта сосуда на шар действует дополнительная сила инерции, направленная противоположно ускорению сосуда. Для обоих случаев запишите равновесие шара с учётом архимедовой силы, силы тяжести и сил натяжения нитей.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_\gamma \approx 0{,}09\) Н, \(T_\beta \approx 0{,}27\) Н; 2) \(T_\gamma \approx 0{,}02\) Н, \(T_\beta \approx 0{,}22\) Н.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2017/18, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.