зад 1.1 Два камня в шахте (вариант 1)
Два камня подают в шахту. Второй камень начал падать на \(\tau = 1\) с позже первого. Определить характер движения одного камня относительно второго. Сопротивление воздуха не учитывать. На каком расстоянии друг от друга будут камни через \(T = 2\) с после начала падения второго?
▶ПодсказкаСкрыть
Оба камня падают с одним и тем же ускорением \(g\). Как меняется со временем разность их скоростей и что это значит для их относительного движения?
▶ОтветСкрыть
равномерное движение; \(S = g\tau\left(T + \dfrac{\tau}{2}\right) = 25\) м.
зад 1.2 Конденсаторы и ключ (вариант 1)
Конденсаторы ёмкости \(C_1 = 2\) пФ и \(C_2 = 6\) пФ включены в схему, как показано на рисунке. В начальный момент времени ключ находится в среднем положении (0), а конденсаторы не заряжены. Ключ переводят в положение 1 и, через некоторое время, в положение 2. Какая разность потенциалов установится на конденсаторе \(C_1\), если \(\varepsilon_1 = 30\) В, а \(\varepsilon_2 = 45\) В?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите закон сохранения заряда на изолированных обкладках в каждом из двух положений ключа.
▶ОтветСкрыть
\(U_1 = \dfrac{\varepsilon_2 C_2 - \varepsilon_1 C_1}{C_1 + C_2} = 26{,}25\) В.
зад 1.3 Изображение трапеции в линзе (вариант 1)
Постройте изображение равнобедренной трапеции \(ABCD\) в тонкой собирающей линзе и найдите синус изображения угла \(CDA\). Точки \(B\) и \(C\) находятся на расстоянии \(h = 0{,}5\) см от оптической оси, точки \(A\) и \(D\) лежат на оптической оси и расположены симметрично относительно точки \(F\) на расстоянии \(0{,}45\) см, сторона \(BC = 0{,}4\) см. Фокусное расстояние линзы \(F = 1{,}8\) см.
▶ПодсказкаСкрыть
Постройте образы вершин по двум лучам: один проходит через центр линзы, другой параллелен оси и после линзы идёт через фокус. Углы изображения находятся по координатам образов вершин.
▶ОтветСкрыть
\(\sin(C'D'A') \approx 0{,}45\).
зад 1.4 Поршень с политропическим процессом (вариант 1)
Невесомый поршень может скользить по гладкой внутренней поверхности вертикально расположенного цилиндра высотой \(L = 1\) м, сечением \(S = 100\) см\(^2\). Начальная температура воздуха \(T_0 = 300\) К, атмосферное давление \(p_0 = 100\) кПа. Цилиндр герметически закрыли поршнем и поставили на него груз массой \(m = 73\) кг. В начальном состоянии плоскость поршня расположена на расстоянии \(L\) от дна цилиндра. При движении поршня реализуется процесс \(pV^{3/2} = \text{const}\). Найдите температуру газа при прохождении поршнем положения равновесия и наименьшую высоту, которую он достигнет.
▶ПодсказкаСкрыть
Из условия равновесия поршня найдите давление газа в положении равновесия и воспользуйтесь уравнением состояния. Для наименьшей высоты используйте закон сохранения энергии при движении поршня.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1 = T_0\left(1 + \dfrac{mg}{p_0 S}\right)^{1/3} \approx 360\) К; 2) \(x \approx 0{,}47\) м.
зад 1.5 Рамка с током в магнитном поле (вариант 1)
Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси вращения \(OO'\). Масса единицы длины проволоки постоянна и равна \(\rho = 0{,}7\) кг/м. Ток, входящий в рамку, равен \(I = 4\) А. Рамка находится в магнитном поле индукции \(B = 0{,}2\) Тл, направленном параллельно полю тяжести. Определить угол отклонения рамки от вертикали.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила Ампера действует на каждый элемент тока, перпендикулярный полю. Рассмотрите равновесие относительно оси \(OO'\): моменты силы Ампера и сил тяжести должны уравновеситься.
▶ОтветСкрыть
\(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\pi(\pi+4)BI}{4(\pi+1)(\pi+2)\rho g} \approx 0{,}03\).
зад 1.6 Обруч на шероховатой поверхности (вариант 1)
Тонкий обруч массой \(m = 2\) кг скользит без трения по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью \(V = 5\) м/с не вращаясь. Ось обруча горизонтальна, вектор \(V\) лежит в плоскости обруча. В момент времени \(t = 0\) гладкая поверхность заменяется шероховатой с коэффициентом трения \(\mu = 0{,}4\). Найдите установившуюся скорость центра обруча.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила трения меняет и поступательный импульс, и момент импульса обруча. Установившийся режим — движение без проскальзывания в точке контакта.
▶ОтветСкрыть
\(V_{\text{уст}} = V/2 = 2{,}5\) м/с.
зад 2.1 Камень с башни (вариант 2)
Камень падает с башни с нулевой начальной скоростью. Вторую треть пути он пролетел за интервал \(\tau = 1{,}2\) с. Найдите высоту башни \(h\).
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите время падения на первую треть пути и на первые две трети пути через высоту башни, затем найдите их разность.
▶ОтветСкрыть
\(h = \dfrac{3g}{2}\,\tau^2\,(1+\sqrt{2})^2 \approx 126\) м.
зад 2.2 Заряды на шести конденсаторах (вариант 2)
К конденсатору 1 ёмкости \(C = 100\) мкФ, заряженному до разности потенциалов \(U = 6\) В, присоединяются конденсаторы такой же ёмкости, как показано на рисунке. Найти заряд на каждом из шести конденсаторов.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите эквивалентные ёмкости участков схемы; заряд, который уходит с конденсатора 1, распределяется по ветвям схемы в соответствии с их ёмкостями.
▶ОтветСкрыть
\(q_1 = q_2 = \dfrac{CU}{3} = 200\) мкКл; \(q_3 = q_4 = q_5 = q_6 = \dfrac{CU}{6} = 100\) мкКл.
зад 2.3 Площадь изображения треугольника в линзе (вариант 2)
Постройте изображение равнобедренного треугольника \(ABC\) в тонкой собирающей линзе. Какова площадь части действительного изображения, заключённой между плоскостями, расположенными на расстоянии \(20F\) и \(30F\) от плоскости линзы? Точка \(A\) находится на расстоянии \(h = 5\) см от оптической оси, точки \(B\) и \(C\) лежат на оптической оси и расположены относительно точки \(F\) на расстояниях \(b/2 = 2\) см и \(b = 4\) см соответственно. Оптическая сила линзы \(D = 10\) дптр.
▶ПодсказкаСкрыть
Формула тонкой линзы даёт расстояние до изображения каждой вершины; изображение отрезка, перпендикулярного оси, увеличено пропорционально расстоянию до линзы.
▶ОтветСкрыть
\(S \approx 6333\) см\(^2\).
зад 2.4 Поршень с политропическим процессом (вариант 2)
Невесомый поршень может скользить по гладкой внутренней поверхности вертикально расположенного цилиндра высотой \(L = 2\) м, сечением \(S = 100\) см\(^2\). Начальная температура воздуха \(T_0 = 300\) К, атмосферное давление \(p_0 = 100\) кПа. Цилиндр герметически закрыли поршнем и поставили на него груз массой \(m = 66\) кг. В начальном состоянии плоскость поршня расположена на расстоянии \(L\) от дна цилиндра. При движении поршня реализуется процесс \(pV^{5/2} = \text{const}\). Найдите температуру газа при прохождении поршнем положения равновесия и наименьшую высоту, которую он достигнет.
▶ПодсказкаСкрыть
Из условия равновесия поршня найдите давление газа в положении равновесия и воспользуйтесь уравнением состояния. Для наименьшей высоты используйте закон сохранения энергии при движении поршня.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_1 = T_0\left(1 + \dfrac{mg}{p_0 S}\right)^{3/5} \approx 407\) К; 2) \(x \approx 1{,}34\) м.
зад 2.5 Кольцо в неоднородном магнитном поле (вариант 2)
В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса \(a = 1\) м и массы \(m = 500\) г. Сопротивление кольца \(R = 30\) Ом. Плоскость кольца всё время горизонтальна. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется по закону \(B = B_0(1 + \alpha h)\), где \(B_0 = 1\) Тл. Найдите коэффициент \(\alpha\), если установившаяся скорость падения кольца \(V = 30\) м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
При падении кольца меняется поток через него, возникает ЭДС и ток; в установившемся режиме сила Ампера уравновешивает силу тяжести.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = \dfrac{\sqrt{mgR/V}}{B_0\pi a^2} \approx 0{,}71\) м\(^{-1}\).
зад 2.6 Доска на роликах (вариант 2)
Два одинаковых ролика вращаются с одинаковой угловой скоростью в противоположные стороны. Ролик слева — по часовой стрелке, ролик справа — против часовой стрелки. Оси вращения роликов лежат в горизонтальной плоскости, расстояние между ними \(l = 50\) см. На ролики положена доска. Изначально центр доски находился на одинаковом расстоянии от осей роликов. Если ролики начнут вращаться одновременно, то доска останется в равновесии (в состоянии покоя). Но если доску чуть-чуть подтолкнуть вдоль её длины, то она начнёт совершать колебания на роликах в горизонтальной плоскости. Период колебаний \(T = 2\) с. Найдите коэффициент трения доски о ролики \(\mu\).
▶ПодсказкаСкрыть
При смещении доски сила трения со стороны роликов создаёт возвращающую силу, пропорциональную смещению, как у гармонического осциллятора. Сравните её с законом \(T = 2\pi/\omega\).
▶ОтветСкрыть
\(\mu = \dfrac{2\pi^2 l}{gT^2} = 0{,}25\).
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2017/18, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.