зад 1 Маятник на планете X
Космонавты высадились на поверхности планеты X для сбора геофизических сведений. Эксперимент с математическим маятником с длиной подвеса \(50\) см дал значение частоты колебаний \(0{,}5\) Гц. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности исследуемой планеты? Ответ дайте в м/с\(^2\), округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(5\) м/с\(^2\).
▶РешениеСкрыть
Период колебаний математического маятника \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\), где \(L\) — длина подвеса, \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности планеты. Частота связана с периодом соотношением \(\nu = 1/T\). Отсюда \[g = 4\pi^2 L\nu^2 = 4{,}9348~\text{м/с}^2 \approx 5~\text{м/с}^2 .\]
зад 2 Искусственная гравитация
Стэнфордский Тор — проект космической станции, которая могла бы стать одной из первых постоянных внеземных колоний человечества. Станция представляет собой форму тора, вращающегося вокруг своей оси и тем самым обеспечивающего искусственную гравитацию. Каким должен быть период вращения станции радиусом \(1000\) м, чтобы обеспечить гравитационную силу, сходную с Землёй? Ускорение свободного падения на Земле положите равным \(10\) м/с\(^2\). Ответ выразите в секундах и округлите до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(63\) с.
▶РешениеСкрыть
Приравняем центробежное ускорение ускорению свободного падения: \(\omega^2 R = g\), откуда \(\omega = \sqrt{g/R}\). Период \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}} \approx 62{,}8\) с.
зад 3 Поршень в цилиндре
Длинный цилиндрический сосуд, закрытый с одной стороны, расположен горизонтально и разделён невесомым поршнем на две части. Положение поршня зафиксировано. Объём закрытой части сосуда составляет \(1300\) см\(^3\), в ней находится воздух под давлением \(2{,}1\cdot10^5\) Па. Давление воздуха снаружи — \(10^5\) Па. Определите, насколько сместится поршень относительно начального положения, если его отпустить? Температура воздуха остаётся неизменной. Ответ приведите в сантиметрах, округлив до ближайшего целого. Площадь сечения сосуда — \(100\) см\(^2\). Поршень движется без трения.
▶ОтветСкрыть
\(14\) см.
▶РешениеСкрыть
При смещении поршня происходит изотермическое расширение по закону Бойля–Мариотта \(pV = p_1V_1\). Поршень движется, пока давление внутри закрытой части не станет атмосферным \(p_0\). Тогда установившийся объём \(V_1 = \dfrac{pV}{p_0}\), а смещение поршня \[\Delta l = \left(\frac{p}{p_0} - 1\right)\frac{V}{S} = 14{,}3~\text{см} \approx 14~\text{см}.\]
зад 4 Рельсотрон
Рельсотрон — электромагнитный ускоритель, состоящий из источника питания, двух параллельно расположенных металлических рельсов и проводящего снаряда, который замыкает всю цепь и движется вдоль рельсов под действием силы Лоренца. Рассчитайте, до какой скорости рельсотрон может разогнать снаряд массы \(1\) кг, если движущий импульс тока создаётся путём быстрой полной разрядки конденсатора ёмкостью \(16{,}2\) мкФ, изначально заряженного до напряжения \(30\) кВ, а коэффициент полезного действия равен \(20\%\)? Ответ приведите в м/с, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(54\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Энергия конденсатора \(\dfrac{CU^2}{2}\) с учётом КПД \(\mu\) идёт на кинетическую энергию снаряда: \[\mu\frac{CU^2}{2} = \frac{mv^2}{2}, \qquad v = U\sqrt{\frac{\mu C}{m}}.\] Подставляя \(U = 30\) кВ, \(C = 16{,}2\) мкФ, \(\mu = 0{,}2\), \(m = 1\) кг, получаем \(v = 54\) м/с.
зад 5 Трубка Кундта
В демонстрационную лабораторию университета города N установили «трубку Кундта» — экспериментальный прибор, представляющий собой прозрачную трубу, один конец которой запаян, а в другом закреплён динамик, подключённый к генератору гармонических сигналов. В трубке находится небольшое количество лёгкого порошка. При тестовом запуске прибора на динамик подали гармонический сигнал с частотой \(1715\) Гц. Порошок в трубке под действием акустических вибраций скопился в узлах установившейся стоячей звуковой волны, а на всей длине трубы поместилось \(10\) скоплений. Определите длину трубки. Ответ приведите в метрах. Скорость звука в воздухе считать равной \(343\) м/с.
▶ОтветСкрыть
\(1\) м.
▶РешениеСкрыть
Условие стоячей волны: на длине трубы помещается целое число полуволн, \(L = N\dfrac{\lambda}{2} = N\dfrac{c_\text{зв}}{2\nu}\). Отсюда \(L = 10\cdot\dfrac{343}{2\cdot1715} = 1\) м.
зад 6 Три заряда в вершинах треугольника
В вершинах равностороннего треугольника расположены положительные заряды одинаковой величины. Один из зарядов затем заменили на вдвое больший заряд того же знака. Найдите отношение напряжённостей электрического поля в центре треугольника до и после замены заряда.
▶ОтветСкрыть
\(0\).
▶РешениеСкрыть
Изначально система симметрична относительно центра треугольника: электрические поля зарядов, складываясь векторно, дают ноль. Так как после замены заряда поле в этой точке становится ненулевым, искомое отношение равно \(0\).
зад 7 Мяч с края обрыва
На краю вертикального обрыва высотой \(8{,}8\) м от поверхности земли находится мяч для гольфа. После удара клюшкой мяч приобрёл начальную вертикальную скорость \(20\) м/с, направленную вверх. Какой была горизонтальная скорость мяча, если мяч пролетел \(110\) м по горизонтали до соприкосновения с поверхностью земли? Трением мяча о воздух и размером мяча пренебречь. Ответ приведите в м/с, округлив до ближайшего целого. Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ОтветСкрыть
\(25\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Вертикальная координата мяча \(h(t) = h_0 + v_{y0}t - \dfrac{gt^2}{2}\). Время полёта до земли (при \(h = 0\)): \(t = \dfrac{v_{y0} + \sqrt{v_{y0}^2 + 2gh_0}}{g}\). Горизонтальная скорость \[v_{x0} = \frac{L}{t} = \frac{gL}{v_{y0} + \sqrt{v_{y0}^2 + 2gh_0}} = 25~\text{м/с}.\]
зад 8 Качели после толчка
Груз массой \(1{,}1\) кг закреплён на жёстких невесомых качелях длиной \(1\) м. Качели толкают в течение времени \(0{,}4\) с с силой \(8{,}7\) Н. На какой максимальный угол отклонятся качели от вертикали после этого толчка? Ответ приведите в градусах и округлите до ближайшего целого. Размерами груза по сравнению с длиной качелей и смещением груза за время действия силы пренебречь. Считать ускорение свободного падения равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ОтветСкрыть
\(60^\circ\).
▶РешениеСкрыть
По закону изменения импульса за время действия силы \(F\): \(mv - 0 = Ft\), откуда \(v = \dfrac{Ft}{m}\). По закону сохранения энергии кинетическая энергия в нижней точке переходит в потенциальную в верхней, \(h = L(1 - \cos\alpha)\): \[\frac{mv^2}{2} = mgL(1 - \cos\alpha) \quad\Rightarrow\quad \cos\alpha = 1 - \frac{(Ft)^2}{2gLm^2}.\] Тогда \(\alpha = \arccos\left(1 - \dfrac{(Ft)^2}{2gLm^2}\right) = 60^\circ\).
зад 9 Тело в слоистых жидкостях
В сосуд последовательно наливают жидкости трёх типов с плотностями \(1300\), \(1050\) и \(900\) кг/м\(^3\). Жидкости при этом не перемешиваются и образуют три слоя. Толщина среднего слоя жидкости составила \(8\) см. В сосуд затем помещают сплошной прямоугольный параллелепипед высотой \(15\) см таким образом, что его основание параллельно границам раздела жидкостей. Определите минимальную плотность помещённого в жидкость тела, при котором оно будет плавать, пересекая обе границы раздела жидкостей. Объём параллелепипеда много меньше объёма каждой жидкости, а толщина верхнего и нижнего слоёв превышает высоту параллелепипеда.
▶ОтветСкрыть
\(980\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим глубину погружения в слои 1 (нижний) и 3 (верхний) как \(\Delta h_1\) и \(\Delta h_3\), а слоя 2 (средний) — как \(\Delta h_2\). Второй закон Ньютона для тела площади основания \(S\) и высоты \(h\) с плотностью \(\rho_0\): \[\rho_0 g h = \rho_1 g\Delta h_1 + \rho_2 g\Delta h_2 + \rho_3 g\Delta h_3 .\] Минимальная плотность соответствует предельному случаю, когда тело касается второй границы раздела при \(\Delta h_1 = 0\), то есть \(\rho_0 g h = \rho_2 g\Delta h_2 + \rho_3 g\Delta h_3\), где \(h = \Delta h_2 + \Delta h_3\). Отсюда \[\rho_0 = \frac{\rho_2\Delta h_2 + \rho_3(h - \Delta h_2)}{h} = 980~\text{кг/м}^3 .\]
зад 10 Амперметр Вани
У Вани есть старый амперметр постоянного тока с пределом измерения тока \(1\) А. Для увеличения этого предела Ваня решил использовать имеющийся у него набор современных резисторов с малым сопротивлением. Подключив один такой резистор \(R_1\) параллельно амперметру, Ваня заметил, что предел измерения амперметра увеличился в \(2\) раза. При подключении вместо него резистора \(R_2\) предел измерения увеличился в \(3\) раза. Во сколько раз увеличится предел измерения, если к амперметру параллельно подключить батарею из двух резисторов \(R_1\), соединённых параллельно, и последовательно соединённого с ними резистора \(R_2\)? Ответ округлите до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(2\).
▶РешениеСкрыть
Пусть предел измерения амперметра \(I_0\), его сопротивление \(r\). При подключении резистора \(R\) параллельно амперметру суммарный ток \(I = I_0\left(1 + \dfrac{r}{R}\right)\). Отсюда \(n = I/I_0 = 1 + \dfrac{r}{R_1}\), то есть \(R_1 = \dfrac{r}{n - 1}\), а для \(R_2\): \(R_2 = \dfrac{r}{m - 1}\), где \(n = 2\), \(m = 3\).
Батарея в условии имеет суммарное сопротивление \(R_\Sigma = \dfrac{R_1}{2} + R_2 = \dfrac{r}{2(n-1)} + \dfrac{r}{m-1}\). Следовательно, искомое увеличение предела \[x = \frac{I_\Sigma}{I_0} = 1 + \frac{r}{R_\Sigma} = 1 + \frac{1}{\dfrac{1}{2(n-1)} + \dfrac{1}{m-1}} = 2 .\]
зад 11 Нагрев льда переменным током
Нагревательный элемент с неизвестным сопротивлением подключён в цепь переменного тока с амплитудой напряжения \(50\) В и частотой \(50\) Гц. Элемент помещают в сосуд со смесью воды и льда общей массой \(1100\) г при температуре \(0\,^\circ\)C. Через \(16\) минут температура воды в сосуде стала равной \(10\,^\circ\)C. Определите величину сопротивления нагревательного элемента. Ответ приведите в омах, округлив до ближайшего целого. Начальное массовое соотношение воды и льда в сосуде было \(10{:}1\). Удельная теплота плавления льда равна \(334\) кДж/кг, теплоёмкость воды равна \(4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C). Теплообменом с окружающей средой и стенками сосуда пренебречь.
▶ОтветСкрыть
\(15\) Ом.
▶РешениеСкрыть
Количество теплоты, выделившейся на резисторе, ушло на плавление льда и разогрев воды: \(Q = \lambda\Delta m + C(m + \Delta m)\Delta T\). Здесь начальное соотношение воды и льда \(10{:}1\) даёт лёд массой \(100\) г (\(\Delta m = 0{,}1\) кг) и воду \(1000\) г.
Мощность, выделяющаяся на резисторе, равна \(P = \dfrac{U_m^2}{2R} = \dfrac{Q}{t}\), откуда \[R = \frac{U_m^2\,t}{2\left(\lambda\Delta m + C(m+\Delta m)\Delta T\right)} .\] Подставляя \(U_m = 50\) В, \(t = 960\) с, \(\lambda\Delta m = 33{,}4\) кДж, \(C(m + \Delta m)\Delta T = 46{,}2\) кДж, получаем \(R \approx 15\) Ом.
зад 12 Шарик на резиновом жгуте
К вертикальному шесту прикрепляют металлический шарик массой \(400\) г на идеальном резиновом жгуте жёсткостью \(50\) Н/м с начальной длиной \(4\) см. Шарик на жгуте начинают вращать с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг линии шеста. При какой минимальной угловой скорости вращения \(\omega\) шарик оторвётся от поверхности шеста? Радиус шарика много меньше длины жгута. Ускорение свободного падения считать равным \(10\) м/с\(^2\). Ответ приведите в рад/с, округлив до ближайшего целого.
Подсказка (будет приведена в условии для 10-го класса): косинус малого угла приближённо равен 1, синус малого угла — самому углу.
▶ОтветСкрыть
\(9\) рад/с.
▶РешениеСкрыть
Второй закон Ньютона в проекциях, пока угол \(\alpha\) ненулевой: \[\begin{cases} F_\text{упр}\sin\alpha = F_\text{цб},\\ F_\text{упр}\cos\alpha = mg. \end{cases}\] Подставим \(F_\text{упр} = k(l - l_0)\) и \(F_\text{цб} = m\omega^2 r = m\omega^2 l\sin\alpha\): \(k(l - l_0) = m\omega^2 l\) и \(k(l - l_0)\cos\alpha = mg\).
При очень малом угле \(\cos\alpha = 1\), тогда \((l - l_0) = mg/k\), и \[\omega^2 = \frac{k(l - l_0)}{ml} = \frac{g}{l} = \frac{g}{l_0 + mg/k} .\] Отсюда \(\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l_0 + mg/k}} \approx 9\) рад/с.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2020/21, отборочный этап, 10-11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.