зад 1 Плот «Кон-Тики»
В 1947 году норвежский археолог и путешественник Тур Хейердал предпринял морскую экспедицию, целью которой было доказать возможность пересечения Тихого океана коренными народами Южной Америки. На примитивном плоту «Кон-Тики» он и его напарники, отправившись из Перу и в течение \(101\) дня преодолев расстояние в \(4300\) морских миль, успешно достигли островов Полинезии. Оцените среднюю скорость плота за время путешествия. Ответ дайте в км/час, округлив до ближайшего целого. Морская миля составляет \(1852\) м.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время; переведите сутки в часы и мили в километры.
▶ОтветСкрыть
\(3\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
\(t = 101 \cdot 24 = 2424\) ч; \(L = 4300 \cdot 1{,}852 = 7963{,}6\) км; \(v = \dfrac{7963{,}6}{2424} = 3{,}29\) км/ч.
зад 2 Утюг с чугунной подошвой
До появления электрических утюгов для глажения белья использовались, в частности, утюги с чугунной подошвой, нагреваемые на открытом пламени. Какое количество теплоты нужно сообщить подобному утюгу с массой подошвы в \(1{,}5\) кг, чтобы погладить изделие из нейлона (рекомендуемая температура глажки \(110\,^\circ\text{C}\))? Удельная теплоемкость чугуна \(540\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), комнатная температура \(20\,^\circ\text{C}\). Нагрев считайте равномерным, теплопотерями пренебрегите. Ответ дайте в килоджоулях, округлив до ближайшего целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Количество теплоты при нагреве тела равно массе, умноженной на удельную теплоёмкость и на изменение температуры.
▶ОтветСкрыть
\(73\) кДж.
▶РешениеСкрыть
\[Q = m\,c_{\text{ч}}\,(t_{\text{г}} - t_{\text{к}}) = 1{,}5 \cdot 540 \cdot 90 = 72\,900~\text{Дж}.\]
зад 3 Рычаг и пружина
Невесомый рычаг насажен на горизонтальную ось и может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг нее. Отношение длины правого плеча к левому равно \(4\). Правый край рычага соединен с потолком пружиной жесткостью \(50\) Н/м, а к левому подвешен груз массой \(100\) г. Рычаг находится в горизонтальном положении. Определите величину сжатия пружины. Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным \(10\) Н/кг. Ответ дайте в миллиметрах, округлив до ближайшего целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия моментов относительно оси и сравните плечи сил упругости и тяжести.
▶ОтветСкрыть
\(5\) мм.
▶РешениеСкрыть
\[F_{\text{упр}} = k\,\Delta x, \qquad F_{\text{т}} = g m.\] Правило моментов: \(l_{\text{л}} F_{\text{т}} = l_{\text{п}} F_{\text{упр}}\), откуда \(F_{\text{упр}} = \dfrac{l_{\text{л}}}{l_{\text{п}}} F_{\text{т}} = \dfrac{F_{\text{т}}}{q}\) и \[\Delta x = \frac{g m}{k q} = 5~\text{мм}.\]
зад 4 Объектив Вовочки
На свою фотокамеру Вовочка установил самодельный объектив с фокусным расстоянием \(20\) мм таким образом, что расстояние от матрицы камеры до линзы объектива, которую можно считать тонкой, могло меняться в пределах от \(15\) до \(25\) мм. На каком минимальном расстоянии до линзы объектива может быть установлен снимаемый объект, чтобы Вовочке удалось получить его чёткую фотографию? Ответ приведите в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
Чем ближе предмет к линзе, тем дальше изображение; подумайте, при каком расстоянии до матрицы предмет окажется ближе всего.
▶ОтветСкрыть
\(100\) мм.
▶РешениеСкрыть
Формула тонкой линзы: \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\). Чем ближе объект к линзе, тем дальше его изображение, поэтому выбираем максимальное расстояние от линзы до матрицы \(a = 25\) мм. Тогда \[b = \left(\frac{1}{f} - \frac{1}{a}\right)^{-1} = 100~\text{мм}.\]
зад 5 Драг-рэйсинг
Официальные состязания по драг-рэйсингу проходят на прямых идеально ровных трассах. Длина маршрута составляет \(1000\) футов (\(304\) метра). Оцените, с какой скоростью пересекает финишную черту гоночный болид высшей категории “top-fuel”, если, двигаясь равноускоренно, всю дистанцию он проходит за \(4\) с. Ответ приведите в км/ч, округлив до ближайшего целого.
▶ПодсказкаСкрыть
При равноускоренном движении из старта средняя скорость равна половине конечной.
▶ОтветСкрыть
\(547\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
\[v = \frac{2L}{t} = \frac{608}{4} = 152~\frac{\text{м}}{\text{с}} = 547{,}2~\text{км/ч}.\]
зад 6 Вольтметры в цепи
Для регистрирования малого постоянного тока в цепи с резистора \(R = 0{,}1\) МОм снимают показание напряжения при помощи параллельно подключенного вольтметра. Первичное измерение дало значение напряжения в \(10\) В. Для проверки этого значения аналогичным образом дополнительно к первому подключили второй вольтметр, идентичный первому. Оба прибора во время второго измерения показали одинаковое значение напряжения, однако отличающееся в меньшую сторону от первого измерения на \(0{,}19\) В. Найдите внутреннее сопротивление вольтметра. Ответ приведите в мегаомах, округлив до ближайшего целого. Суммарный ток в цепи не изменялся.
▶ПодсказкаСкрыть
Приравняйте токи в цепи в двух измерениях: сопротивление параллельного участка с вольтметром \(R_v\) одно, с двумя вольтметрами — другое.
▶ОтветСкрыть
\(5\) МОм.
▶РешениеСкрыть
С одним вольтметром: \(I = \dfrac{U_1}{R_{\Sigma 1}} = U_1\left(\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R_v}\right)\); с двумя: \(I = \dfrac{U_2}{R_{\Sigma 2}} = U_2\left(\dfrac{1}{R} + \dfrac{2}{R_v}\right)\), где \(U_2 = U_1 - \Delta U\). Ток один и тот же, отсюда \[R_v = R\left(\frac{U}{\Delta U} - 2\right) \approx 5~\text{МОм}.\]
зад 7 Дизельный насос
Воду из колодца глубиной \(10\) м качают при помощи электрического насоса, питаемого от дизельного генератора. Какой объём воды можно извлечь из колодца, израсходовав \(200\) миллилитров топлива, если КПД всей установки составляет \(0{,}2\)? Удельная теплота сгорания дизельного топлива \(q = 42{,}7\) МДж/кг, плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность топлива \(\rho_{\text{д}} = 860\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения считать равным \(10\) Н/кг. Ответ выразите в кубических метрах, округлив до ближайшего целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
КПД связывает энергию, выделившуюся при сгорании топлива, с работой по подъёму воды.
▶ОтветСкрыть
\(15\) м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
При сгорании топлива выделяется энергия \(E = m_{\text{д}} q = \rho_{\text{д}} V_{\text{д}} q\), полезная работа \(W = \mu E\). С другой стороны, работа по подъёму воды \(W = m_{\text{в}} g H = \rho_{\text{в}} V_{\text{в}} g H\). Приравнивая, \[V_{\text{в}} = \frac{\mu\,\rho_{\text{д}} V_{\text{д}}\,q}{\rho_{\text{в}}\,g H} \approx 15~\text{м}^3.\]
зад 8 Платиновый кубик
Раскалённый до температуры \(490\,^\circ\text{C}\) платиновый кубик со стороной \(5\) см поместили в пустой сосуд с площадью основания \(40\) см\(^2\). Второй такой же сосуд наполнен водой при температуре \(74\,^\circ\text{C}\) до уровня \(8\) см. Всю воду из второго сосуда медленно переливают в сосуд с кубиком. Насколько выше будет уровень воды в сосуде с кубиком после установления равновесия по сравнению с исходным уровнем воды во втором сосуде? Удельная теплоёмкость воды \(4{,}2\cdot 10^3\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплоёмкость платины \(133\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплота парообразования воды \(2{,}3\cdot 10^6\) Дж/кг, плотность воды \(1000\) кг/м\(^3\), плотность платины \(21400\) кг/м\(^3\). Тепловыми потерями и изменением плотностей веществ пренебречь. Ответ приведите в сантиметрах, округлив до ближайшего целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепло от кубика идёт на нагрев воды и на её испарение; вода, которая испарилась, уже не даёт уровня.
▶ОтветСкрыть
\(2\) см.
▶РешениеСкрыть
Тепло от кубика: \(Q_m = c_m a^3 \rho_m (T_1 - 100)\). Тепло, идущее на нагрев и испарение воды: \(Q_w = c_w \rho_w S h (100 - T_2) + L\,\Delta m\). Изменение уровня воды из-за испарения: \[\Delta h_v = \frac{c_m a^3 n (T_1 - 100) - c_w S h (100 - T_2)}{S}.\] Общее изменение уровня: вытесненная кубиком вода минус испарившаяся, \[\Delta h = \frac{a^3}{S} - \Delta h_v \approx 2~\text{см}.\]
зад 9 Сообщающиеся сосуды с платформами
Два сообщающихся сосуда с площадями оснований \(50\) и \(10\) см\(^2\) заполнены водой. В каждом сосуде на поверхности воды находится по невесомой платформе, плотно прилегающей к стенкам сосуда. Платформа в меньшем сосуде прикреплена ко дну сосуда пружиной жесткостью \(12\) Н/м. В этом состоянии платформа в большем сосуде расположена на \(3\) см выше платформы в меньшем сосуде. Определите, какой массы груз надо поставить на платформу в большом сосуде, чтобы обе платформы расположились на одном уровне. Ответ приведите в граммах, округлив до ближайшего целого. Плотность воды равна \(1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Давления на одном уровне в обеих жидкостях равны; в начальном положении давление пружины компенсирует разность уровней платформ.
▶ОтветСкрыть
\(300\) г.
▶РешениеСкрыть
Здесь \(S_1\) — площадь меньшего сосуда, \(S_2\) — большего. Баланс давлений в начальной ситуации: \[\rho g h_1 + \frac{k\Delta x}{S_1} = \rho g h_2, \qquad \rho g\,\Delta h = \frac{k\Delta x}{S_1}.\] После того как на большую платформу поставили груз, баланс давлений: \[\rho g h' + \frac{k(\Delta x + \Delta h_1)}{S_1} = \rho g h' + \frac{m g}{S_2}.\] Отсюда \(\rho g\,\Delta h + \dfrac{k\,\Delta h_1}{S_1} = \dfrac{m g}{S_2}\) и \[m = \frac{S_2}{S_1}\left(\rho\,\Delta h\,S_1 + \frac{k\,\Delta h_1}{g}\right).\] Из несжимаемости \(S_1\Delta h_1 = S_2\Delta h_2\) и \(\Delta h_1 + \Delta h_2 = \Delta h\) получаем \(\Delta h_1 = \dfrac{\Delta h}{1 + S_1/S_2}\), откуда \[m = \frac{S_2}{S_1}\,\Delta h\left(\rho S_1 + \frac{k}{g\,(1 + S_1/S_2)}\right) \approx 300~\text{г}.\]
зад 10 Рычаг со льдинками
Невесомый рычаг длиной \(120\) см закреплен на горизонтальной оси, проходящей через него на расстоянии \(90\) см от левого края, и может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг нее. К концам рычага подвесили льдинки, находящиеся при температуре плавления. Рычаг находится в горизонтальном положении. Льдинки начали греть: левую нагревателем с мощностью \(P_1\), правую нагревателем с мощностью \(P_2\). Пока одна из льдинок не растаяла, рычаг оставался горизонтальным. Найти отношение мощностей \(P_2 : P_1\). Считайте, что все тепло от нагревателей идет на плавление льдинок.
▶ПодсказкаСкрыть
Масса каждой льдинки уменьшается пропорционально мощности нагревателя; сохраните равенство моментов в каждый момент.
▶ОтветСкрыть
\(3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть масса левой льдинки \(m_1\), правой \(m_2\), удельная теплота плавления льда \(R\). Вначале рычаг горизонтален: \(m_1 \cdot l = m_2 (L - l)\), где \(l = 90\) см, \(L - l = 30\) см. За малое время \(dm_1 = P_1 dt / R\), \(dm_2 = P_2 dt / R\), условие равновесия сохраняется: \(dm_1\, l = dm_2\,(L - l)\). Отсюда \(P_1 l = P_2 (L - l)\), т.е. \(P_2 : P_1 = l : (L - l) = 3\).
зад 11 Мензурка в масле и керосине
В цилиндрическом сосуде с маслом (плотность масла \(0{,}9\) г/см\(^3\)) плавает тонкостенная мензурка с \(80\) мл воды (плотность \(1\) г/см\(^3\)). Мензурка погружена в масло на \(14\) см. В сосуд поверх масла аккуратно наливают керосин (плотность керосина \(0{,}8\) г/см\(^3\)) так, что поверхность масла и поверхность воды оказываются на одном уровне. Найдите объём налитого керосина. Ответ дайте в миллилитрах, округлив до ближайшего целого. Мензурка вертикальна, не касается дна. Площадь основания сосуда \(24\) см\(^2\), мензурки — \(8\) см\(^2\). Жидкости не смешиваются.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие плавания мензурки до и после наливания керосина; высоту слоя керосина выразите через разность уровней.
▶ОтветСкрыть
\(72\) мл.
▶РешениеСкрыть
До наливания керосина: на мензурку действуют сила тяжести \(g M\) (масса мензурки и воды) и сила Архимеда \(g\rho_1 S_2 h_1\), условие равновесия \(\rho_1 S_2 h_1 = M\). После наливания керосина (плотность \(\rho_3\), слой толщиной \(h\)) условие равновесия \(\rho_1 V + \rho_3 S_2 h = \rho_1 S_2 h_1\), где \(V\) — объём воды в мензурке. Отсюда \[h = \frac{\rho_1}{\rho_3}\left(h_1 - \frac{V}{S_2}\right) = \frac{0{,}9}{0{,}8}\left(14 - 10\right)~\text{см} = 4{,}5~\text{см}.\] Объём керосина \(h\,(S_1 - S_2) = 4{,}5 \cdot 16 = 72\) см\(^3\).
зад 12 Липкий шарик
Небольшой липкий шарик подбрасывают вверх с высоты в \(1{,}25\) м над уровнем пола так, что он прилипает к потолку. Определите время движения шарика до потолка, если высота потолка равна \(5\) м, а в первые \(200\) мс движения он пролетел \(48\%\) всего пути. Ответ приведите в миллисекундах, округлив до ближайшего целого. Ускорение свободного падения считать равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Составьте уравнения движения для первого отрезка пути и для всего пути до потолка; найдите начальную скорость и время.
▶ОтветСкрыть
\(500\) мс.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(n\) — данная часть пути, \(H\) — высота потолка, \(t_0\) — всё время движения, \(t_1\) — данное время первого отрезка пути. Для первого отрезка: \[n(H - h_0) = v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2}, \qquad v_0 = \frac{n(H - h_0)}{t_1} - \frac{g t_1}{2} = 10~\text{м/с}.\]
Для всего движения: \((H - h_0) = v_0 t_0 - \dfrac{g t_0^2}{2}\), что даёт квадратное уравнение \(5 t_0^2 - 10 t_0 + 3{,}75 = 0\), откуда \(t_0 = 1 \pm 0{,}5\) с. Из двух корней выбираем меньший: \(t_0 = 0{,}5\) с.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2020/21, отборочный этап, 7-9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.