СПбГУ, 2020/21, заключительный этап, 7-8 класс

Первый парашютист раскрыл парашют сразу после прыжка, поэтому его путь с раскрытым парашютом равен высоте полёта самолёта. Выразите горизонтальные смещения парашютистов через интервал между прыжками и сравните катеты двух прямоугольных треугольников.

\(h\approx 3\) км.

Первый парашютист раскрыл парашют сразу после прыжка, значит, пройденный им путь с раскрытым парашютом равен высоте полёта самолёта \(h\). Первые три парашютиста провели с раскрытым парашютом одинаковое время с одинаковой скоростью и приземлились в одну точку, значит, их пути с раскрытым парашютом одинаковы.

Пусть \(\tau\) — интервал между прыжками, \(u\) — скорость самолёта. Второй парашютист раскрыл парашют на высоте \(h_1=2{,}86\) км, третий — на высоте \(h_2=2\) км. По рисунку горизонтальные катеты равны \(2u\tau\) и \(5u\tau\). По теореме Пифагора: \[\begin{cases} h^2=h_1^2+(2u\tau)^2,\\ h^2=h_2^2+(5u\tau)^2. \end{cases}\] Из первого уравнения \((u\tau)^2=\dfrac{h^2-h_1^2}{4}\). Подставляя во второе: \[h^2=h_2^2+\frac{25}{4}\left(h^2-h_1^2\right), \qquad h^2=\frac{25h_1^2-4h_2^2}{21}\approx 9\ \text{км}^2.\] Отсюда \(h\approx 3\) км.

Динамометр показывает вес нижнего грузика, а объёмы грузиков равны, поэтому их веса связаны через плотности. Далее запишите правило моментов для рычага до и после переноса нити.

Сила натяжения правой нити увеличилась на \(30\) Н.

Обозначим \(D=60\) Н, \(m_1\) — масса верхнего грузика, \(m_2\) — масса нижнего. Динамометр показывает силу упругости, равную весу нижнего грузика: \(D=m_2g\). Так как грузики одинакового объема и \(\rho_2=2\rho_1\), то \(m_1=\dfrac{m_2}{2}\).

Из рисунка плечи сил на рычаге: \(l_1=4\), \(l_2=3\) (до наращивания нити), \(l_2'=1\) (после наращивания нити), \(l_3=3\) (в условных единицах). Силы, действующие на рычаг до и после переноса нити: \[F_1=\frac{m_1g+m_2g}{2}=\frac{3m_2g}{4}=\frac{3D}{4}, \qquad F_2=\frac{F_1}{2}, \qquad F_2'=F_2,\quad F_1'=F_1.\] Правило моментов до переноса: \(F_1l_1=F_2l_2+F_3l_3\); после: \(F_1l_1+F_2l_2'=F_3'l_3\). Тогда \[\Delta F_3=F_3'-F_3=\frac{F_2(l_2+l_2')}{l_3}=\frac{l_2+l_2'}{l_3}\cdot\frac{F_1}{2} =\frac{1+3}{3}\cdot\frac{3\cdot 60}{4\cdot 2}=30~\text{Н}.\]

Запишите условие плавания кубика до и после долива, учитывая, что пружина растягивается, и выразите площадь основания кубика через изменение его погружения.

\(\Delta h=\dfrac{V+\frac{k\,\Delta x}{\rho g}}{S_0}-\Delta x\), где \(S_0\) — площадь основания сосуда, \(V\) — долитый объём, \(k\) — жесткость пружины, \(\Delta x\) — её растяжение. По формуле при данных значениях получается порядка \(50\) см, поэтому численные значения в условии, по решению, указаны некорректно.

Обозначим начальное погружение кубика \(h\), площадь его основания \(S\), массу \(m\). В состоянии равновесия пружина не растянута: \(\rho gSh=mg\). Объем жидкости в сосуде до долива \(V_0=h(S_0-S)+x_0S_0\), где \(x_0\) — длина недеформированной пружины, \(S_0\) — площадь основания сосуда.

После долива объем \(V\) жидкости и растяжение \(\Delta x\) пружины, погружение кубика увеличилось на \(\Delta h\). Равновесие: \(\rho gS(h+\Delta h)=mg+k\Delta x\), откуда \(\rho gS\Delta h=k\Delta x\), то есть \(S=\dfrac{k\Delta x}{\rho g\Delta h}\).

Объем жидкости после долива: \(V_0+V=(h+\Delta h)(S_0-S)+(x_0+\Delta x)S_0\). Приравнивая, получаем \(\Delta h(S_0-S)+\Delta xS_0=V\). Подставляя \(S\): \[\Delta h\,S_0-\frac{k\Delta x}{\rho g}+\Delta x\,S_0=V, \qquad\text{откуда}\qquad \Delta h=\frac{V+\dfrac{k\Delta x}{\rho g}}{S_0}-\Delta x.\]

Пишите условие равновесия давлений в соединённых сосудах на уровне дна трубки для каждого шага отдельно: сначала при открытом кране \(k_1\), затем при открытом кране \(k_2\).

\(\rho_1:\rho_2:\rho_3=30:5:4\).

Пусть при открытии крана \(k_1\) жидкость из левого сосуда образовала у дна центрального сосуда слой толщиной \(a\). Условие равновесия: \[(h_1-a)\rho_1=h_2\rho_2+a\rho_1\quad\Rightarrow\quad a=\frac{h_1\rho_1-h_2\rho_2}{2\rho_1}.\] Затем открыт кран \(k_2\), и из центрального сосуда в правый затекает только жидкость плотности \(\rho_1\) толщиной \(b\) под жидкостью \(\rho_3\). Условие равновесия: \[h_2\rho_2+(a-b)\rho_1=h_3\rho_3+b\rho_1\quad\Rightarrow\quad b=\frac{a\rho_1+h_2\rho_2-h_3\rho_3}{2\rho_1}.\] По условию \(h_1-a=p(a-b)\) и \(h_1-a=q\,b\), где \(p=2\) и \(q=4\) (кратности из условия). Исключая \(a\) и \(b\) через плотности, получаем систему \[2(h_1\rho_1+h_2\rho_2)=p\,(h_1\rho_1-3h_2\rho_2+2h_3\rho_3), \qquad 2(h_1\rho_1+h_2\rho_2)=q\,(h_1\rho_1+h_2\rho_2-2h_3\rho_3).\] Подставляя \(h_1=14\), \(h_2=12\), \(h_3=30\) см и \(p=2\), \(q=4\): \(48\rho_2=60\rho_3\), откуда \(\dfrac{\rho_2}{\rho_3}=\dfrac54\); и \(14\rho_1+12\rho_2=120\rho_3=96\rho_2\), откуда \(\rho_1=6\rho_2\). Значит, \(\rho_1:\rho_2:\rho_3=6:1:\dfrac45=30:5:4\).

Каждый раз нагревается одна и та же порция воды и сам сосуд. Запишите тепловой баланс для трёх повторений и вычтите уравнения друг из друга, чтобы исключить подводимую теплоту \(Q\).

\(T_3=62\,^\circ\)C.

Пусть \(m\) — масса воды, \(c\) — её удельная теплоемкость, \(C\) — теплоемкость сосуда, \(Q\) — теплота, подводимая за один нагрев, \(T_0=0\,^\circ\)C, \(T_1=50\,^\circ\)C, \(T_2=60\,^\circ\)C. Баланс для трех повторений: \[cmT_0+CT_0+Q=cmT_1+CT_1, \qquad cmT_0+CT_1+Q=cmT_2+CT_2, \qquad cmT_0+CT_2+Q=cmT_3+CT_3.\] Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем \[C(T_1-T_0)=cm(T_2-T_1)+C(T_2-T_1), \qquad C(T_2-T_0)=cm(T_3-T_1)+C(T_3-T_1).\] Из первого соотношения \(C=\dfrac{cm(T_2-T_1)}{2T_1-T_2-T_0}\). Подставляя во второе, получаем \[T_3=T_1+\frac{(T_2-T_1)(T_2-T_0)}{T_1-T_0}.\] При \(T_0=0\), \(T_1=50\), \(T_2=60\): \(T_3=50+\dfrac{10\cdot 60}{50}=62\,^\circ\)C.