СПбГУ, 2020/21, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

В начальном состоянии пружина не растянута, и вес кубика уравновешен силой Архимеда. После долива условие равновесия содержит силу упругости; объём долитой жидкости связан с изменением уровня и площадью сосуда без кубика.

Ответ

\(\Delta h = \dfrac{V + k\,\Delta x/(\rho g)}{S_0} - \Delta x\); численные значения в условии указаны некорректно (при подстановке получается порядка \(50\) см).

Решение

Обозначим изначальное погружение кубика в жидкость как \(h\). В состоянии равновесия пружина не растянута: \[\rho g S h = mg,\] где \(\rho\) — плотность жидкости, \(S\) — площадь основания кубика, \(m\) — масса кубика.

Объём жидкости в сосуде \(V_0\) выражается через длину пружины в нерастянутом состоянии \(x_0\) и глубину погружения кубика: \[V_0 = h(S_0 - S) + x_0 S_0,\] где \(S_0\) — площадь основания сосуда.

Далее в сосуд наливают известное количество жидкости \(V\). Пружина растягивается на \(\Delta x\), тело погружается в жидкость на \(\Delta h\). В состоянии равновесия \[\rho g S (h + \Delta h) = mg + k\Delta x, \qquad \rho g S \Delta h = k\Delta x.\] Отсюда площадь основания кубика \(S = \dfrac{k\Delta x}{\rho g \Delta h}\).

Новый объём жидкости равен изначальному плюс добавленному: \[V_0' = (h + \Delta h)(S_0 - S) + (x_0 + \Delta x)S_0 = h(S_0 - S) + x_0 S_0 + V.\] Приравнивая, получаем \(\Delta h (S_0 - S) + \Delta x S_0 = V\). Подставляя \(S\), \[\Delta h S_0 - \frac{k\Delta x}{\rho g} + \Delta x S_0 = V, \qquad \Delta h = \frac{V + k\Delta x/(\rho g)}{S_0} - \Delta x.\]

Подсказка

Самая плотная жидкость \(\rho_1\) занимает дно трубки, поэтому её слой оказывается под первоначальной жидкостью. Для каждого равновесия запишите равенство давлений на уровне дна соединительной трубки.

Ответ

\(\rho_1:\rho_2:\rho_3 = 30:5:4\).

Решение

По условию жидкость из левого сосуда оказалась в центральном и правом сосудах. Поэтому, когда открыли кран \(k_1\), жидкость перетекла из левого в центральный и образовала у дна слой некоторой толщиной \(a\). Условие равновесия имеет вид (на \(g\) поделили в уме) \[(h_1 - a)\rho_1 = h_2\rho_2 + a\rho_1 \;\Rightarrow\; a = \frac{h_1\rho_1 - h_2\rho_2}{2\rho_1}.\] Закрыли \(k_1\), открыли \(k_2\). По условию из центрального в правый затечёт только жидкость плотностью \(\rho_1\). Условие равновесия имеет вид \[h_2\rho_2 + (a - b)\rho_1 = h_3\rho_3 + b\rho_1 \;\Rightarrow\; b = \frac{a\rho_1 + h_2\rho_2 - h_3\rho_3}{2\rho_1}.\] По условию \(h_1 - a = p(a - b)\) и \(h_1 - a = qb\), откуда \[\begin{cases} 2(h_1\rho_1 + h_2\rho_2) = p(h_1\rho_1 - 3h_2\rho_2 + 2h_3\rho_3),\\ 2(h_1\rho_1 + h_2\rho_2) = q(h_1\rho_1 + h_2\rho_2 - 2h_3\rho_3). \end{cases}\] Подставляя \(h_1 = 14\), \(h_2 = 12\), \(h_3 = 30\) и \(p = 2\), \(q = 4\), получаем \[\begin{cases} 48\rho_2 = 60\rho_3,\\ 14\rho_1 + 12\rho_2 = 120\rho_3. \end{cases}\] Отсюда \(\rho_2/\rho_3 = 5/4\) и \(\rho_1/\rho_2 = 6\), то есть \(\rho_1:\rho_2:\rho_3 = 30:5:4\).

Подсказка

Сосуд сам поглощает теплоту, и его теплоёмкость \(C\) неизвестна. Составьте уравнения теплового баланса для трёх опытов и исключите \(C\) и \(Q\) вычитанием.

Ответ

\(T_3 = 62\,^\circ\)C.

Решение

Напишем баланс тепловых энергий для трёх итераций процесса. Когда заменяем воду, сосуд остаётся горячим: \[\begin{align*} cmT_0 + CT_0 + Q &= cmT_1 + CT_1,\\ cmT_0 + CT_1 + Q &= cmT_2 + CT_2,\\ cmT_0 + CT_2 + Q &= cmT_3 + CT_3. \end{align*}\] Вычтем из второго и третьего уравнений первое: \[C(T_1 - T_0) = cm(T_2 - T_1) + C(T_2 - T_1), \qquad C(T_2 - T_0) = cm(T_3 - T_1) + C(T_3 - T_1).\] Из первого находим \(C = \dfrac{cm(T_2 - T_1)}{2T_1 - T_2 - T_0}\). Далее \[T_3 = T_1 + \frac{(T_2 - T_1)(T_2 - T_0)}{T_1 - T_0}.\] Подставляя значения \(T_0 = 0\), \(T_1 = 50\), \(T_2 = 60\) \(^\circ\)C, получаем \(T_3 = 62\,^\circ\)C.

Подсказка

Движение на каждом участке равнозамедленное; скорость на линии раздела найдите по работе силы трения на правом участке. Для второго бруска удобно повторить рассуждение с зеркальным направлением движения.

Ответ

\(v - u = 1{,}5\) м/с.

Решение

Рассмотрим движение бруска слева направо. Обозначим его массу \(m\). Сила трения, действующая на брусок на левой части поверхности, равна \(F_\text{л} = \mu_1 g m\), а на правой \(F_\text{п} = \mu_2 g m\). По второму закону Ньютона ускорение бруска слева равно \(a_\text{л} = \mu_1 g\), справа \(a_\text{п} = \mu_2 g\).

Работа силы трения на участке пути справа от линии раздела равна изменению кинетической энергии бруска. Отсюда скорость бруска на линии раздела \[x F_\text{п} = \frac{m v_1^2}{2} \;\Rightarrow\; v_1 = \sqrt{2\mu_2 g x}.\] Время движения бруска до пересечения линии равно \[t_1 = \frac{v - v_1}{a_\text{л}} = \frac{v}{\mu_1 g} - \frac{1}{\mu_1}\sqrt{\frac{2\mu_2 x}{g}},\] а после пересечения \(\tau_1 = \sqrt{\dfrac{2x}{\mu_2 g}}\). Отсюда \(T_1 = t_1 + \tau_1\).

Аналогично рассматривается движение второго бруска справа налево: \[t_2 = \frac{u}{\mu_2 g} - \frac{1}{\mu_2}\sqrt{\frac{2\mu_1 y}{g}}, \qquad \tau_2 = \sqrt{\frac{2y}{\mu_1 g}}, \qquad T_2 = t_2 + \tau_2.\] Используем условие \(\mu_1 T_1 = \mu_2 T_2\): \[0 = \mu_1 T_1 - \mu_2 T_2 = \frac{v - u}{g} + \left(\sqrt{\frac{2x}{\mu_2 g}} + \sqrt{\frac{2y}{\mu_1 g}}\right)(\mu_1 - \mu_2).\] Отсюда \[v - u = (\mu_2 - \mu_1)\sqrt{2g}\left(\sqrt{\frac{x}{\mu_2}} + \sqrt{\frac{y}{\mu_1}}\right) = 1{,}5~\text{м/с}.\]

Подсказка

Вольтметр покажет ноль, когда два делителя напряжения дают одинаковое отношение. Запишите каждый делитель через долю сопротивления, снятую подвижным контактом.

Ответ

\(R_3 : R_1 = 27\).

Решение

Пусть \(x\) и \(y\) — положения контактов (меняются от \(0\) до \(1\)). Сопротивление первой части \(R_1\) равно \(xR_1\), второй — \((1-x)R_1\); для \(R_2\) и \(R_3\) аналогично: первая часть \(yR_2\), вторая \((1-y)R_2\), первая часть \(R_3\) равна \(yR_3\), вторая \((1-y)R_3\). Система образует два делителя напряжения: первый — из первых частей \(R_1\) и \(R_2\) и второй части \(R_2\), второй — из вторых частей \(R_1\) и \(R_3\) и первой части \(R_3\). Вольтметр покажет ноль, если отношения сопротивлений в плечах этих делителей равны: \[\frac{xR_1 + yR_2}{(1-y)R_2} = \frac{(1-x)R_1 + (1-y)R_3}{yR_3}.\] Сократим номиналы, используя \(R_1 : R_2 : R_3 = 1 : n : k\), где \(n = 3\): \[\frac{x + yn}{(1-y)n} = \frac{(1-x) + (1-y)k}{yk}.\] Отсюда \[k = \frac{(1-x)(1-y)n}{xy + y^2 n - (1-y)^2 n}.\] Подставляя \(x = 0{,}1\), \(y = 0{,}5\) и \(n = 3\), получаем \(k = 27\).