СПбГУ, 2021/22, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Путь на графике скорости равен площади под графиком с учётом модуля; смена направления видна по смене знака скорости.

Ответ

а, в, г.

Подсказка

Время разгона и торможения одинаково; на втором участке путь выражается через ту же скорость.

Ответ

\(60\) км/ч.

Решение

Обозначим весь путь за \(S\), модуль ускорения за \(a\), время движения на каждом из участков за \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\). Средняя скорость поезда на всём пути: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{S}{t_1 + t_2 + t_3}\).

Поскольку модуль ускорения и длины участков разгона и торможения равны, \(t_1 = t_3\). Для первого участка \(\dfrac{S}{3} = \dfrac{at_1^2}{2}\). Скорость на втором участке \(v_2 = at_1\), путь на втором участке \(\dfrac{S}{3} = at_1t_2\). Подставляя выражение для трети пути из первого участка, получаем \(at_1t_2 = \dfrac{at_1^2}{2}\), откуда \(t_2 = \dfrac{t_1}{2}\).

Подставляем времена в выражение для средней скорости: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{S}{t_1 + \frac{t_1}{2} + t_1} = \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{S}{t_1}\). По условию \(\dfrac{S}{3t_1} = 50\) км/ч, откуда \(v_{\text{ср}} = 60\) км/ч.

Ответ: \(60\) км/ч.

Подсказка

Линза рассеивающая: изображение мнимое и уменьшенное. Определите расстояния от линзы до предмета и изображения по клеткам и воспользуйтесь формулой линзы.

Ответ

\(12\) см.

Решение

Поскольку линза рассеивающая (согласно схеме), уравнение тонкой линзы записывается как \(-\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{f}\), где \(d\) — расстояние от объекта до линзы, \(f\) — расстояние от изображения до линзы, \(F\) — фокусное расстояние. Рассеивающая линза даёт мнимое уменьшенное изображение, поэтому большая из стрелок — это объект, меньшая — изображение. Тогда, согласно рисунку, \(d = 6\), \(f = 4\) и \(F = 12\) см. (Задачу можно решить графически, аккуратно воспроизведя ход лучей по клеточкам.)

Ответ: \(12\) см.

Подсказка

Напряжение на лампочке равно напряжению на участке с амперметром; найдите сопротивление этого участка по схеме соединений.

Ответ

\(48\) Вт.

Решение

Выделяемая на лампочке мощность равна \(P = \dfrac{U^2}{R_1}\). Напряжение на лампочке равно напряжению на участке цепи с амперметром и тремя сопротивлениями: \(U = IR'\). Ток на этом участке известен, нужно найти сопротивление \(R'\). Сопротивления \(R_3\) и \(R_4\) соединены параллельно, \(R_2\) — последовательно с ними. Поэтому \[R' = R_2 + \left(\dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4}\right)^{-1} = 4~\text{Ом}.\] Тогда \(U = IR' = 6~\text{А}\cdot 4~\text{Ом} = 24\) В, и \(P = \dfrac{U^2}{R_1} = 48\) Вт.

Ответ: \(48\) Вт.

Подсказка

Участок 1–2 изобарический, 2–3 изотермический. Внутренняя энергия одноатомного газа меняется только там, где меняется температура.

Ответ

\(400\) К.

Решение

Процесс 1–2 изобарический, \(p_1 = p_2 = p\), из уравнения Менделеева–Клапейрона \(\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{T_1}{T_2}\). Процесс 2–3 изотермический: \(p_2V_2 = p_3V_3\). По условию \(V_1 = V_3\) и \(p_3 = \alpha p_2\), где \(\alpha = 2\). Подставим в уравнение процесса 2–3: \(pV_2 = \alpha pV_3 \Rightarrow V_2 = \alpha V_3 = \alpha V_1\). Подставим в уравнение процесса 1–2: \(\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{V_1}{\alpha V_1} = \dfrac{T_1}{T_2} \Rightarrow T_2 = \alpha T_1\).

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа изменяется только в процессе 1–2: \[\Delta U_{12} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) = \dfrac{3}{2}\nu R T_1(\alpha - 1).\] Отсюда начальная температура \(T_1 = \dfrac{2\,\Delta U}{3\nu R(\alpha - 1)}\).

Ответ: \(400\) К.

Подсказка

Удар неупругий: найдите общую скорость после удара по закону сохранения импульса, затем работу силы трения.

Ответ

\(11\) мм (\(11{,}19\) мм).

Решение

Запишем закон сохранения импульса для гвоздя и молоточка: \(Mv = (m + M)v'\), откуда \(v' = \dfrac{M}{m + M}v\). Кинетическая энергия гвоздя и молоточка идёт на работу силы трения: \(\dfrac{(M + m)v'^2}{2} = F_{\text{тр}}\Delta l\). Сила трения дана по условию. Выражаем \(\Delta l\): \[\Delta l = \dfrac{(M + m)M^2v^2}{2F_{\text{тр}}(m + M)^2} = \dfrac{M^2v^2}{2F_{\text{тр}}(M + m)}.\] Ответ: \(11{,}19 \approx 11\) мм.

Подсказка

На круговой орбите ускорение свободного падения равно центростремительному; радиус орбиты найдите через период. Далее используйте закон тяготения.

Ответ

\(1\%\).

Решение

Ускорение свободного падения на орбите является центростремительным: \(g_0 = a_{\text{ц}} = \dfrac{v^2}{R_0}\), откуда \(R_0 = \dfrac{v^2}{g_0}\). Скорость обращения связана с периодом: \(v = \dfrac{2\pi R_0}{T}\). Отсюда \(R_0 = \dfrac{g_0 T^2}{4\pi^2} \approx 6837{,}1\) км.

Связь ускорения свободного падения с расстоянием до центра Земли: \(g_0 = G\dfrac{M}{R_0^2}\), т.е. \(g_0R_0^2 = GM\). На новой высоте \(R = R_0 + h\): \(g(R_0 + h)^2 = g_0R_0^2\), откуда \(g = g_0\dfrac{R_0^2}{(R_0 + h)^2} = g_0\dfrac{1}{\left(1 + \frac{h}{R_0}\right)^2} \approx 8{,}6116\) м/с\(^2\).

Окончательно: \(100\%\cdot\left(1 - \dfrac{g}{g_0}\right) \approx 1\%\).

Ответ: \(1\%\).

Подсказка

В верхней точке скорость снаряда нулевая: импульс осколков равен нулю. Кинетическая энергия осколков после взрыва равна полной энергии за вычетом потенциальной.

Ответ

\(14\) км.

Решение

Так как снаряд разрывается в наивысшей точке траектории, его скорость в этот момент равна \(0\). Закон сохранения импульса осколков до и сразу после взрыва: \(0 = p_1 - p_2 \Rightarrow m_1v_1 = m_2v_2 \Rightarrow v_2 = \dfrac{m_1}{m_2}v_1\).

Полная механическая энергия осколков сразу после взрыва: \(E_{\text{полн}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \dfrac{m_1v_1^2}{2} + \dfrac{m_2v_2^2}{2} + (m_1 + m_2)gH\), откуда \(E_{\text{кин}} = E_{\text{полн}} - (m_1 + m_2)gH\). Кинетическая энергия осколков \(E_{\text{кин}} = \dfrac{m_1v_1^2}{2}\left(1 + \dfrac{m_1}{m_2}\right)\), откуда \(v_1 = \sqrt{\dfrac{2E_{\text{кин}}}{m_1\left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)}}\), \(v_2 = \dfrac{m_1}{m_2}v_1\).

После разрыва осколки движутся равноускоренно в поле тяжести Земли: \(x_1 = v_1t\), \(y_1 = H - \dfrac{gt^2}{2}\), \(x_2 = v_2t\), \(y_2 = H - \dfrac{gt^2}{2}\). В точке падения \(y = 0\), поэтому время полёта одинаково для обоих осколков: \(t = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}\). Расстояние между точками падения осколков равно сумме координат: \[L = x_1 + x_2 = v_1 t\left(1 + \dfrac{m_1}{m_2}\right) = \sqrt{\dfrac{2\left(E_f - (m_1 + m_2)gH\right)}{m_1\left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)}\cdot\dfrac{2H}{g}}\left(1 + \dfrac{m_1}{m_2}\right).\] Ответ: \(14\) км.