СПбГУ, 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Запишите равенство давлений на уровне дна через высоты столбов жидкости и давление запертого воздуха, а затем уравнение Бойля–Мариотта для воздуха под пробкой.

\(V=3350\) см\(^3\).

Пока сосуды пусты, воздух в закрытом сосуде сообщается с воздухом камеры. По мере наливания воды объём запертого воздуха уменьшается, а его давление растёт. Рассмотрим момент, когда уровень воды в открытом сосуде достигает высоты сосуда \(H\). Баланс давлений на уровне дна (высота столба воды в закрытом сосуде \(h\), давление запертого воздуха \(p\)): \[p_0+\rho gH = p+\rho gh.\] Из условия \(pV=\mathrm{const}\) для воздуха под пробкой: \(p_0HS=p(H-h)S\), т.е. \(p=\dfrac{p_0H}{H-h}\). Подставим \(p\) и введём \(x=H-h\): \[\rho g x^2+p_0x-p_0H=0, \qquad x=\frac{\sqrt{p_0^2+4p_0\rho gH}-p_0}{2\rho g}.\] Положительный корень выбираем, так как уровень воды в закрытом сосуде не может быть выше высоты сосуда. Высота столба воды в закрытом сосуде \[h=H+\frac{p_0-\sqrt{p_0^2+4p_0\rho gH}}{2\rho g}\approx 0{,}035~\text{м}.\] Искомый объём воды \[V=S(H+h)=S\left(2H-\frac{\sqrt{p_0^2+4p_0\rho gH}-p_0}{2\rho g}\right)\approx 3350~\text{см}^3.\] (При подстановке принято \(g=10\) Н/кг.)

Запишите равенство моментов сил для верхнего составного блока и учтите, что нити одинаковые: наибольшее натяжение будет в нити, которая держит груз.

\(M_{\max}=\dfrac{T_{\max}}{g}\cdot\dfrac{7R+r}{8R+r}\approx 9{,}75\) кг.

Обозначим \(F_1\) силу натяжения нити, стремящуюся повернуть блок против часовой стрелки, и \(F_2\) — силу, тянущую за нижний блок. Система в равновесии, верхние блоки не вращаются, поэтому уравнение моментов сил: \[F_1R+\frac{F_2}{2}r=\left(\frac{F_2}{2}+Mg\right)R \quad\Rightarrow\quad F_1=\frac{F_2}{2}\left(1-\frac{r}{R}\right)+Mg.\] С другой стороны, для сил натяжения \(F_1=4F_2\). Тогда \[4F_2=\frac{F_2}{2}\left(1-\frac{r}{R}\right)+Mg \quad\Rightarrow\quad F_2=\frac{2R}{7R+r}\,Mg.\] Поскольку нити одинаковые во всей конструкции, наибольшее натяжение испытывает нить между блоком радиуса \(R\) и грузом \(M\): \[F'=F_1+\frac{1}{2}F_2\frac{r}{R}=\frac{8R+r}{7R+r}\,Mg.\] Приравняв \(F'\) к \(T_{\max}\), получаем: \(M=\dfrac{T_{\max}}{g}\cdot\dfrac{7R+r}{8R+r}\). Подстановка: \(\dfrac{110}{10}\cdot\dfrac{117}{132}\approx 9{,}75\) кг.

Выразите длину канала через \(t_c\) и \(t_{\text{пл}}\), затем запишите путь и скорость на двух участках движения катера: разгон до дерева и торможение после него.

\(t_1=\sqrt{t_c\,t_{\text{пл}}+\dfrac{t_c^2}{2}}-t_c\).

Обозначим длину канала \(L\), скорость течения \(u\), модуль ускорения катера \(a\). По условию \(t_{\text{пл}}=\dfrac{L}{u}\), \(t_c=\dfrac{u}{a}\), откуда \(L=a\,t_c\,t_{\text{пл}}\).

Пусть \(t_1\) — время движения до дерева, \(S_1\) — путь до дерева, \(t_2\) — время торможения от дерева до причала, \(S_2\) — путь на этом участке. Тогда \[S_1=ut_1+\frac{at_1^2}{2}, \qquad v(t_1)=u+at_1, \qquad L=S_1+S_2.\] В городе B катер приходит с нулевой скоростью: \(u+at_1-at_2=0\), т.е. \(t_2=t_1+t_c\). Путь на втором участке \(S_2=(u+at_1)t_2-\dfrac{at_2^2}{2}\). Подставляя в \(L=S_1+S_2\) и разделив на \(a\), получаем \[t_1^2+2t_ct_1+\frac{t_c^2}{2}=t_c\,t_{\text{пл}} \quad\Rightarrow\quad (t_1+t_c)^2=t_c\,t_{\text{пл}}+\frac{t_c^2}{2}.\] Отсюда \(t_1=\sqrt{t_c\,t_{\text{пл}}+\dfrac{t_c^2}{2}}-t_c\); при этом \(t_2=\sqrt{t_c\,t_{\text{пл}}+\dfrac{t_c^2}{2}}\).

Запишите для каждого амперметра, что напряжение на его ветви равно напряжению на резисторах, и что сумма токов в ветви даёт общий ток цепи; общий ток одинаков для обеих групп.

\(R_A\approx 0{,}72\) Ом; \(I_{\max}=20\) А (второй амперметр при этом показывает \(2\) А, первый зашкаливает).

Величины, связанные с левой группой (резисторы последовательно), обозначим индексом 1, с правой (резисторы параллельно) — индексом 2; сопротивление амперметров \(R_A\). Напряжения на амперметре и на резисторах каждой группы совпадают: \[I_1R_A=I_{1R}(R_1+R_2), \qquad I_2R_A=I_{2R}\,\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.\] Полный ток в каждой группе складывается из тока через амперметр и тока через резисторы: \[I=I_1+I_{1R}=I_1\,\frac{R_1+R_2+R_A}{R_1+R_2}, \qquad I=I_2+I_{2R}=I_2\left(1+\frac{R_A}{R_1}+\frac{R_A}{R_2}\right).\] Из этих соотношений находится сопротивление амперметров, \(R_A\approx 0{,}72\) Ом. Максимальный ток, который можно измерить, соответствует предельному показанию амперметра \(2\) А; при \(I=20\) А второй амперметр показывает \(2\) А, а первый зашкаливает.

Скорость истечения найдите из закона Бернулли для линии тока от поверхности воды до отверстия, а дальность полёта — из времени падения с высоты над землёй.

Отверстие на высоте \(H=\dfrac{b-a}{2}\) от дна бочки; \(L_{\max}=a+b\).

Рассмотрим линию тока от поверхности воды до отверстия и запишем закон Бернулли. Пусть в некоторый момент высота столба воды над отверстием равна \(h_1\). У поверхности жидкости и снаружи у отверстия давление равно атмосферному. Площадь отверстия много меньше площади поверхности жидкости, поэтому скорость у поверхности пренебрежимо мала по сравнению со скоростью вытекания струи \(v\). Тогда \(\dfrac{\rho v^2}{2}=\rho gh_1\), откуда \(v=\sqrt{2gh_1}\).

Обозначим расстояние от основания бочки до отверстия \(H\). Отверстие находится на высоте \(H+a\) над землёй, поэтому время полёта \(t=\sqrt{\dfrac{2(H+a)}{g}}\), а длина полёта \[L=vt=2\sqrt{(H+a)h_1}.\] Когда бочка заполнена доверху, \(h_1=b-H\), поэтому \[L_{\max}=2\sqrt{(H+a)(b-H)}=2\sqrt{ab+H(b-a)-H^2}.\] Максимум квадратного трёхчлена под корнем достигается при \(H=\dfrac{b-a}{2}\). На таком расстоянии от дна бочки нужно сделать отверстие; тогда \(L_{\max}=2\sqrt{ab+\dfrac{(b-a)^2}{4}}=a+b\).