СПбГУ, 2022/23, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Без трения ускорение на каждом участке постоянно. Проверьте, какой график соответствует постоянному ускорению на двух участках, и по нему найдите путь и время.

Ответ

\(8\) м/с.

Решение

Без трения мешок движется равноускоренно на каждом из двух участков, поэтому верны графики А и Г. График Б неверен, так как ускорение на графике меняется со временем. График В неверен, так как путь растёт линейно, то есть движение равномерное.

По углу наклона графика А найдём ускорения на участках: \(a_1=2\) м/с\(^2\) и \(a_2=1\) м/с\(^2\); они и отрезки времени \(t_1=4\) с, \(t_2=6\) с совпадают с графиком Г. Средняя скорость \[v_{\text{ср}}=\frac{S}{t}=\frac{\frac{1}{2}a_1t_1^2+a_1t_1t_2+\frac{1}{2}a_2t_2^2}{t_1+t_2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot 4^2+2\cdot 2\cdot 4\cdot 6+1\cdot 6^2}{4+6}\ \text{м/с} \approx 8{,}2\ \text{м/с}.\] Ответ: \(8\) м/с.

Подсказка

Запишите уравнение каждого линейного участка ВАХ и решите систему с условием \(IU=540\) Вт; подходят только значения, лежащие на своём участке.

Ответ

\(I=90\) А.

Решение

Мощность \(IU=540\). Первый линейный участок ВАХ (при \(0\le U\le 2\)) задан уравнением \(I=30U\), второй (при \(2\le U\le 8\)) проходит через точки \((2;60)\) и \((6;90)\) и задан уравнением \(I=7{,}5U+45\).

Для первого участка \(30U^2=540\), \(U\approx\pm 4{,}2\) В, что не лежит на участке. Для второго участка \(U(7{,}5U+45)=540\), то есть \(7{,}5U^2+45U-540=0\), положительный корень \(U=6\) В, и тогда \(I=\dfrac{540}{6}=90\) А. Проверка: \(I=7{,}5\cdot 6+45=90\) А.

Подсказка

Давления на уровне дна одинаковы: сравните вклады платформ и грузов. Сжатие пружины определяется силой, с которой груз давит на неё.

Ответ

Ответы для наборов чисел из решения: 1) \(M_2=6\) кг;  2) \(M_2=8\) кг;  3) \(M_2=16\) кг.

Решение

Пружина давит на платформу с той же силой, что и груз давит на пружину, поэтому для положения платформ пружины можно не учитывать. Пусть \(H_1\) и \(H_2\) — высоты платформ над дном. Равенство давлений на дне даёт \[\rho g H_1+\frac{M_1 g}{S_1}=\rho g H_2+\frac{M_2 g}{S_2} \quad\Rightarrow\quad H_1-H_2=\frac{1}{\rho}\Bigl(\frac{M_2}{S_2}-\frac{M_1}{S_1}\Bigr).\] Длины пружин \(L_1=L_0-\dfrac{M_1 g}{k}\), \(L_2=L_0-\dfrac{M_2 g}{k}\). Условие равенства высот грузов \(H_1+L_1=H_2+L_2\) даёт \(H_1-H_2=\dfrac{g}{k}(M_1-M_2)\). Приравнивая, \[M_2=M_1\,\frac{S_2}{S_1}\cdot\frac{\rho g S_1+k}{\rho g S_2+k} .\] Наборы чисел и ответы из официального решения (при \(\rho=1000\) кг/м\(^3\), \(k=1000\) Н/м, \(g=10\) м/с\(^2\)): \(S_1=0{,}2\) м\(^2\), \(S_2=0{,}1\) м\(^2\), \(M_1=8\) кг — \(M_2=6\) кг; \(S_1=0{,}3\) м\(^2\), \(S_2=0{,}2\) м\(^2\), \(M_1=9\) кг — \(M_2=8\) кг; \(S_1=0{,}3\) м\(^2\), \(S_2=0{,}1\) м\(^2\), \(M_1=24\) кг — \(M_2=16\) кг.

Подсказка

При ударе сохраняется компонента скорости вдоль новой поверхности. Найдите её через угол между направлениями скорости и правой плоскости.

Ответ

\(H=\dfrac{h}{\cos^2(\alpha+\beta)}\). Числа из решения: 1) \(\alpha=45^\circ\), \(\beta=15^\circ\), \(h=1\) м — \(H=4\) м; 2) \(\alpha=30^\circ\), \(\beta=15^\circ\), \(h=1\) м — \(H=2\) м; 3) \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=20^\circ\), \(h=0{,}5\) м — \(H=2\) м.

Решение

Перед ударом мешок имеет скорость \(v_1\) вдоль левой поверхности: \(mgH=\dfrac{mv_1^2}{2}\). После удара скорость вдоль правой поверхности \[v_2=v_1\cos(\alpha+\beta).\] Подъём на высоту \(h\) по правой плоскости: \(mgh=\dfrac{mv_2^2}{2}\). Отсюда \(h=H\cos^2(\alpha+\beta)\), то есть \(H=\dfrac{h}{\cos^2(\alpha+\beta)}\).

Подсказка

Пользуйтесь уравнением состояния \(pV/T=\text{const}\) для каждой пары точек и смотрите, что меняется на графике при переходе между точками.

Ответ

Верные утверждения: Б и Г.

Решение

А) Процесс 1–2 изохорный, но \(T_2=3T_0>T_1=T_0\), то есть это нагрев. Утверждение А неверно.

Б) \(\dfrac{p_3V_3}{T_3}=\dfrac{p_4V_4}{T_4}\), \(V_3=4V_0\), \(T_3=3T_0\), \(V_4=8V_0\), \(T_4=6T_0\): \(p_3=p_4\). Утверждение Б верно.

В) Процесс 4–5 идёт при \(T=6T_0\) и уменьшении объёма с \(8V_0\) до \(3V_0\), то есть это изотермическое сжатие. Утверждение В неверно.

Г) \(\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_5V_5}{T_5}\): \(p_1\dfrac{V_0}{T_0}=p_5\dfrac{3V_0}{6T_0}\), откуда \(p_5=2p_1\). Утверждение Г верно.

Д) Процесс 2–3 изотермический (\(T=3T_0\)), \(V_2=V_0\), \(V_3=4V_0\), значит \(p_3=\dfrac{p_2}{4}\). Утверждение Д неверно.

Подсказка

Сложите ускорения от поля и от тяжести: их сумма по величине равна \(2g\) и направлена противоположно начальной скорости. Значит, движение прямолинейное.

Ответ

\(S=25\) м.

Решение

Горизонтальная компонента ускорения от силы Кулона равна \(\sqrt{3}\,g\), вертикальная — \(g\). Результирующее ускорение по теореме Пифагора равно \(a=2g=20\) м/с\(^2\) и направлено против скорости \(v_0\). Частица движется прямолинейно.

Скорость обращается в ноль через \(t_1=\dfrac{v_0}{a}=0{,}5\) с, пройденный путь \[S_1=v_0t_1-\frac{at_1^2}{2}=2{,}5\ \text{м}.\] Затем частица возвращается и за оставшиеся \(1{,}5\) с проходит \[S_2=\frac{a(t-t_1)^2}{2}=22{,}5\ \text{м}.\] Полный путь \(S=S_1+S_2=25\) м.