зад 1 Мешок с зерном на двух наклонных плоскостях
Мешок с зерном ставят на наклонную плоскость, изображённую на рисунке (слева). С какой высоты \(H\) его надо спустить без начальной скорости по этой плоскости, чтобы на правой он поднялся до высоты \(h = 1\) м? Левая плоскость расположена под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту, а правая — под углом \(\beta = 15^\circ\). Мешок скользит без трения, при переходе с одной плоскости на другую он испытывает неупругий удар, при котором не отскакивает, а компонента скорости вдоль нового направления движения остаётся неизменной. Размерами мешка можно пренебречь по сравнению с остальными геометрическими размерами в задаче.
▶ОтветСкрыть
\(H = 4\) м.
▶РешениеСкрыть
Непосредственно перед ударом мешок имеет скорость \(v_1\) вдоль левой поверхности: \(mgH = \dfrac{mv_1^2}{2}\). Скорость вдоль правой поверхности в момент соударения \[v_2 = v_1\cos(\alpha + \beta).\] После столкновения мешок поднимается на высоту \(h\): \(mgh = \dfrac{mv_2^2}{2}\). Отсюда \[h = H\,\bigl(\cos(\alpha + \beta)\bigr)^2, \qquad H = \frac{h}{\bigl(\cos(\alpha + \beta)\bigr)^2}.\] При \(\alpha = 45^\circ\), \(\beta = 15^\circ\) получаем \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) и \(H = \dfrac{1~\text{м}}{0{,}25} = 4\) м.
зад 2 Угол между плоскостями
Мешок с зерном ставят на наклонную плоскость, изображённую на рисунке (слева), и отпускают. Определите угол между плоскостями \(\alpha\), если известно, что мешок поднялся по правой плоскости на высоту в \(k = 4\) раза меньшую, чем высота, с которой его отпустили. Мешок скользит без трения, при переходе с одной плоскости на другую он испытывает неупругий удар, при котором не отскакивает, а компонента скорости вдоль нового направления движения остаётся неизменной. Размерами мешка можно пренебречь по сравнению с остальными геометрическими размерами в задаче.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = 120^\circ\).
▶РешениеСкрыть
Пусть мешок отпущен с высоты \(H\) на левой плоскости, а поднялся на высоту \(h\) на правой. Скорость перед ударом \(v_1\): \(mgH = \dfrac{mv_1^2}{2}\). Вдоль правой поверхности после удара \[v_2 = v_1\cos(180^\circ - \alpha) = -v_1\cos\alpha.\] Из условия \(mgh = \dfrac{mv_2^2}{2}\) получаем \[\cos^2\alpha = \frac{h}{H} = \frac{1}{k} \;\Rightarrow\; \cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{k}},\] так как угол должен быть тупым. Отсюда \(\alpha = 180^\circ - \arccos\sqrt{\dfrac{1}{k}}\). При \(k = 4\): \[\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.\]
зад 3 Газ на VT-диаграмме
Изменение состояния идеального газа проиллюстрировано на \(VT\)-диаграмме. Из приведённых ниже утверждений выберите верные:
А) процесс 1-2 — изохорное охлаждение;
Б) процесс 3-4 — изобарный;
В) процесс 4-5 — изотермическое расширение;
Г) давление газа в состоянии, соответствующей точке 5 на графике, в 2 раза больше давления газа в состоянии в точке 1;
Д) давление газа в состоянии, соответствующей точке 3 на графике, в 2 раза меньше давления газа в состоянии в точке 2.
▶ОтветСкрыть
Верные утверждения Б и Г.
▶РешениеСкрыть
А) Процесс 1-2 — изохорный нагрев, так как конечная температура больше начальной. Утверждение неверное.
Б) Для точек 3 и 4 из уравнения состояния \(\dfrac{PV}{T} = \text{const}\) получаем \[\frac{P_3\cdot 4V_0}{3T_0} = \frac{P_4\cdot 8V_0}{6T_0} \;\Rightarrow\; P_3 = P_4.\] Утверждение верное.
В) Процесс 4-5 — изотермическое сжатие, так как объём уменьшается. Утверждение неверное.
Г) Для состояний 1 и 5: \[\frac{P_1 V_0}{T_0} = \frac{P_5\cdot 3V_0}{6T_0} \;\Rightarrow\; P_5 = 2P_1.\] Утверждение верное.
Д) Процесс 2-3 — изотермическое расширение, \(P_3 = \dfrac{1}{4}P_2\). Утверждение неверное.
зад 4 Газ на PT-диаграмме
Изменение состояния идеального газа проиллюстрировано на \(PT\)-диаграмме. Из приведённых ниже утверждений выберите верные:
А) процесс 2-3 — изобарное охлаждение;
Б) процесс 3-4 — изохорный;
В) процесс 4-5 — изотермическое расширение;
Г) объём газа в состоянии, соответствующей точке 5 на графике, в 2 раза больше объёма газа в состоянии в точке 1;
Д) объём газа в состоянии, соответствующей точке 3 на графике, в 4 раза больше объёма газа в состоянии в точке 2.
▶ОтветСкрыть
Верные утверждения Б и Д.
▶РешениеСкрыть
А) Процесс 2-3 — изобарный нагрев, так как конечная температура больше начальной. Утверждение неверное.
Б) Для точек 3 и 4 получаем \(V_3\cdot\dfrac{3P_0}{4T_0} = V_4\cdot\dfrac{6P_0}{8T_0}\), откуда \(V_3 = V_4\). Утверждение верное.
В) Процесс 4-5 — изотермическое сжатие, так как при постоянной температуре и росте давления объём уменьшается. Утверждение неверное.
Г) Для состояний 1 и 5: \(V_1 = \dfrac{9}{8}V_5\), то есть \(V_5 = \dfrac{8}{9}V_1\). Утверждение неверное.
Д) Процесс 2-3 изобарический, \(\dfrac{V_2}{T_2} = \dfrac{V_3}{T_3}\), откуда \(V_3 = 4V_2\). Утверждение верное.
зад 5 Пылевая частица в электрическом поле
Массивной пылевой частице положительного заряда, находящейся в вакууме в однородном электрическом поле, в начальный момент времени сообщили скорость \(v_0 = 10\) м/с, направленную под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту. Известно, что электрическое поле придаёт частице ускорение, которое в \(\sqrt{3}\) раз больше ускорения свободного падения. Направление поля и начальной скорости частицы изображены на рисунке. Какой путь пройдёт частица за время \(t = 2\) с? Считать ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Результат выразить в метрах, округлив до целого значения.
▶ОтветСкрыть
\(S = 25\) м.
▶РешениеСкрыть
Горизонтальная компонента ускорения (от силы Кулона) в \(\sqrt{3}\) раз больше \(g\). Результирующее ускорение направлено вдоль начальной скорости в противоположную сторону и равно \(20\) м/с\(^2\), поэтому движение прямолинейное. Скорость через \(2\) с равна \(v = 10 - 40 = -30\) м/с, значит, частица поворачивает. Момент поворота: \(t_1 = 0{,}5\) с, путь \[S_1 = v_0 t_1 - \frac{a t_1^2}{2} = 10\cdot 0{,}5 - 20\cdot\frac{0{,}25}{2} = 2{,}5~\text{м}.\] За оставшиеся \(1{,}5\) с: \[S_2 = \frac{a t_2^2}{2} = 10\cdot 1{,}5^2 = 22{,}5~\text{м}.\] Складывая, получаем \(S = 2{,}5 + 22{,}5 = 25\) м.
зад 6 Пылевая частица: время прохождения пути
Массивной пылевой частице положительного заряда, находящейся в вакууме в однородном электрическом поле, в начальный момент времени сообщили скорость \(v_0 = 20\) м/с, направленную под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту. Известно, что электрическое поле придаёт частице ускорение, которое в \(\sqrt{3}\) раз больше ускорения свободного падения. Направление поля и начальной скорости частицы изображены на рисунке. За какое время частица преодолеет путь \(S = 20\) м? Считать ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Результат выразить в секундах, округлив до первого знака после запятой.
▶ОтветСкрыть
\(t = 2\) с.
▶РешениеСкрыть
Результирующее ускорение равно \(20\) м/с\(^2\) и направлено против начальной скорости. Скорость обращается в ноль через \(t_1 = 1\) с, путь за это время \(S_1 = v_0 t_1 - \dfrac{a t_1^2}{2} = 10\) м. Оставшиеся \(10\) м частица проходит за \[t_2 = \sqrt{\frac{2 S_2}{a}} = \sqrt{\frac{20}{20}}~\text{с} = 1~\text{с}.\] Полное время \(t = t_1 + t_2 = 2\) с.
зад 7 Шарик в конденсаторе с жидкостью
Внутри плоского заряженного конденсатора, заполненного диэлектрической жидкостью плотностью \(866\) кг/м\(^3\) и диэлектрической проницаемостью \(2{,}4\), плавает металлический шарик объёмом \(3\cdot 10^{-3}\) см\(^3\). Плотность материала шарика составляет \(8980\) кг/м\(^3\). Найдите площадь пластин конденсатора, если при заряде конденсатора в \(6\) мкКл, а заряде шарика — \(0{,}8\) нКл, он (шарик) остаётся в покое (см. рисунок). Расстояние между пластинами конденсатора намного больше радиуса шарика и намного меньше размеров пластин. Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\), электрическую постоянную \(9\cdot 10^{-12}\) Ф/м. Ответ приведите в квадратных метрах, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(S = 1\) м\(^2\).
▶РешениеСкрыть
Шарик находится в покое, значит, сумма сил равна нулю: \(F_э + F_а = mg\). Электрическая сила \(F_э = q_ш E = \dfrac{q_ш q_к}{\varepsilon\varepsilon_0 S}\), сила Архимеда \(F_а = \rho_ж g V_ш\), сила тяжести \(mg = \rho_ш V_ш g\). Отсюда \[S = \frac{q_ш q_к}{\varepsilon\varepsilon_0\, g\, V_ш\,(\rho_ш - \rho_ж)} = \frac{0{,}8\cdot 10^{-9}\cdot 6\cdot 10^{-6}}{2{,}4\cdot 9\cdot 10^{-12}\cdot 10\cdot 3\cdot 10^{-9}\cdot(8980 - 866)}~\text{м}^2 \approx 0{,}91~\text{м}^2 \approx 1~\text{м}^2.\]
зад 8 Диэлектрическая проницаемость жидкости
Внутри плоского заряженного конденсатора, заполненного диэлектрической жидкостью плотностью \(830\) кг/м\(^3\), плавает металлический шарик объёмом \(2\cdot 10^{-3}\) см\(^3\). Плотность материала шарика составляет \(8750\) кг/м\(^3\). Найдите относительную диэлектрическую проницаемость жидкости, если при заряде конденсатора в \(4\) мкКл, а заряде шарика — \(0{,}5\) нКл, он (шарик) остаётся в покое (см. рисунок). Площадь пластин конденсатора составляет \(0{,}5\) м\(^2\), расстояние между ними намного больше радиуса шарика и намного меньше размеров пластин. Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\), электрическую постоянную \(9\cdot 10^{-12}\) Ф/м. Ответ приведите, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(\varepsilon = 3\).
▶РешениеСкрыть
Из условия равновесия шарика \(\dfrac{q_ш q_к}{\varepsilon\varepsilon_0 S} + \rho_ж g V_ш - \rho_ш V_ш g = 0\) получаем \[\varepsilon = \frac{q_ш q_к}{S\,\varepsilon_0\, g\, V_ш\,(\rho_ш - \rho_ж)} = \frac{0{,}5\cdot 10^{-9}\cdot 4\cdot 10^{-6}}{0{,}5\cdot 9\cdot 10^{-12}\cdot 10\cdot 2\cdot 10^{-9}\cdot(8750 - 830)} \approx 2{,}8 \approx 3.\]
зад 9 Сосуд с поршнем, воздух и пар
Закрытый сосуд с поршнем, способным двигаться без трения, заполнен смесью воздуха и насыщенного водяного пара с температурой \(T = 20\) °C. Внутри сосуда закреплён манометр, показывающий текущее давление газа. В результате изотермического сжатия объём, занимаемый газом, уменьшился в \(n = 3\) раза, а показания манометра увеличились в \(\alpha = 2\) раза. Определите конечные показания манометра. Давление насыщенных паров воды \(2{,}34\) кПа. Ответ приведите в кПа, округлив до ближайшего целого. Объёмом образовавшейся воды пренебрегите.
▶ОтветСкрыть
\(9\) кПа.
▶РешениеСкрыть
Показания манометра — сумма парциальных давлений воздуха и насыщенного водяного пара. Условие увеличения показаний в \(\alpha\) раз: \(p_2 + p_{н.п.} = \alpha\,(p_1 + p_{н.п.})\). Изотермическое сжатие воздуха: \(p_1 V_1 = p_2 V_2\), \(V_1 = n V_2\), откуда \(p_1 = \dfrac{p_2}{n}\). Тогда \[p_2 - \frac{\alpha}{n}\,p_2 = p_{н.п.}(\alpha - 1) \;\Rightarrow\; p_2 = p_{н.п.}\,\frac{n(\alpha - 1)}{n - \alpha}.\] Конечные показания манометра \[p_2 + p_{н.п.} = p_{н.п.}\,\frac{\alpha(n-1)}{n-\alpha} = 2{,}34\cdot\frac{2\cdot 2}{1}~\text{кПа} = 9{,}36~\text{кПа} \approx 9~\text{кПа}.\]
зад 10 Сосуд с водой и сухим воздухом
В закрытом сосуде, оснащённом манометром, находится сухой воздух при температуре \(T\). Сосуд через герметичный клапан наполняют водой так, что вода занимает \(1/n = 1/2\) часть объёма сосуда. Через некоторое время показания манометра установились и оказались в \(\alpha = 4\) раза больше первоначальных. Определите начальное давление воздуха в сосуде. Давление насыщенных паров воды \(p_{н.п.} = 2{,}34\) кПа, процесс считать изотермическим, изменением объёма воды с испарением пренебречь.
▶ОтветСкрыть
\(p_1 = 1{,}17\) кПа \(\approx 1\) кПа.
▶РешениеСкрыть
Начальное показание манометра равно давлению сухого воздуха \(p_1\). В конце показание — сумма давлений воздуха и насыщенного пара: \(p_2 = p_{возд2} + p_{н.п.}\), и по условию \(p_2 = \alpha p_1\). Свободная от воды часть сосуда \(V_2 = V_1\,\dfrac{n-1}{n}\). Изотермическое сжатие воздуха даёт \(p_{возд2} = \dfrac{n}{n-1}\,p_1\). Подставляя, \[p_1\,\frac{n\alpha - \alpha - n}{n-1} = p_{н.п.}\;\Rightarrow\; p_1 = p_{н.п.}\,\frac{n-1}{n\alpha - \alpha - n} = 2{,}34\cdot\frac{1}{8 - 4 - 2}~\text{кПа} = 1{,}17~\text{кПа} \approx 1~\text{кПа}.\]
зад 11 Рамка с током и грузиками
Квадратная невесомая проводящая рамка со стороной \(a = 55\) см лежит на горизонтальной непроводящей плоскости. В пространстве создаётся однородное магнитное поле с индукцией \(2\) Тл, линии которого направлены параллельно плоскости и ориентированы относительно сторон рамки так, как показано на рисунке (вид сверху). В каждой из вершин рамки разместили по одинаковому точечному грузику. Определите, какую минимальную массу должен иметь каждый из грузиков, чтобы при протекании по рамке тока \(I = 1\) А она оставалась покоиться на горизонтальной плоскости? Направление тока указано на рисунке. Считайте, что грузики не влияют на магнитное поле и протекающий в рамке ток. Ответ приведите в граммах, округлив до целого. Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ОтветСкрыть
\(39\) г.
▶РешениеСкрыть
На каждую сторону рамки действует сила Ампера \(F_А = IaB\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}IaB\). Стороны EF и FC испытывают силы, направленные вверх, стороны CK и KE — вниз, поэтому рамка стремится повернуться вокруг оси, проходящей через вершину K перпендикулярно диагонали FK. Плечи сил от ближних сторон \(\dfrac{a}{2\sqrt{2}}\), от дальних \(\dfrac{3a}{2\sqrt{2}}\). Суммарный момент сил Ампера без грузиков: \[2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}IaB\cdot\frac{3a}{2\sqrt{2}} - 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}IaB\cdot\frac{a}{2\sqrt{2}} = Ia^2B.\] Моменты сил тяжести грузиков: в точках C и E с плечом \(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\), в точке F с плечом \(\sqrt{2}\,a\). Условие равновесия: \[Ia^2B - 2\,\frac{Mga}{\sqrt{2}} - \sqrt{2}\,Mga = 0 \;\Rightarrow\; M = \sqrt{2}\,\frac{IaB}{4g} = \sqrt{2}\cdot\frac{1\cdot 0{,}55\cdot 2}{4\cdot 10}~\text{кг} \approx 38{,}9~\text{г} \approx 39~\text{г}.\]
зад 12 Частица в магнитном поле в квадратной области
В ограниченном пространстве, сечение которого имеет форму квадрата со стороной \(3\) см (см. рисунок), создаётся однородное магнитное поле. Линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Двигаясь слева направо, в это пространство влетает положительно заряженная частица, отношение заряда к массе которой равно \(24\cdot 10^4\) Кл/кг. Начальная скорость частицы равна \(360\) м/с и направлена перпендикулярно левой границе области, точка влёта расположена на расстоянии \(1\) см от нижней границы. Какова должна быть величина индукции магнитного поля, чтобы частица вылетела из этой области в направлении, перпендикулярном первоначальному направлению движения? Ответ приведите в Тл, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(75\) мТл.
▶РешениеСкрыть
Частица движется по окружности. Из правила левой руки центр окружности должен находиться в левом верхнем углу области, чтобы частица вылетела перпендикулярно первоначальному направлению. Радиус окружности \(R = 2\) см. Из соотношения \(qvB = \dfrac{mv^2}{R}\): \[B = \frac{v}{(q/m)\,R} = \frac{360~\text{м/с}}{24\cdot 10^4~\text{Кл/кг}\cdot 0{,}02~\text{м}} = 0{,}075~\text{Тл} = 75~\text{мТл}.\] Меньшая индукция даёт больший радиус и угол отклонения меньше \(90^\circ\), поэтому найденное значение минимальное.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2022/23, отборочный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.