зад 1 Стержень на пружинках
Невесомый жёсткий стержень длиной \(L = 40\) см прикреплён к столу пружинками так, как показано на рисунке. Жёсткость левой пружинки равна \(k_1 = 10\) Н/м, правой — \(k_2 = 6\) Н/м. Стержень тянут за точку \(O\) вертикально вверх так, что он остаётся ориентирован параллельно поверхности стола. Определите расстояние от левого края стержня до точки \(O\). Ответ приведите в сантиметрах.
▶ОтветСкрыть
\(15\) см.
▶РешениеСкрыть
Стержень не поворачивается, значит, сумма моментов приложенных сил относительно точки \(O\) равна нулю. Обозначим расстояние от левого края стержня до точки \(O\) как \(l\) и сместим стержень на \(\Delta x\) вверх. Тогда моменты сил относительно точки \(O\) уравновешивают друг друга: \[k_1\, l\,\Delta x = k_2\,(L-l)\,\Delta x,\] откуда \[l = L\,\frac{k_2}{k_1+k_2} = 40~\text{см}\cdot\frac{6}{16} = 15~\text{см}.\]
зад 2 Рычаг с грузом и ниткой
Невесомый рычаг длиной \(L = 40\) см насажен на горизонтальную ось в точке \(O\) так, как показано на рисунке, и может свободно вращаться вокруг неё в плоскости рисунка. К правому концу, расположенному на расстоянии \(l_1 = 15\) см от оси, подвешен груз массой \(m_1 = 5\) кг. Слева от оси на расстоянии \(x\) от точки \(O\) к рычагу привязана ниточка, прикреплённая к полу. Система находится в равновесии. Определите, какую максимальную массу \(m_2\) можно подвесить к левому концу стержня, чтобы система оставалась в равновесии. Ответ приведите в килограммах.
▶ОтветСкрыть
\(3\) кг.
▶РешениеСкрыть
Изначально момент силы тяжести правого груза скомпенсирован силой натяжения ниточки. Когда к левому краю подвешивается груз \(m_2\), натяжение ниточки уменьшается. Если момент силы тяжести левого груза станет больше правого, натяжение исчезнет, и рычаг начнёт поворачиваться. Следовательно, максимальная масса определяется равенством моментов сил тяжести левого и правого грузов: \[m_2\,(L-l_1) = m_1\,l_1 \;\Rightarrow\; m_2 = \frac{m_1\,l_1}{L-l_1} = \frac{5\cdot 15}{25}~\text{кг} = 3~\text{кг}.\]
зад 3 Лист в каналах
Подхваченный ветром осенний лист упал в систему каналов. Увлекаемый течением, он дважды переплывал из одного канала в другой, и наконец попал в канализационный слив. Определите, какие из приведённых ниже графиков правильно описывают движение листа в каналах, и рассчитайте по ним среднюю скорость движения листа. Ответ приведите в м/мин, округлив до ближайшего целого. Течение воды в каналах равномерное, скорости течения в разных каналах отличаются. Время, за которое лист переходил из одного канала в другой, много меньше времени его движения по самим каналам.
▶ОтветСкрыть
\(18\) м/мин.
▶РешениеСкрыть
Лист движется со скоростью течения. Условию дважды переплывания из канала в канал удовлетворяют графики А и Б. График В неверный, так как на нём скорость линейно меняется со временем; график Г неверный, так как по нему лист не двигался \(7{,}5\) мин. По графику А путь \(800\) м пройден за \(45\) мин, поэтому \[v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{800~\text{м}}{45~\text{мин}} \approx 18~\text{м/мин}.\] По графику Б получается то же значение: \[v_{\text{ср}} = \frac{30\cdot 10 + 20\cdot 15 + 10\cdot 20}{10 + 15 + 20}~\text{м/мин} = \frac{800}{45}~\text{м/мин} \approx 18~\text{м/мин}.\]
зад 4 Траволатор в тоннеле
Часть пути Володи из дома до школы пролегает по подземному тоннелю. В тоннеле для пешеходов в обе стороны установлены одинаковые траволаторы, представляющие собой горизонтальные бесступенчатые дорожки, движущиеся с постоянной скоростью. Обычно Володя идёт по траволатору в спокойном темпе и тратит на проход \(1\) минуту. Как-то раз, преодолев таким образом треть длины траволатора, Володя вспомнил, что забыл дома спортивную форму для физкультуры, развернулся и побежал обратно. Сойдя с траволатора и отдышавшись, Володя прикинул, что если бы он дошёл в том же темпе до конца траволатора, а затем перешёл на соседний, движущийся в обратную сторону, и шёл по нему в спокойном темпе, то оказался бы у выхода всего на \(21\) секунду позже. Определите длину траволатора, если известно, что ходит Володя со скоростью \(85\) м/мин, а бегает — с \(166\) м/мин. Ответ приведите в метрах, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(200\) м.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(v_0\) — скорость траволатора, \(v_В\) и \(v'_В\) — скорости Володи при ходьбе и беге относительно тоннеля, \(t_1 = 1\) мин, \(t_2 = 21\) с \(= 0{,}35\) мин, \(t_x\) — время бега по траволатору. Из условия получаем систему уравнений: \[v_0 + v_В = \frac{L}{t_1}, \qquad v'_В - v_0 = \frac{L}{3t_x}, \qquad \frac{5}{3}L = (v_0 + v_В)(t_x + t_2).\] Отсюда \(t_x = \dfrac{5t_1 - 3t_2}{3}\), и, складывая первое и второе уравнения, \[L = \frac{(v_В + v'_В)\,(5t_1 - 3t_2)\,t_1}{6t_1 - 3t_2} = \frac{251\cdot 3{,}95\cdot 1}{4{,}95}~\text{м} \approx 200~\text{м}.\]
зад 5 Свечка с алюминиевой шайбой
Парафиновая цилиндрическая свечка с прикреплённой к ней снизу алюминиевой шайбой плавает в бассейне (см. рисунок). Диаметры свечки и шайбы одинаковы, высота свечки — \(H_0 = 20\) см, высота шайбы — \(h_0 = 1\) см. Свечку поджигают и наблюдают за её движением. Форма свечки при этом остаётся цилиндрической, её высота уменьшается со скоростью \(c = 0{,}3\) мм/с. Через некоторое время \(t_0\) верхняя грань свечки оказывается вровень с водой, и фитиль потухает. Определите время \(t_0\). Плотность парафина \(\rho_{\text{п}} = 900\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность алюминия \(\rho_{\text{ал}} = 2700\) кг/м\(^3\). Считайте, что свечка перемещается в воде медленно и с постоянной скоростью.
▶ОтветСкрыть
\(100\) с.
▶РешениеСкрыть
Высота свечки меняется по закону \(H(t) = H_0 - ct\). Условие плавания в каждый момент: \[\rho_{\text{ал}}\,h_0 + \rho_{\text{п}}\,H(t) = \rho_{\text{в}}\,h(t),\] где \(h(t)\) — погружённая часть всей конструкции. В момент \(t_0\) свечка уходит под воду, и \(h(t_0) = h_0 + H_0 - ct_0\). Отсюда \[t_0 = \frac{1}{c}\left(H_0 - \frac{\rho_{\text{ал}} - \rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\,h_0\right) = \frac{1}{0{,}3~\text{мм/с}}\,(200~\text{мм} - 170~\text{мм}) = 100~\text{с}.\]
зад 6 Свечка на пружинке
Парафиновая цилиндрическая свечка высотой \(H_0 = 40\) см и площадью основания \(S = 0{,}05\) м\(^2\) плавает в бассейне. Свечка прикреплена к полу бассейна пружинкой с жёсткостью \(k = 50\) Н/м (см. рисунок). Свечку поджигают и наблюдают, как испаряется парафин. Форма свечки при этом остаётся цилиндрической, её высота уменьшается со скоростью \(c = 0{,}4\) мм/с. Через некоторое время \(t_0\) верхняя грань свечки оказывается вровень с водой, и фитиль потухает. Определите время \(t_0\), если известно, что растяжение пружины в этот момент составляло \(\Delta x = 10\) см. Плотность парафина \(\rho_{\text{п}}\) = 900 кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\). Считайте, что свечка опускается в воду медленно и с постоянной скоростью.
▶ОтветСкрыть
\(750\) с.
▶РешениеСкрыть
Высота свечки меняется по закону \(H(t) = H_0 - ct\). Второй закон Ньютона для свечки, движущейся равномерно, с учётом силы упругости пружины: \[\rho_{\text{п}}\,H(t) + \frac{k\,\Delta x}{S g} = \rho_{\text{в}}\,h(t),\] где \(h(t)\) — погружённая часть свечки. В момент \(t_0\) верхняя грань на уровне воды, \(h(t_0) = H(t_0)\). Отсюда \[t_0 = \frac{1}{c}\left(H_0 - \frac{1}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\,\frac{k\,\Delta x}{S g}\right) = \frac{1}{0{,}4~\text{мм/с}}\,(400~\text{мм} - 100~\text{мм}) = 750~\text{с}.\]
зад 7 Два стакана с водой
Экспериментатор нагревает воду в двух одинаковых стаканах с помощью двух одинаковых нагревателей. На рисунке изображены построенные им графики зависимости температуры воды в стаканах № 1 и № 2 от времени. Найдите отношение объёмов воды \(V_2\) к \(V_1\). Мощности нагревателей считайте постоянными, теплопотерями и теплоёмкостью стаканов пренебречь. Приведите ответ, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(2\).
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса для воды в стаканах: \(P\,\Delta t_1 = c\rho V_1\,\Delta T_1\) и \(P\,\Delta t_2 = c\rho V_2\,\Delta T_2\). Деля второе на первое, получаем \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\Delta T_1\,\Delta t_2}{\Delta T_2\,\Delta t_1}.\] По графикам: \(\Delta T_1 = 10\) °C за \(\Delta t_1 = 1\) мин, \(\Delta T_2 = 5\) °C за \(\Delta t_2 = 1\) мин. Тогда \(V_2/V_1 = 10/5 = 2\).
зад 8 Масло и вода в стаканах
Экспериментатор нагревает два одинаковых стакана с помощью двух одинаковых нагревателей. В одном из стаканов находится растительное масло, в другом — вода. На рисунке изображены построенные им графики зависимости температуры жидкостей от времени. Найдите отношение массы масла к массе воды. Мощности нагревателей считайте постоянными, теплопотерями в окружающую среду и теплоёмкостями стаканов пренебрегите. Удельные теплоёмкости воды и масла равны \(4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C) и \(1680\) Дж/(кг\(\cdot\)°C) соответственно. Ответ приведите, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(1\).
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса: \(P\,\Delta t_М = c_М m_М\,\Delta T_М\) и \(P\,\Delta t_В = c_В m_В\,\Delta T_В\). Деля первое на второе, \[\frac{m_М}{m_В} = \frac{c_В\,\Delta T_В\,\Delta t_М}{c_М\,\Delta T_М\,\Delta t_В}.\] По графикам: \(\Delta T_М = 25\) °C за \(\Delta t_М = 2\) мин, \(\Delta T_В = 5\) °C за \(\Delta t_В = 1\) мин. Тогда \[\frac{m_М}{m_В} = \frac{4200\cdot 1\cdot 4}{1680\cdot 5\cdot 2} = 1.\]
зад 9 Выкипание воды
Экспериментатор разбирал свои старые заметки и нашёл график зависимости температуры воды от времени. Помогите ему определить, какой процент жидкости выкипел за интервал времени, отмеченный вертикальными линиями. Известно, что мощность нагревателя была постоянной, удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), удельная теплота парообразования \(L = 2{,}3\cdot 10^6\) Дж/кг. Ответ приведите в процентах, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(14\) %.
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса для испарения и нагрева воды: \(P\,\Delta t_1 = L\,\Delta m\) и \(P\,\Delta t_2 = c\,m\,\Delta T\). Отсюда \[\frac{\Delta m}{m} = \frac{c\,\Delta T}{L}\,\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}.\] По графику \(\Delta t_1 = 3\) мин, \(\Delta t_2 = 2\) мин, \(\Delta T = 50\) °C. Тогда \(\dfrac{\Delta m}{m} = 0{,}1369 \approx 14\) %.
зад 10 Замерзание воды
Аня выполняет лабораторную работу по охлаждению воды и строит график зависимости температуры от времени. Помогите ей рассчитать на основе полученных данных, какая часть воды превратилась в лёд к концу измерений. Известно, что мощность теплоотвода была постоянна, удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 3{,}4\cdot 10^5\) Дж/кг. Ответ приведите в процентах, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(74\) %.
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса для замерзания и охлаждения воды: \(P\,\Delta t_1 = -\lambda\,\Delta m\) и \(P\,\Delta t_2 = c\,m\,\Delta T\), где \(\Delta T < 0\). Отсюда \[\frac{\Delta m}{m} = -\frac{c\,\Delta T}{\lambda}\,\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}.\] По графику \(\Delta t_1 = 3\) мин, \(\Delta t_2 = 2\) мин, \(\Delta T = -40\) °C. Тогда \(\dfrac{\Delta m}{m} \approx 0{,}74 \approx 74\) %.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2022/23, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.