зад 1 Свечка с алюминиевой шайбой
Парафиновая цилиндрическая свечка с прикреплённой к ней снизу алюминиевой шайбой плавает в бассейне (см. рисунок). Диаметры свечки и шайбы одинаковы, высота свечки — \(H_0 = 20\) см, высота шайбы — \(h_0 = 1\) см. Свечку поджигают и наблюдают за её движением. Форма свечки при этом остаётся цилиндрической, её высота уменьшается со скоростью \(c = 0{,}3\) мм/с. Через некоторое время \(t_0\) верхняя грань свечки оказывается вровень с водой, и фитиль потухает. Определите время \(t_0\). Плотность парафина \(\rho_{\text{п}} = 900\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность алюминия \(\rho_{\text{ал}} = 2700\) кг/м\(^3\). Считайте, что свечка перемещается в воде медленно и с постоянной скоростью.
▶ОтветСкрыть
\(100\) с.
▶РешениеСкрыть
Высота свечки меняется по закону \(H(t) = H_0 - ct\). Условие плавания в каждый момент: \[\rho_{\text{ал}}\,h_0 + \rho_{\text{п}}\,H(t) = \rho_{\text{в}}\,h(t),\] где \(h(t)\) — погружённая часть всей конструкции. В момент \(t_0\) свечка уходит под воду, и \(h(t_0) = h_0 + H_0 - ct_0\). Отсюда \[t_0 = \frac{1}{c}\left(H_0 - \frac{\rho_{\text{ал}} - \rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\,h_0\right) = \frac{1}{0{,}3~\text{мм/с}}\,(200~\text{мм} - 170~\text{мм}) = 100~\text{с}.\]
зад 2 Свечка на пружинке
Парафиновая цилиндрическая свечка высотой \(H_0 = 40\) см и площадью основания \(S = 0{,}05\) м\(^2\) плавает в бассейне. Свечка прикреплена к полу бассейна пружинкой с жёсткостью \(k = 50\) Н/м (см. рисунок). Свечку поджигают и наблюдают, как испаряется парафин. Форма свечки при этом остаётся цилиндрической, её высота уменьшается со скоростью \(c = 0{,}4\) мм/с. Через некоторое время \(t_0\) верхняя грань свечки оказывается вровень с водой, и фитиль потухает. Определите время \(t_0\), если известно, что растяжение пружины в этот момент составляло \(\Delta x = 10\) см. Плотность парафина \(\rho_{\text{п}} = 900\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\). Считайте, что свечка опускается в воду медленно и с постоянной скоростью.
▶ОтветСкрыть
\(750\) с.
▶РешениеСкрыть
Высота свечки меняется по закону \(H(t) = H_0 - ct\). Второй закон Ньютона для свечки, движущейся равномерно, с учётом силы упругости пружины: \[\rho_{\text{п}}\,H(t) + \frac{k\,\Delta x}{S g} = \rho_{\text{в}}\,h(t),\] где \(h(t)\) — погружённая часть свечки. В момент \(t_0\) верхняя грань на уровне воды, \(h(t_0) = H(t_0)\). Отсюда \[t_0 = \frac{1}{c}\left(H_0 - \frac{1}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\,\frac{k\,\Delta x}{S g}\right) = \frac{1}{0{,}4~\text{мм/с}}\,(400~\text{мм} - 100~\text{мм}) = 750~\text{с}.\]
зад 3 Два стакана с водой
Экспериментатор нагревает воду в двух одинаковых стаканах с помощью двух одинаковых нагревателей. На рисунке изображены построенные им графики зависимости температуры воды в стаканах № 1 и № 2 от времени. Найдите отношение объёмов воды \(V_2\) к \(V_1\). Мощности нагревателей считайте постоянными, теплопотерями и теплоёмкостью стаканов пренебречь. Приведите ответ, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(2\).
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса для воды в стаканах: \(P\,\Delta t_1 = c\rho V_1\,\Delta T_1\) и \(P\,\Delta t_2 = c\rho V_2\,\Delta T_2\). Деля второе на первое, получаем \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\Delta T_1\,\Delta t_2}{\Delta T_2\,\Delta t_1}.\] По графикам: \(\Delta T_1 = 10\) °C за \(\Delta t_1 = 1\) мин, \(\Delta T_2 = 5\) °C за \(\Delta t_2 = 1\) мин. Тогда \(V_2/V_1 = 10/5 = 2\).
зад 4 Масло и вода в стаканах
Экспериментатор нагревает два одинаковых стакана с помощью двух одинаковых нагревателей. В одном из стаканов находится растительное масло, в другом — вода. На рисунке изображены построенные им графики зависимости температуры жидкостей от времени. Найдите отношение массы масла к массе воды. Мощности нагревателей считайте постоянными, теплопотерями и теплоёмкостями стаканов пренебрегите. Удельные теплоёмкости воды и масла равны \(4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C) и \(1680\) Дж/(кг\(\cdot\)°C) соответственно. Ответ приведите, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(1\).
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса: \(P\,\Delta t_М = c_М m_М\,\Delta T_М\) и \(P\,\Delta t_В = c_В m_В\,\Delta T_В\). Деля первое на второе, \[\frac{m_М}{m_В} = \frac{c_В\,\Delta T_В\,\Delta t_М}{c_М\,\Delta T_М\,\Delta t_В}.\] По графикам: \(\Delta T_М = 25\) °C за \(\Delta t_М = 2\) мин, \(\Delta T_В = 5\) °C за \(\Delta t_В = 1\) мин. Тогда \[\frac{m_М}{m_В} = \frac{4200\cdot 1\cdot 4}{1680\cdot 5\cdot 2} = 1.\]
зад 5 Выкипание воды
Экспериментатор разбирал свои старые заметки и нашёл график зависимости температуры воды от времени. Помогите ему определить, какой процент жидкости выкипел за интервал времени, отмеченный вертикальными линиями. Известно, что мощность нагревателя была постоянной, удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), удельная теплота парообразования \(L = 2{,}3\cdot 10^6\) Дж/кг. Ответ приведите в процентах, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(14\) %.
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса для испарения и нагрева воды: \(P\,\Delta t_1 = L\,\Delta m\) и \(P\,\Delta t_2 = c\,m\,\Delta T\). Отсюда \[\frac{\Delta m}{m} = \frac{c\,\Delta T}{L}\,\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}.\] По графику \(\Delta t_1 = 3\) мин, \(\Delta t_2 = 2\) мин, \(\Delta T = 50\) °C. Тогда \(\dfrac{\Delta m}{m} = 0{,}1369 \approx 14\) %.
зад 6 Замерзание воды
Аня выполняет лабораторную работу по охлаждению воды и строит график зависимости температуры от времени. Помогите ей рассчитать на основе полученных данных, какая часть воды превратилась в лёд к концу измерений. Известно, что мощность теплоотвода была постоянна, удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 3{,}4\cdot 10^5\) Дж/кг. Ответ приведите в процентах, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(74\) %.
▶РешениеСкрыть
Уравнения теплового баланса для замерзания и охлаждения воды: \(P\,\Delta t_1 = -\lambda\,\Delta m\) и \(P\,\Delta t_2 = c\,m\,\Delta T\), где \(\Delta T < 0\). Отсюда \[\frac{\Delta m}{m} = -\frac{c\,\Delta T}{\lambda}\,\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}.\] По графику \(\Delta t_1 = 3\) мин, \(\Delta t_2 = 2\) мин, \(\Delta T = -40\) °C. Тогда \(\dfrac{\Delta m}{m} \approx 0{,}74 \approx 74\) %.
зад 7 Мешок с песком на двух сегментах наклонной плоскости
Мешок с песком спускают по наклонной плоскости, состоящей из двух прямых сегментов, имеющих разный угол наклона к горизонту — первый из них более крутой, чем второй. Переход между сегментами плавный, его длина много меньше длины каждого из сегментов. Определите, какие из графиков, представленных ниже, корректно описывают движение мешка, и определите по ним среднюю скорость. Мешок скользит без трения, размерами мешка пренебрегите. Ответ приведите в м/с, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(8\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Мешок движется без трения, поэтому на каждом сегменте он движется с постоянным ускорением, равным проекции ускорения свободного падения на плоскость. Этому условию соответствуют графики А и Г. График Б неверный, так как ускорение на нём меняется со временем; график В неверный, так как путь растёт линейно, то есть движение равномерное.
По графику А ускорения на сегментах равны \(a_1 = 2\) м/с\(^2\) и \(a_2 = 1\) м/с\(^2\), отрезки времени \(t_1 = 4\) с и \(t_2 = 6\) с. Средняя скорость: \[v_{\text{ср}} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{a_1 t_1^2 + 2a_1 t_1 t_2 + a_2 t_2^2}{t_1 + t_2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot 4^2 + 2\cdot 2\cdot 4\cdot 6 + 1\cdot 6^2}{4 + 6}~\text{м/с} = 8{,}2~\text{м/с}.\]
зад 8 Прибор с вольт-амперной характеристикой, 540~Вт
Электрический прибор, вольт-амперная характеристика которого изображена на рисунке, подключён в цепь постоянного тока. Найдите ток, проходящий через прибор, если известно, что им потребляется мощность в \(540\) Вт.
▶ОтветСкрыть
\(90\) А.
▶РешениеСкрыть
Мощность прибора \(I\,U = 540\) Вт. По графику характеристика состоит из двух линейных участков: \[I = 30\,U \quad (0 \leqslant U \leqslant 2), \qquad I = 7{,}5\,U + 45 \quad (2 \leqslant U \leqslant 8).\] На первом участке \(30\,U^2 = 540\) даёт \(U \approx 4{,}2\) В, что вне участка. На втором участке \[7{,}5\,U^2 + 45\,U - 540 = 0 \;\Rightarrow\; U = 6~\text{В}, \qquad I = \frac{540}{6}~\text{А} = 90~\text{А}.\]
зад 9 Прибор с вольт-амперной характеристикой, 840~Вт
Электрический прибор, вольт-амперная характеристика которого изображена на рисунке, подключён в цепь постоянного тока. Найдите напряжение на приборе, если им потребляется мощность \(840\) Вт.
▶ОтветСкрыть
\(7\) В.
▶РешениеСкрыть
Мощность прибора \(I\,U = 840\) Вт. По графику характеристика состоит из двух линейных участков: \[I = 10\,U \quad (0 \leqslant U \leqslant 4{,}5), \qquad I = 30\,U - 90 \quad (4{,}5 \leqslant U \leqslant 8).\] На первом участке \(10\,U^2 = 840\) даёт \(U \approx 9\) В, что вне участка. На втором участке \[30\,U^2 - 90\,U - 840 = 0 \;\Rightarrow\; U_1 = -4~\text{В}, \qquad U_2 = 7~\text{В}.\] Подходит значение \(U = 7\) В.
зад 10 Сообщающиеся сосуды с платформами и пружинами
Два цилиндрических сообщающихся сосуда с площадями оснований \(S_1 = 0{,}2\) м\(^2\) и \(S_2 = 0{,}1\) м\(^2\) заполнены водой (плотность \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\)). В каждом сосуде на поверхности воды находится по невесомой платформе, плотно прилегающей к стенкам сосуда. На каждой платформе установлено по невесомой пружине с одинаковыми жёсткостями \(k = 1000\) Н/м и длинами \(L_0\). На пружину на первой платформе кладут груз массой \(M_1 = 8\) кг. Определите, груз какой массы \(M_2\) надо положить на пружину на второй платформе, чтобы оба груза оказались на одной высоте? Ответ приведите в килограммах, округлив до ближайшего целого. Положение грузов отсчитывается по их нижней поверхности. Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Силами трения пренебрегите, пружины всегда остаются вертикальными.
▶ОтветСкрыть
\(6\) кг.
▶РешениеСкрыть
Пружина давит на платформу с той же силой, что и груз давит на пружину, поэтому для положения платформ пружины можно не учитывать. Пусть \(H_1\) и \(H_2\) — высоты платформ над дном. Давления на уровне платформ равны: \[\rho g H_1 + \frac{M_1 g}{S_1} = \rho g H_2 + \frac{M_2 g}{S_2}.\] Длины пружин после нагрузки \(L_1 = L_0 - M_1 g/k\) и \(L_2 = L_0 - M_2 g/k\). Условие одной высоты грузов \(H_1 + L_1 = H_2 + L_2\) даёт \(H_1 - H_2 = \dfrac{g}{k}(M_1 - M_2)\). Приравнивая два выражения для разности высот, получаем \[M_2 = M_1\,\frac{S_2}{S_1}\,\frac{\rho g S_1 + k}{\rho g S_2 + k} = 8\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2000 + 1000}{1000 + 1000}~\text{кг} = 6~\text{кг}.\]
зад 11 Сообщающиеся сосуды с грузом на пружине
Два цилиндрических сообщающихся сосуда с площадями оснований \(S_1 = 0{,}2\) м\(^2\) и \(S_2 = 0{,}1\) м\(^2\) заполнены водой (плотность \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\)). В каждом сосуде на поверхности воды находится по невесомой платформе, плотно прилегающей к стенкам сосуда. На первую платформу установлена пружина с жёсткостью \(k = 1000\) Н/м и длиной \(L_0 = 0{,}5\) м в недеформированном состоянии, и поверх этой пружины установлен груз массой \(M_1 = 38\) кг. Какой массы \(M_2\) надо положить груз на вторую платформу, чтобы после установления равновесия грузы оказались на одной высоте? Ответ приведите в килограммах, округлив до ближайшего целого. Положение грузов отсчитывается по их нижней поверхности. Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Силами трения пренебрегите, пружина всегда остаётся вертикальной.
▶ОтветСкрыть
\(7\) кг.
▶РешениеСкрыть
Пружину на первой платформе можно не учитывать при определении положения платформ. Давления на уровне платформ дают \[\rho g H_1 + \frac{M_1 g}{S_1} = \rho g H_2 + \frac{M_2 g}{S_2},\] а длина пружины под грузом \(L_1 = L_0 - M_1 g/k\). Условие одной высоты грузов \(H_2 - H_1 = L_1\), и отсюда \[M_2 = M_1\left(\frac{S_2}{S_1} + \frac{\rho g S_2}{k}\right) - \rho S_2 L_0 = 38\cdot\left(0{,}5 + 1\right)~\text{кг} - 50~\text{кг} = 7~\text{кг}.\]
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2022/23, отборочный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.