СПбГУ, 2022/23, заключительный этап, 10 класс

Перейдите в систему, где внутреннее кольцо неподвижно: центр малого кольца движется со скоростью, равной полусумме скоростей его точек касания.

1) \(t_1=\dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}\);  2) \(\omega=\dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2(R_2-R_1)}\).

Радиус малого кольца \(r=\dfrac{R_2-R_1}{2}\), его центр расположен на расстоянии \(R_x=\dfrac{R_2+R_1}{2}\) от оси колец.

Перейдём в систему отсчёта, в которой внутреннее кольцо \(R_1\) покоится. Внешнее кольцо \(R_2\) в этой системе вращается вокруг внутреннего с частотой \(\omega'=\omega_2-\omega_1\). Точка малого кольца, касающаяся кольца \(R_2\), движется со скоростью \((\omega_2-\omega_1)R_2\), поэтому центр малого кольца движется со скоростью, в два раза меньшей: \[v_0'=\frac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2}.\] Частота обращения малого кольца вокруг своей оси в этой системе отсчёта: \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi r}\,v_0'=\frac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2(R_2-R_1)}.\]

Возвращаясь в исходную систему отсчёта, находим линейную скорость центра малого кольца: \[v_0=\frac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2}+\frac{\omega_1(R_2+R_1)}{2} =\frac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{2}.\] Время одного оборота малого кольца вокруг внутреннего кольца: \[t_1=\frac{2\pi R_x}{v_0}=\frac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}.\]

Натяжение жгута одинаково по всей его длине; его вертикальная составляющая уравновешивается дополнительным сжатием пружины.

\(F=2k_2H_0\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)\sqrt{\beta^2-\left(1+\dfrac{k_2}{k_1} \left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)\right)^{-2}}\).

Удлинение жгута \(\Delta l=H_0(\beta-1)\), сила натяжения жгута \[T=k_2\Delta l=k_2H_0(\beta-1).\] Вертикальная проекция натяжения уравновешена дополнительным сжатием пружины: \[k_1\Delta H=T\sin\alpha=k_2H_0(\beta-1)\sin\alpha,\] где \(\Delta H\) — изменение высоты шайбы, \(\alpha\) — угол жгута с горизонталью. Из прямоугольного треугольника \[\sin\alpha=\frac{H_0-\Delta H}{\beta H_0}.\] Отсюда \[\Delta H=\frac{H_0k_2(\beta-1)}{\beta k_1+k_2(\beta-1)}, \qquad \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{\beta^2}\left(1+\frac{k_2}{k_1}\left(1-\frac{1}{\beta}\right)\right)^{-2}}.\] Сила \(F=2T\cos\alpha\), после подстановки получаем ответ, приведённый выше.

Сначала найдите напряжения на всех элементах при исходном напряжении. Затем проверьте, какой элемент сгорит первым, и пересчитайте цепь без него.

\(U_x=4{,}2\,U_0\).

Прибор перестанет работать, если оба сопротивления перегорят или сам прибор перегорит. В исходной цепи прибор и параллельно включённые \(R_1\), \(R_2\) соединены последовательно: \[U_{пр}=\frac{12}{17}U_x,\qquad U_1=U_2=\frac{5}{17}U_x.\] Пороговые напряжения источника: \[R_1:\ U_x=3{,}4\,U_0;\qquad R_2:\ U_x=10{,}2\,U_0;\qquad \text{прибор}:\ U_x=7\tfrac{1}{12}\,U_0.\] Значит, первым сгорает резистор \(R_1\) при \(U_x=3{,}4\,U_0\). Дальше прибор и \(R_2\) включены последовательно: \[U_2=\frac{5}{7}U_x,\qquad U_{пр}=\frac{2}{7}U_x.\] При \(U_x=3{,}4\,U_0\) получаем \(U_2'=\dfrac{23}{7}U_0<3U_0\) и \(U_{пр}'=\dfrac{34}{35}U_0<5U_0\), поэтому цепь продолжает работать. Дальше перегорит резистор \(R_2\) при \(U_x=4{,}2\,U_0\), а прибор — при \(U_x=17{,}5\,U_0\). Итак, при \(U_x=4{,}2\,U_0\) цепь обрывается.

Часть ртути испаряется, и пар занимает часть капилляра. Шкалу наносили без учёта пара, поэтому показания при \(T_c\) зависят от высоты столбика, которую задаёт пар.

\(T_x=T_0+\dfrac{1}{\beta}\left(\dfrac{1-\dfrac{S\rho_п(T_c)H}{M_0}} {\dfrac{1}{1+\beta(T_c-T_0)}-\dfrac{\rho_п(T_c)}{\rho_0}}-1\right)\).

Общая масса ртути в капилляре \[M_0=S\bigl(\rho_ж h+\rho_п(H-h)\bigr),\] где \(h\) — высота столбика жидкости, \(\rho_п\) — плотность насыщенного пара.

Градусник проградуирован без учёта испарения, при температуре \(T\) было бы \(M_0=\rho_ж(T)Sh\), откуда \[1+\beta(T-T_0)=\frac{\rho_0Sh}{M_0},\] то есть шкала имеет вид \(\Delta T=\dfrac{\rho_0S}{\beta M_0}\,\Delta h\).

При температуре \(T_c\) высота столбика жидкости \[h=\frac{M_0/S-\rho_п(T_c)H}{\rho_ж(T_c)-\rho_п(T_c)}.\] Показание градусника \(T_x\) определяется по шкале из условия \(1+\beta(T_x-T_0)=\dfrac{\rho_0Sh}{M_0}\): \[T_x=T_0+\frac{1}{\beta}\left(\frac{1-\dfrac{S\rho_п(T_c)H}{M_0}} {\dfrac{1}{1+\beta(T_c-T_0)}-\dfrac{\rho_п(T_c)}{\rho_0}}-1\right).\]

Соседние кубы образуют плоские конденсаторы. Используйте сохранение заряда на каждом кубе и равенство напряжений в двух параллельных ветвях.

\(V=\dfrac{1}{4}V_0\).

Два соседних металлических куба образуют плоский конденсатор ёмкостью \(C\) (краевые эффекты пренебрежимы). Исходная система — последовательная цепочка конденсаторов; последний конденсатор зашунтирован перемычкой и выпадает, поэтому суммарная ёмкость \(\dfrac{C}{2}\). Заряд \(q\) такой, что \(q/C=V_0\), каждый конденсатор цепочки заряжен до \(\dfrac{q}{2}\). Суммарные заряды кубов: у куба №1 \(+\dfrac{q}{2}\), у куба №3 \(-\dfrac{q}{2}\), кубы №2 и №4 электронейтральны.

После отсоединения источника и перемычки заряды кубов сохраняются, а после перемещения образуется цепочка из четырёх конденсаторов. Пусть \(q_{ik}\) — заряд на конденсаторе между кубами \(i\) и \(k\). Закон сохранения заряда даёт \[q_{12}+q_{13}=\frac{q}{2},\qquad -q_{12}+q_{24}=0, \qquad -q_{13}+q_{34}=-\frac{q}{2},\qquad -q_{24}-q_{34}=0.\] Недостающее уравнение следует из равенства напряжений в двух параллельных ветвях: \(q_{12}+q_{24}=q_{13}+q_{34}\). Решая систему, получаем \[q_{12}=q_{24}=\frac{q}{8},\qquad q_{13}=\frac{3q}{8},\qquad q_{34}=-\frac{q}{8}.\] Напряжение вольтметра \[V=\frac{q_{12}}{C}+\frac{q_{24}}{C}=\frac{1}{4}\cdot\frac{q}{C}=\frac{1}{4}V_0.\]