зад 1 Блоки, пружина и жгуты
Система состоит из двух невесомых блоков: нижний закреплен на нерастяжимом стержне, а верхний — на пружине жесткостью \(k_1\), к нему на невесомой нерастяжимой нити подвешен груз массой \(m\). Через блоки перекинуты два невесомых упругих жгута с жесткостями \(k_2\) и \(k_3\) (\(k_2 > k_3\)), связанные невесомой нерастяжимой нитью. Связка нить-жгуты может скользить по блокам без трения. Концы пружины и жгутов прочно прикреплены к двум параллельным горизонтальным плоскостям (см. рис.). В начальный момент времени жгуты не растянуты. Плоскости развели, увеличив расстояние между ними на \(\Delta H\). Найдите, на сколько удлинилась пружина и жгуты по сравнению с начальным состоянием. Геометрическими размерами блоков можно пренебречь.
Вариант 2: блоки массивные (масса каждого блока учитывается), верхний блок закреплен на стержне, нижний — на пружине. Ответ для варианта 2 тот же, что и для варианта 1.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия верхнего блока до раздвижения и после него и вычтите одно из другого. Отсутствие трения между жгутом и блоком связывает удлинения жгутов между собой.
▶ОтветСкрыть
Пружина: \(\Delta x_1 = \dfrac{6\,\Delta H}{4+\dfrac{k_1}{k_2}+\dfrac{k_1}{k_3}}\); жгут \(k_2\): \(\Delta x_2 = \dfrac{3\,\Delta H}{4\dfrac{k_2}{k_1}+\dfrac{k_2}{k_3}+1}\); жгут \(k_3\): \(\Delta x_3 = \dfrac{3\,\Delta H}{4\dfrac{k_3}{k_1}+\dfrac{k_3}{k_2}+1}\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим удлинения: \(\Delta x_1\) — пружины, \(\Delta x_2\) и \(\Delta x_3\) — жгутов. Условие равновесия верхнего блока в начальном состоянии \(k_1\Delta x_0 = mg\); после раздвижения вычитание даёт \(k_1\Delta x_1 - 2k_3\Delta x_3 = 0\). Отсутствие трения между жгутом и блоком даёт \(k_2\Delta x_2 = k_3\Delta x_3\).
Расстояние между плоскостями складывается из длины стержня, расстояния между блоками и длины пружины, поэтому \(\Delta H = \Delta x_1 + \Delta y\), где \(\Delta y\) — изменение расстояния между блоками. Длина нити с жгутами даёт \(\Delta x_2 + \Delta x_3 = 3\Delta y + \Delta x_1\). Исключая \(\Delta y\), получаем \[\Delta H = \Delta x_1 + \frac{\Delta x_2 + \Delta x_3 - \Delta x_1}{3}.\] Решая систему трёх уравнений, получаем ответы выше.
зад 2 Пар и вода в теплоизолированных сосудах
Имеется два теплоизолированных сосуда, в каждом из которых содержится насыщенный водяной пар массой \(0{,}1\) кг и вода массой \(0{,}8\) г. Температура пара в первом сосуде \(94\,^\circ\)C, во втором — \(100\,^\circ\)C. Каждый из сосудов нагревают до тех пор, пока вода в нем не испарится полностью. Определите, на сколько количество теплоты, сообщенное в первый сосуд, отличалось от сообщенного во второй. Считайте, что удельная теплота парообразования не зависит от температуры, а давление насыщенного водяного пара возрастает на \(2{,}4\) кПа при повышении температуры на \(1\) К. Удельная теплоемкость водяного пара \(1{,}38\) кДж/(кг\(\cdot\)К). Давление насыщенного пара при \(100\,^\circ\)C равно \(101{,}3\) кПа.
Варианты 2 и 3 отличаются данными: вода массой \(0{,}5\) г и температура в первом сосуде \(96\,^\circ\)C (вариант 2); вода массой \(0{,}7\) г и температура \(98\,^\circ\)C (вариант 3). Остальные данные те же.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление насыщенного пара при температуре ниже \(100\,^\circ\)C находится по линейной зависимости от температуры. Дальше — уравнение состояния пара при постоянном объёме сосуда.
▶ОтветСкрыть
\(|Q_2 - Q_1| \approx 8{,}4\) Дж (во втором сосуде теплоты сообщено больше).
▶РешениеСкрыть
Давление насыщенного пара в первом сосуде: \(p_1 = p_{100} - \alpha\,(100 - 94) = 101{,}3 - 2{,}4\cdot 6 = 86{,}9\) кПа, где \(\alpha = 2{,}4\) кПа/К. Объём сосуда \(V\) постоянен, а объём капли воды много меньше объёма сосуда, поэтому после испарения капли объём пара не меняется.
Из уравнения состояния до и после нагрева (\(p_1 V = \dfrac{M}{\mu}RT_1\) и \((p_1 + \alpha\Delta T)V = \dfrac{M+m}{\mu}R(T_1+\Delta T)\)) получаем \[\Delta T = \frac{m\,T_1\,p_1}{\alpha M T_1 - M p_1 - m p_1}.\] Для первого сосуда \(\Delta T_1 \approx 0{,}32\) К, для второго (при \(100\,^\circ\)C, \(p = 101{,}3\) кПа) \(\Delta T_2 \approx 0{,}38\) К.
Теплота, сообщённая сосуду до полного испарения капли: \(Q = qm + (c_в m + c_п M)\,\Delta T\), где \(q\) — удельная теплота парообразования, \(c_в \approx 4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot\)К) — теплоёмкость воды (в условии она не дана, вклад мал), \(c_п\) — теплоёмкость пара. Слагаемые \(qm\) в разности сокращаются: \[Q_2 - Q_1 = (c_в m + c_п M)(\Delta T_2 - \Delta T_1) \approx 8{,}4~\text{Дж}.\]
зад 3 Малое кольцо между двумя вращающимися кольцами
Система из трёх колец закреплена так, как показано на рисунке. Внутреннее кольцо радиусом \(R_1\) вращается вокруг своей оси с частотой \(\omega_1\), внешнее кольцо радиусом \(R_2\) — с частотой \(\omega_2 > \omega_1\) в том же направлении. Между кольцами \(R_1\) и \(R_2\) зажато малое кольцо радиусом \(r\) так, что при вращении колец оно движется без проскальзывания. Определите:
время, за которое ось малого кольца совершит полный оборот вокруг оси колец \(R_1\) и \(R_2\);
частоту обращения малого кольца вокруг своей оси в системе отсчёта, в которой внутреннее кольцо неподвижно.
Вариант 2: внешнее кольцо вращается с частотой \(\omega_2 < \omega_1\) в противоположном направлении.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе, где внутреннее кольцо неподвижно, внешнее вращается с частотой \(\omega_2 - \omega_1\); скорость центра малого кольца равна половине скорости точки его касания с внешним кольцом.
▶ОтветСкрыть
1) \(t = \dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}\); 2) \(\omega' = \dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{R_2-R_1}\) (угловая скорость вращения малого кольца вокруг своей оси).
▶РешениеСкрыть
Радиус малого кольца \(r = \dfrac{R_2-R_1}{2}\), его центр на расстоянии \(\dfrac{R_1+R_2}{2}\) от оси.
В системе, где внутреннее кольцо неподвижно, внешнее вращается с \(\omega' = \omega_2-\omega_1\); точка касания с внешним кольцом движется со скоростью \(v' = \omega' R_2\), центр малого кольца — со скоростью \(v_0' = v'/2\). Без проскальзывания по неподвижному внутреннему кольцу угловая скорость малого кольца вокруг своей оси \(\omega' = v_0'/r = \dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{R_2-R_1}\).
Возвращаясь в исходную систему, находим скорость центра малого кольца \(v_0 = \dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2} + \omega_1\dfrac{R_1+R_2}{2} = \dfrac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{2}\). Время одного оборота вокруг оси колец \(t = \dfrac{2\pi\,(R_1+R_2)/2}{v_0} = \dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}\).
Для варианта 2 (вращение в противоположных направлениях) аналогично получаем \(t = \dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2-\omega_1R_1}\) и \(\omega' = \dfrac{(\omega_2+\omega_1)R_2}{R_2-R_1}\).
зад 4 Шайба на штанге с эластичным жгутом
На рисунке изображена конструкция, состоящая из жёсткой штанги, на которую насажены цилиндрическая массивная шайба и невесомая пружина жесткостью \(k_1\). Шайба способна двигаться по штанге без трения. Пружина одним концом присоединена к шайбе, другим — к полу. Шайба соединена с полом ещё и эластичным невесомым жгутом жесткостью \(k_2\). Жгут изначально не растянут. Расстояние от пола до шайбы \(H_0\). Жгут оттягивают за середину в горизонтальном направлении с некоторой силой \(F\) так, как показано на рисунке, в результате чего шайба опустилась. Определите величину этой силы, если известно, что длина жгута в результате натяжения увеличилась в \(\beta\) раз.
▶ПодсказкаСкрыть
Удлинение жгута выражается через \(H_0\) и \(\beta\). Сила натяжения жгута вдоль него раскладывается на вертикальную и горизонтальную составляющие; вертикальная уравновешивается изменением сжатия пружины.
▶ОтветСкрыть
\(F = 2k_2H_0\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)\sqrt{\beta^2-\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{k_2}{k_1}\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)}\right)^2}\).
▶РешениеСкрыть
Жгут удлинился на \(\Delta l = H_0(\beta-1)\), сила натяжения \(T = k_2H_0(\beta-1)\). Вертикальная проекция натяжения уравновешивается дополнительным сжатием пружины: \(k_1\Delta H = T\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол жгута с горизонталью. Из прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — половина жгута, а катет — половина высоты, \(\sin\alpha = \dfrac{H_0-\Delta H}{H_0\beta}\). Отсюда \[\Delta H = \frac{H_0 k_2(\beta-1)}{\beta k_1 + k_2(\beta-1)}, \qquad \sin\alpha = \frac{1}{\beta}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{k_2}{k_1}\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)}.\] Сила \(F = 2T\cos\alpha\), и после подстановки получаем ответ.
зад 5 Электроприбор в цепи с двумя резисторами
Электроприбор включён в цепь с двумя резисторами и источником постоянного напряжения (см. рис.). Известно, что каждый из элементов цепи выходит из строя при определённых значениях напряжения, падающих на этом элементе: резистор \(R_1\) — при \(U_0\), резистор \(R_2\) — при \(3U_0\), электроприбор — при \(5U_0\). Сопротивление первого резистора \(R_1\) составляет \(R\). Сопротивление второго \(R_2\) — \(5R\), прибора — \(2R\). Определите, при каком минимальном напряжении источника \(U_x\) электроприбор перестанет работать.
Вариант 2: \(R_2 = 0{,}3R\), сопротивление прибора \(0{,}2R\), пороги напряжения \(U_0\) (резистор \(R_1\)), \(1{,}2\,U_0\) (резистор \(R_2\)) и \(3U_0\) (прибор). Ответ для варианта 2: \(U_x = 2\,U_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите напряжения на каждом элементе, пока все целы. Потом учтите, что после обрыва одного резистора схема меняется: останется последовательная цепь из второго резистора и прибора.
▶ОтветСкрыть
\(U_x = 4{,}2\,U_0\) (сгорает резистор \(R_2\), цепь рвётся).
▶РешениеСкрыть
Прибор перестанет работать, когда оборвётся цепь: сгорят оба резистора или сам прибор.
Пока оба резистора целы, \(U_{пр} = \dfrac{12}{17}U_x\) и \(U_1 = U_2 = \dfrac{5}{17}U_x\). Резистор \(R_1\) сгорает при \(U_x = 3{,}4\,U_0\); резистор \(R_2\) — при \(U_x = 10{,}2\,U_0\); прибор — при \(U_x = 7\tfrac{1}{12}\,U_0\).
При \(U_x = 3{,}4\,U_0\) сгорает \(R_1\), и схема становится последовательной: \(R_2\) и прибор. Тогда \(U_2 = \dfrac{5}{7}U_x\), \(U_{пр} = \dfrac{2}{7}U_x\). При \(U_x = 3{,}4\,U_0\) напряжения равны \(2{,}43\,U_0 < 3U_0\) и \(0{,}97\,U_0 < 5U_0\), поэтому они целы. Резистор \(R_2\) сгорает при \(U_x = 4{,}2\,U_0\), прибор — при \(U_x = 17{,}5\,U_0\).
Итак, минимальное напряжение, при котором прибор перестанет работать, \(U_x = 4{,}2\,U_0\).
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2022/23, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.