СПбГУ, 2023/24, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите правило моментов относительно шарнира. Центр тяжести стержня находится в его середине.

Ответ

\(2\) кг.

Решение

Примем за \(L\) длину стержня. Сила тяжести \(mg\) приложена к центру стержня, её плечо относительно шарнира \(0{,}5L\). Сила упругости пружины \(k\Delta x\) имеет плечо \(L\). Правило моментов: \(0{,}5\,mgL=k\Delta x\,L\), откуда \(mg=2k\Delta x\) и \[m=\frac{2k\Delta x}{g}=\frac{2\cdot 200\cdot 0{,}05}{10}=2~\text{кг}.\]

Подсказка

Время до звука складывается из времени полёта пули до дна и времени, за которое звук поднимается на поверхность.

Ответ

\(8\) с.

Решение

Время, через которое мальчик услышит звук, \(t_0=t_1+t_2\), где \(t_1\) — время полёта пули до дна, \(t_2\) — время, за которое звук проходит тот же путь \(S\) со дна шахты. Из \(S=V_0t_1+\dfrac{gt_1^2}{2}\) получаем \(t_1=5\) с. Далее \(t_2=\dfrac{S}{V_\text{зв}}\approx 2{,}65\) с. Тогда \(t_0=5+2{,}65=7{,}65\) с\(\approx 8\) с.

Подсказка

Соберите эквивалентную схему: два провода последовательно с участком из трёх параллельных ветвей, и лампа в той же цепи. Сначала найдите сопротивления проводов.

Ответ

\(2\) А.

Решение

Эквивалентная схема: \(R_0=R_1+\dfrac{(R_2+R_3)R_4}{R_2+R_3+R_4}+r\), где \(R_1,\dots,R_4\) — сопротивления проводов, \(r\) — сопротивление лампы. Сопротивления проводов \(R=\rho\dfrac{L}{S}\): \(R_1=\dfrac{1{,}72\cdot 10^{-8}\cdot 30}{7\cdot 10^{-7}}\approx 0{,}737\) Ом, \(R_2=\dfrac{2{,}7\cdot 10^{-8}\cdot 25}{3\cdot 10^{-7}}=2{,}25\) Ом, \(R_3=\dfrac{1{,}72\cdot 10^{-8}\cdot 8}{8\cdot 10^{-7}}=0{,}172\) Ом, \(R_4=\dfrac{1{,}72\cdot 10^{-8}\cdot 45}{1\cdot 10^{-6}}=0{,}774\) Ом. Общее сопротивление \(R_0\approx 6{,}32\) Ом. Ток через лампу \(I_0=\dfrac{U}{R_0}=\dfrac{12}{6{,}32}\approx 1{,}898\) А, что округляется до \(2\) А.

Подсказка

Период колебаний грузика по графику связан с массой и жёсткостью жгута. Растяжение в покое связано с весом грузика.

Ответ

\(405\) см.

Решение

Из графика определяем период колебаний: \(T=4\) с (вариант 1). Период пружинного маятника \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\), откуда \(\dfrac{m}{k}=\dfrac{T^2}{4\pi^2}\). Второй закон Ньютона для покоящегося жгута: \(mg=k\Delta x\), поэтому \[\Delta x=\frac{m}{k}\,g=\frac{T^2}{4\pi^2}\,g=\frac{16}{4\pi^2}\cdot 10~\text{м}\approx 4{,}05~\text{м}=405~\text{см}.\]

Подсказка

Для изохорного процесса объём постоянен; для изотермического — температура. Сравнивайте давления через уравнение состояния \(PV/T=\text{const}\) для нужных точек.

Ответ

А) да; Б) нет; В) нет; Г) да.

Решение

А) Да. Между точками 1 и 2 изображён процесс изотермического сжатия.

Б) Нет. Процесс 2–3 не является изохорным, так как давление на этом участке меняется.

В) Нет. Из уравнения состояния для точек 1 и 5: \(\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_5V_5}{T_5}\), то есть \(\dfrac{P_1\cdot 5V_0}{5V_0}=\dfrac{P_5V_0}{15T_0}\), откуда \(P_1=\dfrac{P_5}{15}\). Давление в точке 5 в 15 раз больше, чем в точке 1.

Г) Да. Из уравнения состояния для точек 5 и 2: \(\dfrac{P_5V_0}{15T_0}=\dfrac{P_2V_0}{5T_0}\), откуда \(P_5=3P_2\).

Подсказка

Ускорение шайбы вдоль прорези равно проекции \(g\) на её направление, а длина прорези — проекция диаметра.

Ответ

\(t_1/t_2=1\).

Решение

Ускорение шайбы по гладкой прорези равно проекции ускорения свободного падения на ось вдоль прорези: \(a_\alpha=g\cos\alpha\), \(a_\beta=g\cos\beta\). Длины прорезей: \(l_\alpha=d\cos\alpha\), \(l_\beta=d\cos\beta\), где \(d\) — вертикальный диаметр полушария. Из \(l=\dfrac{at^2}{2}\): \(d\cos\alpha=\dfrac{g\cos\alpha\,t_1^2}{2}\) и \(d\cos\beta=\dfrac{g\cos\beta\,t_2^2}{2}\), откуда \(t_1=t_2=\sqrt{\dfrac{2d}{g}}\). Время не зависит от угла, поэтому \(t_1/t_2=1\).