зад 1 Грузик на жгуте
На невесомом эластичном жгуте подвешен грузик некоторой массы. Грузик смещают из положения равновесия и отпускают, в результате чего он начинает совершать вертикальные колебания. Зависимость смещения грузика от времени представлена на графике. Определите растяжение жгута в состоянии покоя. Ответ приведите в сантиметрах, округлив до ближайшего целого значения. Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с\(^2\), массой жгута пренебрегите.
▶ОтветСкрыть
\(405\) см.
▶РешениеСкрыть
Из графика определяем период колебаний грузика \(T = 4\) с. Он связан с массой грузика и жёсткостью жгута формулой \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\), откуда \(\dfrac{m}{k} = \dfrac{T^2}{4\pi^2}\). Второй закон Ньютона для растяжения жгута в состоянии покоя: \(mg = k\,\Delta x\), откуда \(\Delta x = \dfrac{m}{k}\,g = \dfrac{T^2}{4\pi^2}\,g = \dfrac{16}{4\pi^2}\cdot 10~\text{м} \approx 4{,}05~\text{м} = 405~\text{см}.\)
зад 2 Диаграмма процессов идеального газа
Изменение состояния некоторого постоянного количества идеального газа представлено на диаграмме. Выберите верные утверждения: А) процесс 1-2 — изотермическое сжатие; Б) процесс 2-3 — изохорный; В) давление идеального газа в точке 5 в три раза меньше, чем в точке 1; Г) давление идеального газа в точке 5 в три раза больше, чем в точке 2.
▶ОтветСкрыть
А — верно; Б — неверно; В — неверно; Г — верно.
▶РешениеСкрыть
А) Да: на диаграмме между точками 1 и 2 изображён изотермический процесс сжатия.
Б) Нет: процесс 2–3 не является изохорным, так как давление на этом участке меняется.
В) Нет. Из уравнения состояния \(\dfrac{P_1V_1}{T_1} = \dfrac{P_5V_5}{T_5}\) для точек 1 и 5 получаем \(P_1 = P_5/15\), то есть давление в точке 5 в 15 раз больше, чем в точке 1.
Г) Да. Для точек 5 и 2: \(\dfrac{P_5V_0}{15T_0} = \dfrac{P_2V_0}{5T_0}\), откуда \(P_5 = 3P_2\).
зад 3 Шайбы в прорезях полушария
Из верхней точки полушария (см. рисунок) проделали насквозь две гладкие прорези под углами к вертикали 30° и 45°. В начало каждой из прорезей разместили по небольшой шайбе и отпустили. Пусть \(t_1\) — время движения шайбы в прорези, образующей угол 30° с вертикалью; \(t_2\) — время движения другой шайбы. Найдите отношение \(t_1/t_2\). Трение отсутствует.
▶ОтветСкрыть
\(t_1/t_2 = 1\).
▶РешениеСкрыть
Ускорение шайбы вдоль гладкой прорези равно проекции ускорения свободного падения на её направление: \(a = g\cos\alpha\) (для угла \(\alpha\) с вертикалью). Длина прорези \(l = d\cos\alpha\), где \(d\) — диаметр полушария. Из \(d\cos\alpha = \dfrac{g\cos\alpha\,t^2}{2}\) получаем \(t = \sqrt{2d/g}\), что не зависит от угла. Поэтому \(t_1/t_2 = 1\).
зад 4 Накопитель механической энергии
Накопитель механической энергии поднимает груз по шахте. Глубина шахты \(H = 100\) м. Груз представляет собой твёрдое тело высотой \(h\) и занимает часть шахты (см. рисунок). Какую высоту должен иметь груз, чтобы при его полном подъёме запасалось максимальное количество механической энергии? Ответ приведите в метрах, округлив до целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(50\) м.
▶РешениеСкрыть
Груз можно поднять на высоту \(H - h\) над основанием шахты. Запасённая механическая энергия \(E = Mg(H-h)\), масса груза \(M = \rho S h\). Тогда \(E = \rho g S h (H-h)\). Условие максимума: \(\dfrac{dE}{dh} = \rho g S (H - 2h) = 0\), откуда \(h = \dfrac{1}{2}H\). Для \(H = 100\) м получаем \(h = 50\) м.
зад 5 Пучок частиц в плоском конденсаторе
Широкий пучок заряженных частиц, имеющих заряд \(q\) и массу \(m\), изначально движущихся горизонтально со скоростью \(V\), проходит между горизонтальными обкладками плоского конденсатора (его длина \(L\), расстояние между электродами \(d\), напряжение между обкладками \(U\)) и попадает на вертикальный экран за ним, как показано на рисунке. Пролетев сквозь конденсатор, в полосу какой высоты попадут заряженные частицы на экране? Ответ приведите в миллиметрах, округляя до целого числа. Краевыми эффектами на границах конденсатора и влиянием силы тяжести пренебрегите; отражение частиц от твёрдых поверхностей и их взаимодействие друг с другом не учитывайте.
▶ОтветСкрыть
\(H = d - \dfrac{q}{m}\,\dfrac{U}{d}\,\dfrac{L^2}{2V^2}\).
▶РешениеСкрыть
Кулоновская сила \(F = qE = qU/d\), ускорение \(a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{q}{m}\dfrac{U}{d}\). Время пролёта конденсатора \(T = L/V\). За это время частица смещается на \[\delta y = \frac{aT^2}{2} = \frac{q}{m}\,\frac{U}{d}\,\frac{L^2}{2V^2}.\] Верхняя граница полосы на экране определяется частицей, влетевшей у верхней обкладки, нижняя — частицей, вылетевшей у нижней обкладки. Высота полосы \[H = d - \delta y = d - \frac{q}{m}\,\frac{U}{d}\,\frac{L^2}{2V^2}.\]
зад 6 Частица в магнитном поле перед экраном
В области перед плоским экраном создано однородное магнитное поле с индукцией 1 мТл. Положительно заряженная частица влетает в это магнитное поле со скоростью 1200 м/с, направленной к центру экрана и перпендикулярно его поверхности (см. рисунок). После прохождения слоя магнитного поля частица попадает на экран на некотором расстоянии от его центра. Определите это расстояние, если известно, что отношение заряда к массе частицы равно \(2\cdot 10^7\) Кл/кг, а толщина области магнитного поля равна \(5{,}2\) см. Ответ приведите в сантиметрах, округлив до ближайшего целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(3\) см.
▶РешениеСкрыть
Сила Лоренца создаёт круговую траекторию радиуса \(R\): \(m\dfrac{v_0^2}{R} = qv_0B\), откуда \(R = \dfrac{v_0}{(q/m)B}\) (\(R > L\) по условию). Из построения: \(R\sin\alpha = L\), \(x = R(1-\cos\alpha)\), \(\cos\alpha = \sqrt{1 - L^2/R^2}\). Итак, \[x = R\left(1 - \sqrt{1 - \frac{L^2}{R^2}}\right).\] Здесь \(R = 6\) см, \(L = 5{,}2\) см, \(x \approx 3\) см.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2023/24, отборочный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.