зад 1 Кубик льда в солёной воде
Василий проводит эксперимент по изучению плавания льда в солёной воде. Для этого Вася взял ледяной кубик из пресной воды объёмом 125 см\(^3\) и погрузил его в воду, взятую из самого солёного моря на планете — Мёртвого моря. В Мёртвом море объёмная доля соли в воде равна \(30\) %. Чему оказался равен объём погружённой части кубика льда в воде из Мёртвого моря? Плотность пресной воды \(1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(900\) кг/м\(^3\), плотность соли — \(2180\) кг/м\(^3\). Ответ приведите в кубических сантиметрах, округлив до ближайшего целого числа. Таянием кубика пренебрегите. Объём раствора считайте равным сумме объёмов компонент.
▶ОтветСкрыть
\(83\) см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
На кубик льда в воде действуют сила тяжести и сила Архимеда. Поскольку кубик плавает в воде (покоится), эти силы уравновешивают друг друга: \[m_{\text{куб}}\,g = V_{\text{погр}}\,\rho_{Mm}\,g \;\Rightarrow\; V_{\text{погр}} = \frac{\rho_{\text{куб}}}{\rho_{Mm}}\,V_{\text{куб}},\] где \(\rho_{Mm}\) — плотность солёной воды из Мёртвого моря. Для её расчёта возьмём \(1\) м\(^3\) воды: 30 % этого объёма — соль, остальные 70 % — вода: \[\rho_{Mm} = 0{,}3\cdot 2180 + 0{,}7\cdot 1000 = 1354~\text{кг/м}^3.\] Тогда \(V_{\text{погр}} = \dfrac{900}{1354}\cdot 125~\text{см}^3 \approx 83~\text{см}^3\).
зад 2 Сила тяги мотоцикла
Мотоциклист движется на скорости 144 км/ч. Расход бензина при этом составляет 4 л на каждые 100 км, КПД двигателя равен \(25\) %. Рассчитайте силу тяги, действующую на мотоцикл при таком движении. Ответ приведите в ньютонах, округлив до ближайшего целого числа. Плотность бензина 800 кг/м\(^3\), удельная теплота сгорания бензина 46.0 МДж/кг.
▶ОтветСкрыть
\(368\) Н.
▶РешениеСкрыть
КПД двигателя по определению равен отношению полезной работы к затраченной энергии: \[\text{КПД} = \frac{F_{\text{тяги}}\,S}{q\,m_{\text{топлива}}} \quad\Rightarrow\quad F_{\text{тяги}} = \text{КПД}\cdot\frac{q\,V\rho_{\text{топлива}}}{S},\] где \(q\) — удельная теплота сгорания топлива, \(S\) — пройденное расстояние. Массу топлива и путь берём из расхода топлива, \(m_{\text{топлива}} = V\rho_{\text{топлива}}\), \(V = 0{,}004\) м\(^3\), \(S = 10^5\) м: \[F_{\text{тяги}} = 0{,}25\cdot 46\cdot 10^6~\tfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}\cdot 0{,}004~\text{м}^3\cdot \frac{800~\text{кг/м}^3}{10^5~\text{м}} = 368~\text{Н}.\]
зад 3 Гидравлический подъёмник
Для поднятия автомобиля автомеханики используют гидравлический подъёмник, работающий по принципу гидравлического пресса (см. рисунок). Площадь малого поршня в 10 раз меньше площади большего поршня. Какую работу нужно совершить над малым поршнем, чтобы поднять автомобиль массой 2 тонны с помощью этого подъёмника, опустив при этом малый поршень на 1 м. Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с\(^2\), массой поршней и трением в системе пренебрегите. Ответ приведите в кДж, округлив до ближайшего целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(2\) кДж.
▶РешениеСкрыть
Из формулы гидравлического пресса \(F_1/S_1 = F_2/S_2\) находим \(F_1 = F_2\,S_1/S_2\), где \(F_2 = mg\). Работа над малым поршнем \(A_1 = F_1 h_1 = mg\,(S_1/S_2)\,h_1 = 2000\cdot 10\cdot 0{,}1\cdot 1 = 2000\) Дж \(= 2\) кДж.
зад 4 Стержень на шарнире и пружине
Однородный массивный стержень закреплён с одного конца на шарнире, вокруг которого он может свободно вращаться. С другого конца стержень прикреплён к потолку пружиной жёсткостью 200 Н/м. Определите массу стержня, если система находится в равновесии, стержень ориентирован горизонтально, пружина вертикальная, а её растяжение составляет 5 см? Размерами шарнира и массой пружины пренебрегите, ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\). Ответ приведите в килограммах, округлив до ближайшего целого.
▶ОтветСкрыть
\(2\) кг.
▶РешениеСкрыть
Примем за \(L\) длину стержня. Сила тяжести \(mg\) приложена к центру стержня, её плечо относительно шарнира равно \(0{,}5L\). Сила упругости пружины \(k\,\Delta x\) приложена к концу стержня, её плечо равно \(L\). Правило моментов: \[0{,}5\,mgL = k\,\Delta x\,L \quad\Rightarrow\quad mg = 2k\,\Delta x,\] откуда \[m = \frac{2k\,\Delta x}{g} = \frac{2\cdot 200\cdot 0{,}05}{10}~\text{кг} = 2~\text{кг}.\]
зад 5 Выстрел в шахту
Мальчик стреляет из ружья в шахту, глубина которой составляет 875 метров. Начальная скорость пули равна 150 м/с и направлена вертикально вниз. Найдите, через какое время после выстрела мальчик услышит, что пуля достигла дна. Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\), скорость звука \(330\) м/с, сопротивлением воздуха пренебрегите. Ответ приведите в секундах, округлив до ближайшего целого числа.
▶ОтветСкрыть
\(8\) с.
▶РешениеСкрыть
Искомое время складывается из времени полёта пули \(t_1\) и времени, за которое звук проходит ту же глубину \(S\) обратно: \(t_0 = t_1 + t_2\).
Для пули \(S = V_0 t_1 + \dfrac{g t_1^2}{2}\), откуда \(t_1 = 5\) с. Звук: \(t_2 = \dfrac{S}{V_{\text{зв}}}\), откуда \(t_2 \approx 2{,}65\) с. Тогда \(t_0 = t_1 + t_2 \approx 7{,}65\) с, что с округлением даёт \(8\) с.
зад 6 Лампа в цепи с медными и алюминиевыми проводами
Лампа накаливания сопротивлением \(5\) Ом подключена к источнику питания медными и алюминиевыми проводами, как показано на рисунке. В таблице представлены параметры каждого провода: номер, длина \(L\), площадь поперечного сечения \(S\) и материал. На источнике выставлено напряжение 12 В. Найдите силу тока, проходящего через лампу. Ответ приведите в амперах, округлив до целого. Удельное сопротивление меди \(1{,}72\cdot 10^{-8}\) Ом\(\cdot\)м, алюминия — \(2{,}70\cdot 10^{-8}\) Ом\(\cdot\)м. Внутренним сопротивлением источника пренебрегите, сопротивление лампы считайте постоянным.
▶ОтветСкрыть
\(2\) А.
▶РешениеСкрыть
Эквивалентная схема: провод 1 последовательно с лампой и с параллельным участком, в котором провода 2 и 3 соединены последовательно, а провод 4 идёт параллельно им. Сопротивления проводов: \[R_1 = \frac{\rho_{\text{медь}}\,l_1}{S_1} \approx 0{,}737~\text{Ом},\quad R_2 = \frac{\rho_{\text{алюм}}\,l_2}{S_2} = 2{,}25~\text{Ом},\quad R_3 \approx 0{,}172~\text{Ом},\quad R_4 \approx 0{,}774~\text{Ом}.\] Общее сопротивление цепи: \[R_0 = R_1 + \frac{(R_2+R_3)\,R_4}{R_2+R_3+R_4} + r \approx 6{,}32~\text{Ом},\] где \(r\) — сопротивление лампы. Ток через лампу: \(I_0 = U/R_0 \approx 1{,}898\) А \(\approx 2\) А.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2023/24, отборочный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.