зад 1 Корректирующий маневр спутника
Вариант 1. Космический зонд массой \(m\) движется вокруг планеты X по перпендикулярной экваториальной плоскости круговой орбите радиуса \(R\) со скоростью \(v\). Период обращения планеты вокруг своей оси равен \(T\), причём \(T \gg 2\pi R/v\). Когда зонд пролетал над северным полюсом, его орбита проходила точно над кратером, расположенным на экваторе, при этом зонд приближался к кратеру. В этот момент зонд совершил корректирующий маневр, выбросив струю газа со скоростью \(u\) относительно зонда в направлении, перпендикулярном плоскости первоначальной орбиты, и в итоге пролетел точно над кратером. Найдите массу топлива, которую выбросил зонд в ходе маневра. Выброс считайте мгновенным, а массу топлива малой по сравнению с массой зонда.
Примечание: для малых углов \(\alpha\) можно считать \(\sin\alpha \simeq \alpha\), \(\cos\alpha \simeq 1\).
Вариант 2. Космический зонд массой \(m\) движется по круговой орбите со скоростью \(v\) вокруг планеты X, период обращения которой вокруг собственной оси равен \(T\). Длина орбиты равна \(L\). В момент, когда зонд пролетал над северным полюсом планеты, его скорость была направлена по касательной к окружности, проходящей при первом пересечении экватора над кратером Y. В этот момент зонд совершает корректирующий маневр, выбрасывая струю газа со скоростью \(u\) относительно зонда. В результате маневра модуль скорости зонда и высота орбиты не изменились. Считая выброс мгновенным, определите массу выброшенного топлива, если известно, что, достигнув экватора, зонд пролетел точно над кратером.
▶ПодсказкаСкрыть
Вариант 1: закон сохранения импульса в направлении струи; за время четверти витка планета поворачивается на малый угол. Вариант 2: изменение скорости при неизменном модуле — равнобедренный треугольник векторов.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(\mu = \dfrac{m\,v\sin\alpha}{u+v\sin\alpha} \approx \dfrac{m\,\pi^2 R}{uT+\pi^2R}\), где \(\alpha = \dfrac{\pi^2R}{vT}\). Вариант 2: \(\mu = \dfrac{m\,|\Delta v|}{u+|\Delta v|}\), где \(|\Delta v| = v\sqrt{2(1-\cos\alpha)}\), \(\alpha = \dfrac{\pi L}{2vT}\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Закон сохранения импульса в направлении выброса (скорость зонда до маневра ортогональна ему): \(0 = \mu u - (m-\mu)\,v\sin\alpha\), откуда \(\mu = \dfrac{m\,v\sin\alpha}{u+v\sin\alpha}\). Модуль скорости почти не меняется, направление поворачивается на угол \(\alpha\). Четверть витка от полюса до экватора длится \(t = \dfrac{T}{4} = \dfrac{2\pi R}{4v}\), за это время кратер смещается по поверхности планеты на угол \(\alpha = \dfrac{2\pi t}{T} = \dfrac{\pi^2R}{vT}\). Тогда \(v\sin\alpha \approx \dfrac{\pi^2R}{T}\), и получаем ответ.
Вариант 2. За время \(t = \dfrac{L}{4v}\) кратер смещается на угол \(\alpha = \dfrac{2\pi t}{T} = \dfrac{\pi L}{2vT}\). Векторы скорости до и после маневра образуют равнобедренный треугольник с углом \(\alpha\) между равными сторонами, поэтому приращение скорости \(|\Delta v| = v\sqrt{2(1-\cos\alpha)}\). Струя должна быть направлена против \(\Delta\vec v\); из закона сохранения импульса \((m-\mu)|\Delta v| = \mu u\), т.е. \(m|\Delta v| = \mu(u+|\Delta v|)\), что даёт ответ.
зад 2 Шайба и лунка между бортиками
На горизонтальной поверхности закреплены два гладких параллельных бортика, расстояние между ними равно \(L\). Посередине между ними на расстоянии \(H\) друг от друга расположены шайба (Ш) и лунка (Л). По шайбе ударяют, сообщая ей скорость \(v_0\) в направлении к одному из бортов под углом \(\alpha\). Определите минимальное значение угла \(\alpha\), при котором шайба попадёт в лунку. Размерами шайбы и лунки можно пренебречь. Шайба отскакивает от бортиков абсолютно упруго. Коэффициент трения шайбы о горизонтальную поверхность равен \(\mu\).
▶ПодсказкаСкрыть
Отражение от бортика упруго, поэтому путь шайбы можно развернуть в прямую, зеркально копируя пространство между бортиками. Длина пути, которую шайба успевает пройти до остановки, ограничена.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha_{min} = \operatorname{arctg}\dfrac{H}{n_{max}L}\), где \(n_{max}\) — наибольшее целое число, не превышающее \(\dfrac{\sqrt{l^2-H^2}}{L}\), и \(l = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}\) — максимальный путь шайбы до остановки.
▶РешениеСкрыть
Сила трения \(\mu mg\) создаёт ускорение \(a = \mu g\), движение равнозамедленное. Максимальный путь до остановки \(l = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}\). Упругие отражения сохраняют модуль скорости, поэтому после каждого удара от бортика можно зеркально отразить пространство между бортиками и считать движение прямолинейным: лунка при \(n\) отражениях оказывается в \(n\)-й зеркальной копии на горизонтальном расстоянии \(nL\) и на вертикальном \(H\) (от шайбы).
Путь до лунки равен \(l\): \(\sin\alpha = \dfrac{H}{l}\), \(\cos\alpha = \dfrac{nL}{l}\). Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{H}{nL}\), и наименьший угол соответствует наибольшему допустимому \(n\), при котором \((nL)^2 + H^2 \le l^2\).
зад 3 Туннельный диод и прибор в цепи
Резистор \(R\), туннельный диод 1 и прибор 2 включены в электрическую схему, как показано на рисунке. Напряжение источника \(U\), питающего цепь, составляет \(20\) В. Максимально допустимая мощность источника составляет \(1\) Вт. Сопротивление резистора \(R\) составляет \(500\) Ом. Вольт-амперные характеристики (ВАХ) диода и прибора изображены на графиках ниже. Определите показания амперметра, если схема работает в допустимом режиме. Внутренним сопротивлением источника пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток через прибор при напряжении \(20\) В снимается с его ВАХ. Для ветви «резистор + диод» ток \(I_2 = (U-U_1)/R\) — прямая на графике ВАХ диода; её пересечения с кривой диода дают возможные режимы.
▶ОтветСкрыть
\(I = 0{,}05\) А.
▶РешениеСкрыть
По ВАХ прибора при \(U = 20\) В находим ток \(I_3 = 0{,}04\) А. Для ветви резистора и диода \(I_2 = \dfrac{U-U_1}{R}\); графическое решение даёт три возможных значения \(I_2\): \(0{,}03\); \(0{,}015\) и \(0{,}01\) А. Полный ток источника \(I_1 = I_2 + I_3\) принимает значения \(0{,}07\); \(0{,}055\) и \(0{,}05\) А. Мощность источника \(P = UI_1 \le 1\) Вт ограничивает ток значением \(I_1 \le 0{,}05\) А, поэтому амперметр показывает \(0{,}05\) А.
зад 4 Мотоцикл с грузом
Вариант 1. Мотоциклист пытается сдвинуть тяжёлый груз массой \(M\) с места с помощью своего заднеприводного мотоцикла. Он привязал груз верёвками к оси заднего колеса, запустил двигатель и стал постепенно увеличивать обороты заднего колеса. В некоторый момент переднее колесо оторвалось от земли, двигатель пришлось заглушить, но груз так и не сдвинулся с места. Определите, груз какой массы нужно закрепить мотоциклисту на оси переднего колеса, чтобы получилось сдвинуть груз с места. Радиус колёс равен \(R\), расстояние между осями колёс равно \(L\), масса мотоцикла с мотоциклистом равна \(m\), а их центр тяжести расположен посередине между осями колёс. Коэффициент трения скольжения колеса о поверхность равен \(\mu\) и монотонно возрастает с частотой обращения заднего колеса.
Вариант 2. Мотоциклист пытается сдвинуть камень массой \(M\) с места с помощью своего заднеприводного мотоцикла. Он привязал груз верёвками к оси заднего колеса, запустил двигатель и стал постепенно увеличивать обороты заднего колеса. В некоторый момент переднее колесо оторвалось от земли, двигатель пришлось заглушить, но камень так и не сдвинулся с места. Мотоциклист решает закрепить на корпусе мотоцикла дополнительный груз массой \(\Delta m\), расположив его на отрезке между осями колёс. Определите, на каком расстоянии от оси заднего колеса ему нужно расположить этот груз, чтобы получилось сдвинуть камень с места. Радиус колёс равен \(R\), расстояние между осями колёс равно \(L\), масса мотоцикла с мотоциклистом равна \(m\), а их центр тяжести расположен посередине между осями колёс. Коэффициент трения скольжения колеса о поверхность равен \(\mu\) и монотонно возрастает с частотой обращения заднего колеса.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальная масса груза соответствует моменту, когда переднее колесо почти оторвалось: тогда весь вес приходится на заднее колесо. Запишите равенство моментов сил относительно точки опоры.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(\Delta m = \dfrac{m\left(\dfrac{L}{2}-\mu R\right)}{\mu R - L}\) (дополнительный груз на оси переднего колеса). Вариант 2: \(x = \mu\left(1+\dfrac{m}{\Delta m}\right)R - \dfrac{mL}{2\,\Delta m}\), где \(x\) — расстояние от оси заднего колеса.
▶РешениеСкрыть
Минимальная масса груза соответствует моменту, когда переднее колесо почти оторвалось и весь вес приходится на заднее колесо: \(N_1 = (m+\Delta m)g\). Горизонтальная сила со стороны заднего колеса равна \(\mu N_1\) (она приложена на высоте \(R\)). Условие отрыва переднего колеса \(N_2 = 0\) даёт равенство моментов относительно точки опоры заднего колеса: \[\mu(m+\Delta m)gR = \frac{mgL}{2} + \Delta m\,g\,x,\] где \(x = L\) для варианта 1 (груз на оси переднего колеса) и \(x\) — расстояние от оси заднего колеса для варианта 2. Из этого соотношения получаем ответы.
зад 5 Два поршня и несжимаемая жидкость
Вариант 1. В сосуде с двумя поршнями, как показано на рисунке, находится идеальная несжимаемая жидкость в поле силы тяжести. Трение между поршнями и стенками отсутствует. В начальный момент поршни и жидкость покоятся. Затем большой поршень начинает действовать на жидкость с постоянной силой \(\vec F\), в результате чего маленький поршень начинает подниматься. Найдите максимальную высоту подъёма малого поршня \(h_{max}\), используя предположения, что \(r \ll R\) и \(r \ll h_{max}\), где \(r\) — радиус узкой трубки, \(R\) — радиус большого поршня. Считайте, что жидкость движется без завихрений и скорость однородна по сечению узкой трубки. Известны следующие величины: масса \(m\) и радиус \(r\) малого поршня, радиус \(R\) большого поршня и приложенная к нему сила \(F\), плотность жидкости \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\).
Вариант 2. В сосуде с двумя поршнями, как показано на рисунке, находится идеальная несжимаемая жидкость в поле силы тяжести. Трение между поршнями и стенками отсутствует. В начальный момент поршни и жидкость покоятся. Затем большой поршень начинает действовать на жидкость с постоянной силой \(\vec F\), в результате чего маленький поршень начинает подниматься. Найдите массу малого поршня, если в определённый момент движения были измерены высота подъёма \(h_0\) и скорость \(v_0\) поршня. Используйте предположения, что \(r \ll R\) и \(r \ll h_0\), где \(r\) — радиус узкой трубки, \(R\) — радиус большого поршня. Считайте, что жидкость движется без завихрений и скорость однородна по сечению узкой трубки. Также известны следующие величины: радиус \(r\) малого поршня, радиус \(R\) большого поршня и приложенная к нему сила \(F\), плотность жидкости \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Работа силы \(F\) идёт на потенциальную и кинетическую энергию поршня и жидкости. Объём жидкости сохраняется, поэтому подъём малого поршня связан с опусканием большого.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(h_{max} = \dfrac{2F}{\rho\pi R^2 g} - \dfrac{2m}{\rho\pi r^2} - 2R\). Вариант 2: официального решения в PDF нет, ответ не набран.
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Объём жидкости сохраняется: \(h r^2 = H R^2\), где \(H\) — опускание большого поршня, поэтому работа силы \(A = F H = F h\dfrac{r^2}{R^2}\). Изменения энергии: потенциальная энергия поршня \(mgh\); кинетическая энергия поршня \(\dfrac{mv_r^2}{2}\); потенциальная энергия столба жидкости в трубке \(\rho\pi r^2 h\,g\left(\dfrac{h}{2}+R\right)\) (вклад опускания широкой части мал, так как \(H \ll h\)); кинетическая энергия жидкости в трубке \(\rho\pi r^2 h\dfrac{v_r^2}{2}\) (кинетической энергией жидкости в широкой части пренебрегаем при \(r \ll h\)). Уравнение энергии: \[F h\frac{r^2}{R^2} = mgh + \frac{mv_r^2}{2} + \rho\pi r^2 h\,g\left(\frac{h}{2}+R\right) + \rho\pi r^2 h\frac{v_r^2}{2}.\] В наивысшей точке \(v_r = 0\), после сокращения на \(h\) получаем \(\dfrac{Fr^2}{R^2} = mg + \rho\pi r^2 g\left(\dfrac{h_{max}}{2}+R\right)\), откуда и ответ.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2023/24, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.