зад 1 Туннельный диод и прибор в цепи
Резистор \(R\), туннельный диод 1 и прибор 2 включены в электрическую схему, как показано на рисунке. Напряжение источника \(U\), питающего цепь, составляет \(20\) В. Максимально допустимая мощность источника составляет \(1\) Вт. Сопротивление резистора \(R\) составляет \(500\) Ом. Вольт-амперные характеристики (ВАХ) диода и прибора изображены на графиках ниже. Определите показания амперметра, если схема работает в допустимом режиме. Внутренним сопротивлением источника пренебрегите.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток через прибор при напряжении \(20\) В снимается с его ВАХ. Для ветви «резистор + диод» ток \(I_2 = (U-U_1)/R\) — прямая на графике ВАХ диода; её пересечения с кривой диода дают возможные режимы.
▶ОтветСкрыть
\(I = 0{,}05\) А.
▶РешениеСкрыть
По ВАХ прибора при \(U = 20\) В находим ток \(I_3 = 0{,}04\) А. Для ветви резистора и диода \(I_2 = \dfrac{U-U_1}{R}\); графическое решение даёт три возможных значения \(I_2\): \(0{,}03\); \(0{,}015\) и \(0{,}01\) А. Полный ток источника \(I_1 = I_2 + I_3\) принимает значения \(0{,}07\); \(0{,}055\) и \(0{,}05\) А. Мощность источника \(P = UI_1 \le 1\) Вт ограничивает ток значением \(I_1 \le 0{,}05\) А, поэтому амперметр показывает \(0{,}05\) А.
зад 2 Мотоцикл с грузом
Вариант 1. Мотоциклист пытается сдвинуть тяжёлый груз массой \(M\) с места с помощью своего заднеприводного мотоцикла. Он привязал груз верёвками к оси заднего колеса, запустил двигатель и стал постепенно увеличивать обороты заднего колеса. В некоторый момент переднее колесо оторвалось от земли, двигатель пришлось заглушить, но груз так и не сдвинулся с места. Определите, груз какой массы нужно закрепить мотоциклисту на оси переднего колеса, чтобы получилось сдвинуть груз с места. Радиус колёс равен \(R\), расстояние между осями колёс равно \(L\), масса мотоцикла с мотоциклистом равна \(m\), а их центр тяжести расположен посередине между осями колёс. Коэффициент трения скольжения колеса о поверхность равен \(\mu\) и монотонно возрастает с частотой обращения заднего колеса.
Вариант 2. Мотоциклист пытается сдвинуть камень массой \(M\) с места с помощью своего заднеприводного мотоцикла. Он привязал груз верёвками к оси заднего колеса, запустил двигатель и стал постепенно увеличивать обороты заднего колеса. В некоторый момент переднее колесо оторвалось от земли, двигатель пришлось заглушить, но камень так и не сдвинулся с места. Мотоциклист решает закрепить на корпусе мотоцикла дополнительный груз массой \(\Delta m\), расположив его на отрезке между осями колёс. Определите, на каком расстоянии от оси заднего колеса ему нужно расположить этот груз, чтобы получилось сдвинуть камень с места. Радиус колёс равен \(R\), расстояние между осями колёс равно \(L\), масса мотоцикла с мотоциклистом равна \(m\), а их центр тяжести расположен посередине между осями колёс. Коэффициент трения скольжения колеса о поверхность равен \(\mu\) и монотонно возрастает с частотой обращения заднего колеса.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальная масса груза соответствует моменту, когда переднее колесо почти оторвалось: тогда весь вес приходится на заднее колесо. Запишите равенство моментов сил относительно точки опоры.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(\Delta m = \dfrac{m\left(\dfrac{L}{2}-\mu R\right)}{\mu R - L}\) (дополнительный груз на оси переднего колеса). Вариант 2: \(x = \mu\left(1+\dfrac{m}{\Delta m}\right)R - \dfrac{mL}{2\,\Delta m}\), где \(x\) — расстояние от оси заднего колеса.
▶РешениеСкрыть
Минимальная масса груза соответствует моменту, когда переднее колесо почти оторвалось и весь вес приходится на заднее колесо: \(N_1 = (m+\Delta m)g\). Горизонтальная сила со стороны заднего колеса равна \(\mu N_1\) (она приложена на высоте \(R\)). Условие отрыва переднего колеса \(N_2 = 0\) даёт равенство моментов относительно точки опоры заднего колеса: \[\mu(m+\Delta m)gR = \frac{mgL}{2} + \Delta m\,g\,x,\] где \(x = L\) для варианта 1 (груз на оси переднего колеса) и \(x\) — расстояние от оси заднего колеса для варианта 2. Из этого соотношения получаем ответы.
зад 3 Два поршня и несжимаемая жидкость
Вариант 1. В сосуде с двумя поршнями, как показано на рисунке, находится идеальная несжимаемая жидкость в поле силы тяжести. Трение между поршнями и стенками отсутствует. В начальный момент поршни и жидкость покоятся. Затем большой поршень начинает действовать на жидкость с постоянной силой \(\vec F\), в результате чего маленький поршень начинает подниматься. Найдите максимальную высоту подъёма малого поршня \(h_{max}\), используя предположения, что \(r \ll R\) и \(r \ll h_{max}\), где \(r\) — радиус узкой трубки, \(R\) — радиус большого поршня. Считайте, что жидкость движется без завихрений и скорость однородна по сечению узкой трубки. Известны следующие величины: масса \(m\) и радиус \(r\) малого поршня, радиус \(R\) большого поршня и приложенная к нему сила \(F\), плотность жидкости \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\).
Вариант 2. В сосуде с двумя поршнями, как показано на рисунке, находится идеальная несжимаемая жидкость в поле силы тяжести. Трение между поршнями и стенками отсутствует. В начальный момент поршни и жидкость покоятся. Затем большой поршень начинает действовать на жидкость с постоянной силой \(\vec F\), в результате чего маленький поршень начинает подниматься. Найдите массу малого поршня, если в определённый момент движения были измерены высота подъёма \(h_0\) и скорость \(v_0\) поршня. Используйте предположения, что \(r \ll R\) и \(r \ll h_0\), где \(r\) — радиус узкой трубки, \(R\) — радиус большого поршня. Считайте, что жидкость движется без завихрений и скорость однородна по сечению узкой трубки. Также известны следующие величины: радиус \(r\) малого поршня, радиус \(R\) большого поршня и приложенная к нему сила \(F\), плотность жидкости \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Работа силы \(F\) идёт на потенциальную и кинетическую энергию поршня и жидкости. Объём жидкости сохраняется, поэтому подъём малого поршня связан с опусканием большого.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(h_{max} = \dfrac{2F}{\rho\pi R^2 g} - \dfrac{2m}{\rho\pi r^2} - 2R\). Вариант 2: официального решения в PDF нет, ответ не набран.
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Объём жидкости сохраняется: \(h r^2 = H R^2\), где \(H\) — опускание большого поршня, поэтому работа силы \(A = F H = F h\dfrac{r^2}{R^2}\). Изменения энергии: потенциальная энергия поршня \(mgh\); кинетическая энергия поршня \(\dfrac{mv_r^2}{2}\); потенциальная энергия столба жидкости в трубке \(\rho\pi r^2 h\,g\left(\dfrac{h}{2}+R\right)\) (вклад опускания широкой части мал, так как \(H \ll h\)); кинетическая энергия жидкости в трубке \(\rho\pi r^2 h\dfrac{v_r^2}{2}\) (кинетической энергией жидкости в широкой части пренебрегаем при \(r \ll h\)). Уравнение энергии: \[F h\frac{r^2}{R^2} = mgh + \frac{mv_r^2}{2} + \rho\pi r^2 h\,g\left(\frac{h}{2}+R\right) + \rho\pi r^2 h\frac{v_r^2}{2}.\] В наивысшей точке \(v_r = 0\), после сокращения на \(h\) получаем \(\dfrac{Fr^2}{R^2} = mg + \rho\pi r^2 g\left(\dfrac{h_{max}}{2}+R\right)\), откуда и ответ.
зад 4 Диффузия газа из пузырька в капилляре
Вариант 1. Изогнутый капилляр, запаянный с одной стороны и открытый с другой, частично заполнен жидкостью плотностью \(\rho\). Радиус капилляра много меньше его длины. У запаянного конца капилляра находится воздушный пузырь, отрезанный от внешней среды слоем жидкости. Границы между жидкостью и газом перпендикулярны стенкам капилляра.
В результате диффузии частиц газа сквозь жидкость объём пузырька постепенно уменьшается. В некоторый момент времени расположение столбика жидкости и пузыря воздуха в капилляре было таким, как изображено на рисунке. Определите скорость, с которой будет опускаться столбик жидкости в этот момент, если плотность потока диффузии частиц сквозь столб жидкости постоянна вдоль столба жидкости и пропорциональна разности концентраций частиц у поверхностей жидкости: \[J = -C\,\frac{n-n_b}{l}.\] Эта величина показывает, сколько частиц проходит через единицу площади за единицу времени. В приведённом выражении \(n\) — концентрация частиц газа во внешней среде, \(n_b\) — концентрация частиц газа в пузыре, \(l\) — полная длина участка капилляра, заполненного жидкостью, \(C\) — коэффициент пропорциональности. Жидкость не испаряется, газ в пузырьке считайте идеальным, давление во внешней среде равно \(P\), температура равна \(T\). Ускорение свободного падения равно \(g\). Геометрические параметры, приведённые на рисунке, считайте известными.
Вариант 2. Вертикальный капилляр, запаянный снизу и открытый сверху, частично заполнен жидкостью плотностью \(\rho\). Радиус капилляра много меньше его длины. У запаянного конца капилляра находится воздушный пузырь, отрезанный от внешней среды слоем жидкости высотой \(l\). Границы между жидкостью и газом перпендикулярны стенкам капилляра.
В результате диффузии частиц газа сквозь жидкость объём пузырька постепенно уменьшается. Определите скорость, с которой будет опускаться столбик жидкости, если процесс диффузии можно описать следующим образом: 1) концентрация молекул газа \(c\) в жидкости у поверхности пропорциональна давлению газа \(P\) около этой поверхности: \(c = \lambda P\), где \(\lambda\) — известный коэффициент; 2) поток растворённых молекул газа \(J\) можно найти из закона Фика: \(J = -D\dfrac{dc}{dy}\) (приведена одномерная постановка, когда концентрация меняется только по координате \(y\)), где \(D\) — известный коэффициент диффузии (размерность м\(^2\)/с). Считайте, что размеры пузыря меняются очень медленно, что распределение концентрации газа в жидкости успевает установиться, т.е. на всём протяжении области, занятой жидкостью, диффузионный поток одинаков.
Жидкость не испаряется, газ в пузырьке считайте идеальным, давление во внешней среде равно \(P\), температура равна \(T\). Ускорение свободного падения равно \(g\).
Вариант 3. Вертикальный капилляр, запаянный сверху и снизу, частично заполнен жидкостью: слой жидкости разделяет объём газа на два пузыря. Радиус капилляра много меньше его длины. Границы между жидкостью и газом перпендикулярны стенкам капилляра.
В результате диффузии частиц газа сквозь жидкость объём верхнего пузырька постепенно увеличивается, а нижнего — уменьшается. В некоторый момент времени расположение столбика жидкости и пузырей воздуха в капилляре было таким, как изображено на рисунке. Определите скорость, с которой опускается столбик жидкости в этот момент, если плотность потока диффузии частиц сквозь столб жидкости \(J\) известна. Эта величина показывает, сколько частиц проходит через единицу площади за единицу времени. Жидкость не испаряется, газ считайте идеальным, температура равна \(T\). Размеры пузырей и давление газа в них в рассматриваемом моменте считайте известными.
▶ПодсказкаСкрыть
Уравнение состояния для каждого пузыря записывают до и после малого смещения столбика; поток \(J\) (или \(dN = JS\,dt\)) переносит молекулы из одного пузыря в другой или наружу, а давление столба жидкости даёт разность давлений в пузырях.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(v = \dfrac{C\rho g H}{l\,\bigl(P+\rho g(H+L)\bigr)}\). Вариант 2: \(v = \dfrac{\lambda D\rho g\,kT}{P+\rho g l}\). Вариант 3: \(v = \dfrac{J kT\,(1-L_1/L_2)}{P_1 + \dfrac{L_1}{L_2}P_2}\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Давление в пузыре \(P_b = P + \rho g H\), поток \(J = \dfrac{C\rho g H}{kT\,l}\). За малое время \(dt\) из пузыря уходит \(dN = JS\,dt\) молекул, уравнение состояния \(P_b L S = Nk T\) даёт \((P_b + \rho g L)\,dL = \dfrac{C\rho g H}{l}\,dt\) (член \(\rho g S\,dL^2\) опущен как малый второго порядка). Отсюда \(v = \dfrac{dL}{dt} = \dfrac{C\rho g H}{l\,\bigl(P+\rho g(H+L)\bigr)}\).
Вариант 2. Поток из пузыря \(J = -D\dfrac{c-c_b}{l} = \lambda D\dfrac{P-P_b}{l}\) при линейном распределении концентрации; поскольку \(P_b = P + \rho g l\), поток \(J = \lambda D\rho g\). Уравнение состояния \(P_b(L-dL)S = (N-dN)kT\) даёт \(P_b\,dL = \lambda D\rho g\,kT\,dt\), т.е. \(v = \dfrac{\lambda D\rho g\,kT}{P+\rho g l}\).
Вариант 3. При малом \(dt\) верхний пузырь получает \(dN = JS\,dt\) молекул, нижний столько же теряет. Давления в пузырях связаны \(P_2 = P_1 + \rho g l\), и их изменения одинаковы. Из уравнений состояния для двух пузырей в линейном приближении \(L_1\,dP + P_1\,dL = JkT\,dt\) и \(L_2\,dP - P_2\,dL = JkT\,dt\). Исключая \(dP\), получаем \(v = \dfrac{dL}{dt} = \dfrac{JkT\,(1-L_1/L_2)}{P_1 + (L_1/L_2)P_2}\).
зад 5 Проводящие стержни на рельсах в магнитном поле
Металлические стержни \(AC\) и \(EF\) расположены на параллельных проводящих рельсах, стержень \(EF\) закреплён; стержень \(AC\) может свободно передвигаться вдоль рельсов, изначально покоится. Начальное расстояние между стержнями \(L_0\). Вся конструкция помещена в однородное магнитное поле с индукцией \(B\) (см. рис.). Стержню \(AC\) сообщают начальную скорость \(v_0\) по направлению к стержню \(EF\). Определите величину и направление силы Ампера, действующую на стержень \(AC\) в момент, когда расстояние между стержнями будет равно \(L\). Длина стержней \(H\), масса \(m\), сопротивление единицы длины стержней и рельсов одинаково и равно \(\lambda\). Индуктивностью стержней и рельсов пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
ЭДС движения \(\varepsilon = BH\,|dL/dt|\), сопротивление контура \(2\lambda(H+L)\). Сила Ампера тормозит стержень, и уравнение движения удобно записать через \(L\) вместо \(t\).
▶ОтветСкрыть
\(F = \dfrac{BH}{2\lambda(H+L)}\left(v_0 + \dfrac{B^2H^2}{2\lambda m}\ln\dfrac{H+L}{H+L_0}\right)\), направлена против направления начальной скорости \(v_0\) (то есть против движения стержня \(AC\), от стержня \(EF\)).
▶РешениеСкрыть
ЭДС индукции в контуре \(\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -BH\dfrac{dL}{dt}\), сопротивление контура \(R = 2\lambda(H+L)\), ток \(I = \dfrac{\varepsilon}{R} = -\dfrac{BH}{2\lambda(H+L)}\dfrac{dL}{dt}\). Сила Ампера \(F = IBH = \dfrac{B^2H^2}{2\lambda(H+L)}\,\bigl|\dfrac{dL}{dt}\bigr|\) направлена против движения. Из уравнения движения \(m\,dv = \dfrac{B^2H^2}{2\lambda(H+L)}\,dL\) получаем скорость при расстоянии \(L\): \(v(L) = v_0 + \dfrac{B^2H^2}{2\lambda m}\ln\dfrac{H+L}{H+L_0}\). Подставляя \(v(L)\), официальное решение получает ответ выше (множитель в нём проверить: см. комментарий ПРОВЕРИТЬ).
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2023/24, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.