зад 8.1 Жук на ровной поверхности
Вариант 1. Жук приземлился на ровную горизонтальную поверхность и стал по ней ползать, каждые 3 секунды совершая поворот на 90 градусов по часовой стрелке. Зависимость модуля скорости жука от времени с момента приземления представлена на графике. Считая, что жук поворачивается мгновенно, определите его перемещение спустя 24 секунды после приземления.
Вариант 2. Жук приземлился на ровную горизонтальную поверхность и стал по ней ползать, каждые 2 секунды совершая поворот на 90 градусов по часовой стрелке. Зависимость модуля скорости жука от времени с момента приземления представлена на графике. Считая, что жук поворачивается мгновенно, определите его перемещение спустя 16 секунд после приземления.
▶ПодсказкаСкрыть
Разбейте путь на участки постоянной скорости: на каждом участке путь равен скорости, умноженной на время. Поворот на 90 градусов меняет направление следующего участка; затем сложите векторы перемещения.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(3\) см.
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Обозначим буквами А и Б начало и конец движения и пронумеруем точки поворота. Строим траекторию жука, как если бы за ним наблюдали сверху, и отмечаем длины участков пути. За начальное принимаем направление вправо. Из построения видно, что перемещение между точками А и Б составляет \(3\) см.
зад 8.2 Туристы и древесный уголь
Вариант 1. Группа туристов поднимаются на гору по туристическому маршруту, вдоль которого в нижней части маршрута каждые 500 м подъема расположены пункты отдыха с цистернами с водой, а выше — с наколотым льдом. Туристы останавливаются на привал у каждого из таких пунктов, разводят костер, используя взятый с собой древесный уголь, и кипятят в открытом котелке \(1{,}5\) л воды. Используя приведенные ниже графики зависимости температуры воздуха и температуры кипения воды от высоты, рассчитайте массу оставшегося у туристов топлива после привала на высоте 5000 м. Всего с собой в поход они взяли 25 кг древесного угля, первый привал был на высоте 500 м, температура воды и льда в цистернах в пунктах отдыха равны температуре воздуха на данной высоте, КПД нагревания воды на костре равен \(1\) %. Ответ приведите в килограммах, округлив до десятых. Удельная теплота сгорания древесного угля 34 МДж/кг, теплоёмкость воды \(4200\) Дж/(кг\(\cdot{}\)°C), теплоёмкость льда \(2100\) Дж/(кг\(\cdot{}\)°C), удельная теплота плавления льда \(330\) кДж/кг, плотность воды \(1000\) кг/м\(^3\).
Вариант 2. Группа туристов планирует подъём на гору на высоту 4500 м, на которой расположена альпинистская база. До базы проложен туристический маршрут, вдоль которого в нижней части каждые 500 м подъёма расположены пункты отдыха с цистернами с водой, а выше — с наколотым льдом. Туристы хотят останавливаться на привал у каждого из таких пунктов, разводить костёр, используя взятый с собой древесный уголь, и кипятить в открытом котелке \(1{,}5\) л воды. Используя приведенные ниже графики зависимости температуры воздуха и температуры кипения воды от высоты, рассчитайте массу топлива, которая потребуется туристам для достижения альпинистской базы согласно плану. Температура воды и льда в цистернах в пунктах отдыха равны температуре воздуха на данной высоте, КПД нагревания воды на костре равен \(1\) %, первый привал планируется на высоте 500 м. Ответ приведите в килограммах, округлив до десятых. Удельная теплота сгорания древесного угля 34 МДж/кг, теплоёмкость воды \(4200\) Дж/(кг\(\cdot{}\)°C), теплоёмкость льда \(2100\) Дж/(кг\(\cdot{}\)°C), удельная теплота плавления льда \(330\) кДж/кг, плотность воды \(1000\) кг/м\(^3\).
Графики к обоим вариантам:
▶ПодсказкаСкрыть
Считайте отдельно привалы, где вода только нагревается до температуры кипения, и привалы выше 2500 м, где добавляются нагрев льда и его плавление. Тепловой баланс на каждом привале связывает массу сгоревшего угля с количеством теплоты.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(m_{\text{ост}} \approx 1{,}7\) кг.
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. До высоты 2500 м включительно уравнение теплового баланса \(cM\Delta T = 0{,}01\,q\,m_{\text{угл}}\), где \(c\) — теплоёмкость воды, \(M\) — масса воды, \(q\) — удельная теплота сгорания, \(m_{\text{угл}}\) — масса топлива, \(\Delta T\) — разность температур нагрева воды до температуры кипения. Для пяти привалов (500, 1000, 1500, 2000 и 2500 м) суммируем \(\Delta T\): \[m_1 = \frac{cM\sum\Delta T}{0{,}01\,q} = \frac{4200\cdot 1{,}5\cdot 420}{0{,}01\cdot 34\cdot 10^6} = 7{,}782~\text{кг}.\] Начиная с высоты 3000 м в баланс добавляются нагрев и плавление льда: \(c_{\text{л}} M\Delta T' + \lambda M + cM\Delta T = 0{,}01\,q\,m_{\text{угл}}\), где \(\Delta T'\) — разность температур нагрева льда до \(0\) \(^\circ\)C. Для пяти привалов (3000–5000 м): \[m_2 = \frac{M}{0{,}01\,q}\left(c_{\text{л}}\sum\Delta T' + c\sum\Delta T + 5\lambda\right) = 15{,}525~\text{кг}.\] Итог: \(25 - (7{,}782 + 15{,}525) = 1{,}693\) кг, то есть \(\approx 1{,}7\) кг.
зад 8-9.1 Балка с блоками
Вариант 1. Невесомая балка находится в равновесии и делится точкой опоры в отношении 2:3. К левой короткой части балки через систему блоков с подвешенным грузом массой \(m\) прикреплены две нити, одна к самому краю, другая к середине этой части балки. К правой части на некотором расстоянии \(x\) от точки опоры через систему блоков прикреплена другая нить. К середине длинной части подвешен груз массой \(2m\). В правой системе блоков подвешен груз массой \(3m\). Какую часть от всей длины балки составляет расстояние \(x\) от точки опоры до нити в правой части системы. Все блоки, нити и пружину считать невесомыми, трение в системе отсутствует.
Вариант 2. Невесомая балка находится в равновесии и делится точкой опоры в отношении 3:2. К левой длинной части балки через систему блоков с подвешенным грузом массой \(m\) прикреплены две нити, одна к самому краю, другая на расстоянии \(x\) от точки опоры. К правой части через систему блоков тоже прикреплены две нити: одна к середине этой части балки, другая к правому краю. К одному из блоков в правой части за пружину подвешен груз массой \(m\). Определите, какую часть от всей длины балки составляет расстояние \(x\) от точки опоры до нити в левой части системы. Все блоки, нити и пружину считать невесомыми, трение в системе отсутствует.
▶ПодсказкаСкрыть
Расставьте силы натяжения нитей, приложенных к балке, и запишите правило моментов относительно точки опоры.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(x = 0{,}6\,L\), то есть расстояние до правого конца балки.
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Силы натяжения нитей, прикреплённых к балке: \(T_1 = 0{,}5\,mg\) (у края короткой части, плечо \(0{,}4L\)), \(T_2 = 0{,}25\,mg\) (у середины короткой части, плечо \(0{,}2L\)), \(T_3 = 2\,mg\) (груз \(2m\) у середины длинной части, плечо \(0{,}3L\)), \(T_4 = 0{,}75\,mg\) (правая система блоков, плечо \(x\)). Правило моментов относительно опоры: \[0{,}4L\,T_1 + x\,T_4 = 0{,}2L\,T_2 + 0{,}3L\,T_3 \;\Rightarrow\; 0{,}2mgL + 0{,}75\,mgx = 0{,}05\,mgL + 0{,}6\,mgL,\] откуда \(75x = 45L\), \(x = 0{,}6L\).
зад 8-9.2 Свечка на пружине
Парафиновая цилиндрическая свечка высотой \(H_0\) и площадью основания \(S\) плавает в бассейне. Свечка прикреплена к полу бассейна пружинкой с жёсткостью \(k\) (см. рисунок), пружина растянута. Свечку поджигают. Пока горит фитиль, парафин медленно испаряется, форма свечки при этом остаётся цилиндрической, её высота уменьшается со скоростью \(c\). Определите, как и с какой скоростью будет изменяться растяжение пружинки.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона для свечки: сила тяжести, сила упругости и сила Архимеда. Сравните это равенство для двух моментов времени и найдите скорость изменения погружённой части.
▶ОтветСкрыть
Растяжение пружинки увеличивается равномерно со скоростью \(v = \dfrac{c\,\rho_п}{\rho_в + \dfrac{k}{Sg}}\).
▶РешениеСкрыть
Высота свечки \(H(t) = H_0 - ct\). Пусть \(h(t)\) — высота погружённой части свечки. Второй закон Ньютона и сила Архимеда: \[\rho_п\,g\,H(t)\,S + k\,\Delta x(t) = \rho_в\,g\,h(t)\,S.\] Глубина бассейна неизменна, поэтому \(x_0 + \Delta x(t) + h(t) = G\), откуда \(\Delta x(t) = G - h(t) - x_0\). Подставив это в уравнение и вычтя его для моментов \(t_1\) и \(t_2\), получаем \[-c\rho_п(t_2 - t_1) = \left(\rho_в + \frac{k}{Sg}\right)\bigl(h(t_2) - h(t_1)\bigr),\] то есть погружённая часть уменьшается со скоростью \(\dfrac{c\rho_п}{\rho_в + k/(Sg)}\). Пружинка при этом удлиняется с той же скоростью.
зад 8-9.3 Пробка и два сосуда
Вариант 1. В закрытой комнате, где атмосферное давление составляет \(p_0 = 100\) кПа, находятся два пустых одинаковых сосуда высотой \(H = 70\) см и площадью основания \(S = 150\) см\(^2\). Сосуды соединены тонкой трубкой, расположенной у дна, и один из сосудов закрыт тонкой пробкой. Необходимо определить объём жидкости с плотностью \(\rho = 930\) кг/м\(^3\), который нужно влить в открытый сосуд (при этом жидкость не переливается через край), чтобы пробка вылетела. Максимальная величина силы трения покоя, действующей на пробку, равна \(F = 45\) Н. Поскольку температура в помещении постоянна, то для воздуха в замкнутом объёме произведение давления и объёма остаётся неизменным: \(pV = \text{const}\). Объём цилиндра можно рассчитать по формуле \(V = Sh\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота цилиндра. Массой пробки, её размером и размером соединительной трубки можно пренебречь. Ускорение свободного падения принять за \(10\) м/с\(^2\).
Вариант 2. В закрытой комнате, где атмосферное давление составляет \(p_0 = 100\) кПа, находятся два одинаковых сосуда высотой \(H = 100\) см и площадью основания \(S = 100\) см\(^2\). Сосуды соединены тонкой трубкой, расположенной у дна. Оба сосуда заполнили на четверть водой плотностью \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), после чего один из сосудов плотно закрыли тонкой пробкой. Необходимо определить объём воды, который нужно влить в открытый сосуд (при этом жидкость не переливается через край), чтобы пробка вылетела. Максимальная величина силы трения покоя, действующей на пробку, равна \(F = 20\) Н. Поскольку температура в помещении постоянна, то для воздуха в замкнутом объёме произведение давления и объёма остаётся неизменным: \(pV = \text{const}\). Объём цилиндра можно рассчитать по формуле \(V = Sh\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота цилиндра. Массой пробки, её размером и размером соединительной трубки можно пренебречь. Ускорение свободного падения принять за \(10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пробка вылетит, когда давление запертого воздуха станет равно \(p_0 + F/S\). Используйте закон баланса давлений в двух сосудах и \(pV = \text{const}\) для запертого воздуха.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(V \approx 5450\) см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Давление запертого воздуха должно стать \(p = F/S + p_0\). Баланс давлений в левой и правой частях системы: \(p_0 + \rho g h_1 = p + \rho g h_2\), откуда \(\rho g h_1 = F/S + \rho g h_2\). Для запертого воздуха, с учётом \(p_0 H S = p\,(H - h_2)S\): \[h_2 = \frac{FH}{F + p_0 S}, \qquad h_1 = \frac{F}{S\rho g} + \frac{FH}{F + p_0 S}.\] Искомый объём \(V = S(h_1 + h_2) = F\left(\dfrac{1}{\rho g} + \dfrac{2SH}{F + p_0 S}\right) \approx 5450\) см\(^3\) (при \(g = 10\) м/с\(^2\)). Если объём налитой жидкости превысит это значение, пробка вылетит.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2023/24, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.