зад 1 Пластины в цепи
Две нихромовые пластины квадратной формы одинаковой толщины последовательно включили в цепь. Проводники, соединяющие пластины, присоединены к противоположным граням с наименьшей площадью. Пластины поместили в одинаковые стаканы с одинаковым количеством жидкости, массой \(m = 100\) г. Площадь первой пластины \(S_1 = 10\) см\(^2\), второй — \(S_2 = 40\) см\(^2\). Найти отношение времени закипания первой жидкости ко времени закипания второй жидкости, после подключения цепи в сеть с напряжением \(220\) В. Сопротивлением проводов, теплообменом с окружающей средой и теплоёмкостью пластин пренебречь.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{t_1}{t_2} = 1\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим за \(a\) сторону квадрата одной пластины (любой), а за \(d\) — её толщину. Сопротивление пластины \[R = \rho\frac{l}{S} = \rho\frac{a}{a d} = \frac{\rho}{d}\] не зависит от площади. Пластины включены последовательно, поэтому ток и выделяемая на каждой пластине мощность \(P = I^2 R\) одинаковы. Тепло, выделяющееся на пластинах, одинаково, значит, вода в обоих стаканах закипит одновременно: \(\dfrac{t_1}{t_2} = 1\).
зад 2 Карусель
На ярмарке есть аттракцион: круговая карусель радиусом \(R = 5\) м, при включении ускоряющаяся с постоянным угловым ускорением \(\alpha = 0{,}02\) рад/с\(^2\). В некоторый момент времени \(t_0\) скорость вращения карусели составляла \(\omega_0 = 1\) рад/с, а спустя \(t\) секунд центростремительное ускорение выросло в два раза по сравнению с моментом времени \(t_0\). Определите \(t\). Ответ приведите в секундах, округлив до ближайшего целого значения.
▶ОтветСкрыть
\(t \approx 21\) с.
▶РешениеСкрыть
1. Центростремительное ускорение при \(t_0\): \(a_{\text{ц}0} = \omega_0^2 R = 1^2\cdot 5 = 5\) м/с\(^2\).
2. В момент \(t_1\) центростремительное ускорение по условию равно \(a_{\text{ц}1} = 2a_{\text{ц}0} = 10\) м/с\(^2\).
3. Из \(a_{\text{ц}1} = \omega_1^2 R\) находим \(\omega_1 = \sqrt{a_{\text{ц}1}/R} = \sqrt{2}\) рад/с.
4. Угловая скорость \(\omega_1 = \omega_0 + \alpha t_1\), откуда \[t_1 = \frac{\omega_1 - \omega_0}{\alpha} = \frac{\sqrt{2} - 1}{0{,}02}~\text{с} \approx 21~\text{с}.\]
зад 3 Нагреватель со льдом
Резистор с сопротивлением \(R = 2\) Ом подключили в цепь постоянного тока и поместили в сосуд со смесью воды и льда общей массой \(m = 1200\) г при температуре \(0\,^\circ\)C. Через \(t = 20\) мин температура воды в сосуде стала равной \(T = 7\,^\circ\)C. Определите ток в цепи. Удельная теплота плавления льда равна \(334\) кДж/кг, теплоёмкость воды равна \(4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C). Теплообменом с окружающей средой и стенками сосуда пренебречь. Начальное массовое соотношение воды и льда в сосуде было \(k\!:\!n = 7\!:\!3\). Ответ приведите в амперах, округлив до ближайшего целого значения.
▶ОтветСкрыть
\(I \approx 8\) А.
▶РешениеСкрыть
Количество теплоты, выделившееся на резисторе, ушло на плавление льда и разогрев воды: \[Q = \lambda\,\Delta m + C\,(m_1 + \Delta m)\,\Delta T.\] Из соотношения воды и льда в сосуде \[m_1 = \frac{k}{k+n}\,m, \qquad \Delta m = \frac{n}{k+n}\,m.\] Мощность, выделяющаяся на резисторе, равна \(P = I^2 R = \dfrac{Q}{t}\). Откуда \[I = \sqrt{\frac{m\left(\dfrac{n}{k+n}\lambda + C\,\Delta T\right)}{R\,t}}.\] Подставляя числа (\(m = 1{,}2\) кг, \(\Delta T = 7\) К, \(t = 1200\) с, \(R = 2\) Ом, \(n = 3\), \(k = 7\)), получаем \(I \approx 8\) А.
зад 4 Мячик в лифте
В экспериментальном лифте в пол вмонтирована сенсорная кнопка, при нажатии которой лифт начинает двигаться вертикально вниз с постоянным ускорением. Испытатель, находясь в неподвижном лифте, держит мячик на высоте \(h = 1{,}25\) м и отпускает его ровно над кнопкой. Определите ускорение лифта, если известно, что спустя время \(t = 1\) с после начала движения мячик, единожды отскочив от кнопки, оказался на высоте \(H = 1{,}5\) м над полом лифта. Ускорение свободного падения примите равным \(g\). Мячик отскакивает от кнопки абсолютно упруго.
▶ОтветСкрыть
\(a = 2\) м/с\(^2\) (при \(g = 10\) м/с\(^2\)).
▶РешениеСкрыть
До столкновения с кнопкой мячик движется в поле тяжести, начальная скорость его равна нулю. Время до столкновения и скорость в момент удара: \[t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \qquad v_1 = \sqrt{2gh}.\] После отскока движение шарика в системе отсчёта, связанной с лифтом, описывается формулой \[y_2(t) = v_1(t - t_1) - \frac{1}{2}(g - a)(t - t_1)^2.\] Приравнивая \(y_2(t) = H\), получаем \[a = \frac{2\left(H - v_1(t - t_1)\right)}{(t - t_1)^2} + g.\] Подставляя числа (\(t_1 = 0{,}5\) с, \(v_1 = 5\) м/с, \(t - t_1 = 0{,}5\) с), получаем \(a = 2\) м/с\(^2\).
зад 5 Газ на диаграмме $T$--$P$
Изменение состояния некоторого количества одноатомного идеального газа проиллюстрировано на графике. Известно, что минимальный объём, занимаемый газом в ходе этого процесса, был равен \(V_{\min} = 2\) л. Рассчитайте изменение внутренней энергии газа в результате процесса 1–3. Ответ приведите в джоулях. Начальное давление газа равно \(P_0 = 40\) кПа.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta U = 180\) Дж.
▶РешениеСкрыть
Из уравнения состояния идеального газа \(V = \nu R\,T/P\), т.е. объём пропорционален величине \(T/P\). Среди трёх состояний наименьшим это отношение будет в точке 3 (\(T = 2T_0\), \(P = 3P_0\)). Отсюда \[3P_0 V_{\min} = \nu R\cdot 2T_0 \quad\Rightarrow\quad \nu = \frac{3P_0 V_{\min}}{2RT_0}.\] Изменение внутренней энергии при переходе 1–3 (\(\Delta T = T_0\)): \[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T = \frac{3}{2}\cdot\frac{3P_0 V_{\min}}{2RT_0}\cdot RT_0 = \frac{9}{4}P_0 V_{\min}.\] Подставляя \(P_0 = 4\cdot10^4\) Па, \(V_{\min} = 2\cdot10^{-3}\) м\(^3\), получаем \(\Delta U = 180\) Дж.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2024/25, отборочный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.