зад 1 Мячик в лифте
В экспериментальном лифте в пол вмонтирована сенсорная кнопка, при нажатии которой лифт начинает двигаться вертикально вниз с постоянным ускорением. Испытатель, находясь в неподвижном лифте, держит мячик на высоте \(h = 1{,}25\) м и отпускает его ровно над кнопкой. Определите ускорение лифта, если известно, что спустя время \(t = 1\) с после начала движения мячик, единожды отскочив от кнопки, оказался на высоте \(H = 1{,}5\) м над полом лифта. Ускорение свободного падения примите равным \(g\). Мячик отскакивает от кнопки абсолютно упруго.
▶ОтветСкрыть
\(a = 2\) м/с\(^2\) (при \(g = 10\) м/с\(^2\)).
▶РешениеСкрыть
До столкновения с кнопкой мячик движется в поле тяжести, начальная скорость его равна нулю. Время до столкновения и скорость в момент удара: \[t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \qquad v_1 = \sqrt{2gh}.\] После отскока движение шарика в системе отсчёта, связанной с лифтом, описывается формулой \[y_2(t) = v_1(t - t_1) - \frac{1}{2}(g - a)(t - t_1)^2.\] Приравнивая \(y_2(t) = H\), получаем \[a = \frac{2\left(H - v_1(t - t_1)\right)}{(t - t_1)^2} + g.\] Подставляя числа (\(t_1 = 0{,}5\) с, \(v_1 = 5\) м/с, \(t - t_1 = 0{,}5\) с), получаем \(a = 2\) м/с\(^2\).
зад 2 Газ на диаграмме $T$--$P$
Изменение состояния некоторого количества одноатомного идеального газа проиллюстрировано на графике. Известно, что минимальный объём, занимаемый газом в ходе этого процесса, был равен \(V_{\min} = 2\) л. Рассчитайте изменение внутренней энергии газа в результате процесса 1–3. Ответ приведите в джоулях. Начальное давление газа равно \(P_0 = 40\) кПа.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta U = 180\) Дж.
▶РешениеСкрыть
Из уравнения состояния идеального газа \(V = \nu R\,T/P\), т.е. объём пропорционален величине \(T/P\). Среди трёх состояний наименьшим это отношение будет в точке 3 (\(T = 2T_0\), \(P = 3P_0\)). Отсюда \[3P_0 V_{\min} = \nu R\cdot 2T_0 \quad\Rightarrow\quad \nu = \frac{3P_0 V_{\min}}{2RT_0}.\] Изменение внутренней энергии при переходе 1–3 (\(\Delta T = T_0\)): \[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T = \frac{3}{2}\cdot\frac{3P_0 V_{\min}}{2RT_0}\cdot RT_0 = \frac{9}{4}P_0 V_{\min}.\] Подставляя \(P_0 = 4\cdot10^4\) Па, \(V_{\min} = 2\cdot10^{-3}\) м\(^3\), получаем \(\Delta U = 180\) Дж.
зад 3 Пылинка в круглом магнитном поле
В пространстве, сечение которого имеет форму круга, создаётся однородное магнитное поле. Линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка, его индукция равна \(B = 2\) Тл. Положительно заряженная пылинка, отношение заряда к массе которой равно \(q/m = 3\cdot10^5\) Кл/кг, влетает в это поле так, как показано на рисунке (параллельно пунктирной линии, проходящей через центр круга; расстояние \(L = 500\) мкм известно). Какова должна быть скорость частицы, чтобы она вылетела из этой области в направлении, противоположном первоначальному? Ответ приведите в м/с.
▶ОтветСкрыть
\(v = 300\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Заряженная частица в магнитном поле испытывает силу Лоренца и движется по окружности. Чтобы частица вылетела из области в направлении, противоположном первоначальному, центр её траектории должен лежать внутри круга на пунктирной линии. Тогда точка вылета диаметрально противоположна точке влёта, и радиус траектории равен \(L\).
Из условия \(qvB = \dfrac{mv^2}{R}\) при \(R = L\) получаем \[v = \frac{qLB}{m}.\] Подставляя числа, получаем \(v = 3\cdot10^5\cdot 500\cdot10^{-6}\cdot 2 = 300\) м/с.
зад 4 Конденсатор с маслом
Плоский воздушный конденсатор заполнили трансформаторным маслом (диэлектрическая проницаемость \(2{,}2\)) и зарядили, сообщив \(20\) Дж энергии. Затем конденсатор отсоединили от источника, слили половину масла и разрядили. Сколько джоулей энергии выделилось при разрядке, если пластины конденсатора были ориентированы параллельно поверхности земли?
▶ОтветСкрыть
\(W' = 32\) Дж.
▶РешениеСкрыть
При зарядке на обкладках установился заряд \(q = \sqrt{2CW}\), где \(C = \dfrac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}\).
После того как половину масла слили, конфигурация эквивалентна последовательному соединению двух конденсаторов (воздух и масло):
\[\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{2\varepsilon\varepsilon_0 S} + \frac{d}{2\varepsilon_0 S} = \frac{1}{2C} + \frac{\varepsilon}{2C} = \frac{\varepsilon+1}{2C} \quad\Rightarrow\quad C' = \frac{2C}{\varepsilon+1}.\] Заряд при отключённом конденсаторе не меняется, поэтому энергия при разрядке \[W' = \frac{q^2}{2C'} = \frac{CW}{C'} = \frac{W}{2}(\varepsilon+1) = \frac{20}{2}\cdot 3{,}2 = 32~\text{Дж}.\]
зад 5 Лампа накаливания
Необходимо изготовить лампу накаливания, в колбе которой будет находиться вольфрамовая нить в вакууме. При работе лампы нить должна нагреваться до рабочей температуры \(T = 2700\) К. Каким должен быть диаметр нити \(D\), чтобы изготовить лампу заданной мощности \(W = 20\) Вт, работающую от сети с напряжением \(U = 220\) В? Удельное сопротивление вольфрама при рабочей температуре \(\rho = 9\cdot10^{-7}\) Ом\(\cdot\)м. Нить считайте абсолютно чёрным цилиндром, для которого плотность потока энергии с его поверхности за счёт излучения определяется законом Стефана — Больцмана: \[j = \sigma T^4,\] где \(\sigma = 5{,}67\cdot10^{-8}\) Вт/(м\(^2\cdot\)К\(^4\)) — постоянная Стефана — Больцмана. Ответ приведите в микрометрах, округлив до ближайшего целого значения.
▶ОтветСкрыть
\(D \approx 10\) мкм.
▶РешениеСкрыть
Вся тепловая энергия, выделяющаяся при прохождении тока по нити, излучается. Сопротивление нити \(R = \dfrac{U^2}{W}\). Сопротивление цилиндра \(R = \rho\dfrac{L}{S} = \rho\dfrac{4L}{\pi D^2}\), откуда \[L = \frac{\pi D^2 U^2}{4\rho W}.\] С другой стороны, вся мощность излучается с боковой поверхности нити \(S = \pi D L\): \[W = \pi D L\,\sigma T^4 \quad\Rightarrow\quad L = \frac{W}{\pi D\sigma T^4}.\] Приравнивая выражения для \(L\), получаем \[D = \sqrt[3]{\frac{4\rho W^2}{\pi^2 U^2 \sigma T^4}}.\] Подставляя числа, получаем \(D \approx 10^{-5}\) м \(= 10\) мкм.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2024/25, отборочный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.