зад 1 Средняя скорость лодки через Тихий океан
В 2018 году российский путешественник Федор Конюхов совершил первый в истории переход через Тихий океан от Новой Зеландии до мыса Горн в Южной Америке. На вёсельной лодке «АКРОС» за 154 дня он преодолел расстояние в 6400 морских миль, и успешно достиг мыса Горн. Оцените среднюю скорость лодки за время путешествия. Ответ дайте в км/ч, округлив до ближайшего целого. Морская миля составляет 1853 м.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё затраченное время. Удобно сразу перевести мили в километры, а сутки в часы.
▶ОтветСкрыть
\(v \approx 3\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Чтобы найти среднюю скорость, необходимо весь пройдённый путь поделить на затраченное время: \(v = S/t\). Чтобы сразу получить ответ в км/ч, расстояние переводим в километры, а время — в часы.
\(S = 6400\) морских миль \(= 6400 \cdot 1{,}853 = 11859{,}2\) км; \(t = 154\) дня \(= 154 \cdot 24 = 3696\) ч.
\(v = \dfrac{11859{,}2}{3696} = 3{,}208 \approx 3\) км/ч.
зад 2 Золотые монеты в бочке
Пираты подняли с морского дна сундук, набитый золотыми монетами. Пират взял себе на хранение \(n = 10\) золотых монет диаметром \(d = 0{,}1\) м и толщиной \(a = 1\) см. Он спрятал эти монеты в бочку с водой, уровень воды в которой составлял \(H = 0{,}70\) м. Сколько граммов воды \(m\) нужно вычерпать пирату, чтобы уровень воды остался неизменным? Результат округлите до целого.
Плотность золота \(\rho_{\text{Au}} = 19{,}3\) г/см\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{воды}} = 1\) г/см\(^3\). Формула для вычисления объёма цилиндра: \(V = Sh\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота цилиндра, \(\pi = 3{,}14\). Ответ округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Уровень воды не меняется, если объём вычерпанной воды равен объёму погружённых монет. Осталось найти массу воды с таким объёмом.
▶ОтветСкрыть
\(m = 785\) г.
▶РешениеСкрыть
1. Объём одной монеты: \(V_{\text{монеты}} = 3{,}14 \cdot \dfrac{10^2}{4} \cdot 1 = 78{,}5\) см\(^3\).
2. Объём вытесненной воды равен объёму погружённых монет: \(V_{\text{вытесн. воды}} = nV_{\text{монеты}} = n\left(\pi\dfrac{d^2}{4}a\right) = 785\) см\(^3\).
3. Масса воды, которую нужно вычерпать: \(m = \rho_{\text{воды}} V_{\text{вытесн. воды}} = \rho_{\text{воды}}\, n\left(\pi\dfrac{d^2}{4}a\right) = 785\) г.
зад 3 Три жидкости одинаковой массы на весах
В стакан, стоящий на весах, Вася последовательно налил три жидкости одинаковой массы и тщательно перемешал. Суммарный объём жидкостей при перемешивании остался неизменным. Плотность первой жидкости \(\rho_1 = 800\) кг/м\(^3\), плотность второй \(\rho_2 = 850\) кг/м\(^3\). Вася рассчитал среднюю плотность всех трёх жидкостей и получил \(\rho_{\text{ср}} = 942\) кг/м\(^3\), найти плотность третьей жидкости. Ответ дать в кг/м\(^3\), округлив до десятков.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя плотность равна общей массе, делённой на общий объём. Объём каждой порции выражается через её массу и плотность.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_3 \approx 1320\) кг/м\(^3\) (если округлять только до целого, \(1319\) кг/м\(^3\)).
▶РешениеСкрыть
Средняя плотность: \(\rho = \dfrac{M}{V}\). Обозначим массу каждой из трёх жидкостей через \(m\), объёмы первой, второй и третьей через \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\). Тогда \(M = 3m\), \(V = V_1 + V_2 + V_3\). Используя \(V = \dfrac{m}{\rho}\), получим
\[V = \frac{m\,(\rho_1\rho_2 + \rho_2\rho_3 + \rho_1\rho_3)}{\rho_1\rho_2\rho_3}, \qquad \rho_{\text{ср}} = \frac{3m\,\rho_1\rho_2\rho_3}{m\,(\rho_1\rho_2 + \rho_2\rho_3 + \rho_1\rho_3)}.\]
Отсюда плотность третьей жидкости
\[\rho_3 = \frac{\rho_{\text{ср}}\,\rho_1\rho_2}{3\rho_1\rho_2 - \rho_2\rho_{\text{ср}} - \rho_1\rho_{\text{ср}}}.\]
зад 4 Ядро пушки и запас пороха
Ядро диаметром 100 мм, сделанное из чугуна, используется в качестве снаряда для пушки. При выстреле снаряд имеет скорость 200 м/с. Известно, что КПД выстрела равно 25%. Определите, на сколько выстрелов хватит 32 кг пороха.
Плотность чугуна \(\rho_{\text{чугуна}} = 8\) г/см\(^3\), удельная теплота сгорания пороха \(q_{\text{пороха}} = 3{,}8\) МДж/кг, формула для вычисления объёма шара: \(V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3\), где \(R\) — радиус шара, \(\pi = 3{,}14\).
▶ПодсказкаСкрыть
КПД — это отношение кинетической энергии ядра к теплоте, выделившейся при сгорании пороха. Масса ядра находится через его объём и плотность чугуна.
▶ОтветСкрыть
\(N = 363\).
▶РешениеСкрыть
1) По определению КПД: \(\eta = \dfrac{E_k}{Q} = \dfrac{m_{\text{ядра}} v^2/2}{m_{\text{пороха}}\, q_{\text{пороха}}}\).
2) \(m_{\text{ядра}} = V_{\text{ядра}}\,\rho_{\text{чугуна}} = \dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3\rho_{\text{чугуна}}\).
3) Масса пороха на один выстрел: \(m_{\text{пороха}} = \dfrac{\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3\rho_{\text{чугуна}}\, v^2}{2\,\eta\, q_{\text{пороха}}}\).
4) Число выстрелов: \(N = \dfrac{M}{m_{\text{пороха}}} = \dfrac{2M\eta\, q_{\text{пороха}}}{\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3\rho_{\text{чугуна}}\, v^2}\).
зад 5 Три сосуда с трубками и воздушными объёмами
Три пустых сосуда, расположенных один над другим, заполнили водой. Сначала через трубку 3 заполнили сосуд в центре, затем через верхний сосуд заполнили водой оставшиеся сосуды. Система со временем приходит в состояние равновесия (см. рисунок), при котором перетекание жидкостей прекращается. В процессе установления равновесия жидкость не выливается за пределы системы, воздушные объёмы между сосудами герметичны. На сколько уровень воды в трубке 3 превышает уровень воды в верхнем сосуде при равновесном состоянии системы, если \(a = 12\) мм; \(b = 28\) мм; \(c = 17\) мм; \(d = 13\) мм; \(e = 80\) мм. Ответ дайте в мм.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните давления на уровнях соседних сосудов, учитывая запертый воздух между ними: высота столба воды над уровнем, где давление известно, задаётся разностью давлений.
▶ОтветСкрыть
\(30\) мм.
зад 6 Два стакана с водой и переливания
На столе стоят два стакана, в которые налито одинаковое количество воды массой \(m\). Температура воды в первом стакане равна \(t = 20\) ℃, во втором \(2t\). Вася перелил треть воды из второго стакана в первый. Дождавшись установления теплового равновесия, Вася перелил такое же количество воды из первого стакана обратно во второй. Определите температуру во втором стакане после всех переливаний. Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Ответ приведите в градусах Цельсия и округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите тепловой баланс при первом переливании: вода, перелитая из горячего стакана, отдаёт тепло холодной воде. Второе переливание — такой же баланс для новых температур.
▶ОтветСкрыть
\(35\) ℃.
▶РешениеСкрыть
Уравнение теплового баланса при первом переливании, \(T\) — температура первого стакана после него, доля перелитой воды \(x\,m\): \[cm(T - t) = cxm(2t - T).\] Отсюда \(T = t\,\dfrac{1 + 2x}{1 + x}\).
Для второго переливания обозначим температуру второго стакана через \(\tau\): \[cmx(\tau - T) = cm(1 - x)(2t - \tau).\] Отсюда \(\tau = xT + 2t(1 - x)\). Подставляя \(T\): \[\tau = \frac{xt(1 + 2x)}{1 + x} + 2t(1 - x).\] При \(x = \dfrac{1}{3}\) получаем \(\tau = 35\) ℃.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2024/25, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.