СПбГУ, 2024/25, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

КПД — это отношение кинетической энергии ядра к теплоте, выделившейся при сгорании пороха. Масса ядра находится через его объём и плотность чугуна.

Ответ

\(N = 363\).

Решение

1) По определению КПД: \(\eta = \dfrac{E_k}{Q} = \dfrac{m_{\text{ядра}} v^2/2}{m_{\text{пороха}}\, q_{\text{пороха}}}\).

2) \(m_{\text{ядра}} = V_{\text{ядра}}\,\rho_{\text{чугуна}} = \dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3\rho_{\text{чугуна}}\).

3) Масса пороха на один выстрел: \(m_{\text{пороха}} = \dfrac{\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3\rho_{\text{чугуна}}\, v^2}{2\,\eta\, q_{\text{пороха}}}\).

4) Число выстрелов: \(N = \dfrac{M}{m_{\text{пороха}}} = \dfrac{2M\eta\, q_{\text{пороха}}}{\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3\rho_{\text{чугуна}}\, v^2}\).

Подсказка

Сравните давления на уровнях соседних сосудов, учитывая запертый воздух между ними: высота столба воды над уровнем, где давление известно, задаётся разностью давлений.

Ответ

\(30\) мм.

Подсказка

Запишите тепловой баланс при первом переливании: вода, перелитая из горячего стакана, отдаёт тепло холодной воде. Второе переливание — такой же баланс для новых температур.

Ответ

\(35\) ℃.

Решение

Уравнение теплового баланса при первом переливании, \(T\) — температура первого стакана после него, доля перелитой воды \(x\,m\): \[cm(T - t) = cxm(2t - T).\] Отсюда \(T = t\,\dfrac{1 + 2x}{1 + x}\).

Для второго переливания обозначим температуру второго стакана через \(\tau\): \[cmx(\tau - T) = cm(1 - x)(2t - \tau).\] Отсюда \(\tau = xT + 2t(1 - x)\). Подставляя \(T\): \[\tau = \frac{xt(1 + 2x)}{1 + x} + 2t(1 - x).\] При \(x = \dfrac{1}{3}\) получаем \(\tau = 35\) ℃.

Подсказка

Выразите сопротивление квадратной пластины через её сторону и толщину: от площади, которая меняется, сторона может сократиться.

Ответ

\(1\).

Решение

Обозначим за \(a\) сторону квадрата одной пластины (любой), а за \(d\) — её толщину. Тогда сопротивление одной пластины рассчитывается по формуле: \[R = \frac{\rho l}{s} = \frac{\rho a}{ad} = \frac{\rho}{d}.\] То есть сопротивление пластины зависит только от удельного сопротивления и толщины пластины, но не от её площади. Тогда сопротивления пластин, а значит и выделяемое ими тепло, одинаковы. Значит, вода в первом и втором стакане закипит одновременно.

Подсказка

Центростремительное ускорение пропорционально квадрату угловой скорости. Найдите, какой угловой скорости оно соответствует, и затем время из формулы для угловой скорости при постоянном угловом ускорении.

Ответ

\(t \approx 21\) с.

Решение

1. Центростремительное ускорение при \(t = 0\): \(a_{\text{ц}0} = \omega_0^2 R = 1^2 \cdot 5 = 5\) м/с\(^2\).

2. В момент времени \(t_1\) центростремительное ускорение по условию равно \(a_{\text{ц}1} = 2a_{\text{ц}0} = 10\) м/с\(^2\).

3. Выразим угловую скорость через центростремительное ускорение: \(a_{\text{ц}1} = \omega_1^2 R \;\Rightarrow\; \omega_1 = \sqrt{a_{\text{ц}1}/R} = \sqrt{2}\) рад/с.

4. Угловая скорость в момент времени \(t_1\): \(\omega_1 = \omega_0 + \alpha t_1\).

5. Отсюда \(t_1 = \dfrac{\omega_1 - \omega_0}{\alpha} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{0{,}02} = 21\) с.

Подсказка

Выделившееся на резисторе тепло идёт на плавление льда и на нагрев всей воды. Массы воды и льда в сосуде выражаются через заданное соотношение \(k:n\).

Ответ

\(I = 8\) А (при \(m = 1200\) г, \(\Delta T = 7\) °С, \(t = 20\) мин, \(R = 2\) Ом, \(n = 3\), \(k = 7\)).

Решение

Количество теплоты, выделившееся на резисторе, ушло на плавление льда и разогрев воды: \[Q = \lambda\,\Delta m + C\,(m_1 + \Delta m)\,\Delta T.\] Из соотношения воды и льда в сосуде: \[m_1 = \frac{k}{k + n}\,m, \qquad \Delta m = \frac{n}{k + n}\,m.\] Мощность на резисторе \(P = I^2 R = Q/t\), откуда \[I = \sqrt{\frac{m}{R t}\left(\frac{n}{k + n}\,\lambda + C\,\Delta T\right)}.\]