зад 1 Согнутая проволока
Вариант 1.1. Одну клемму источника тока подключили к концу медной проволоки, вторую — на некотором расстоянии от первой клеммы, так чтобы длина всей проволоки делилась на два отрезка в отношении \(5\!:\!3\). Свободный конец медной проволоки припаяли к середине этой проволоки, так что образовалась петля. Известно, что длина проволоки равна \(80\) см, площадь поперечного сечения \(0{,}2\) мм\(^2\) и удельное сопротивление меди составляет \(0{,}0175\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м. На клеммы подали напряжение \(5\) В. Найдите силу тока, ответ представьте в А, результат округлите до целого.
Вариант 2.1. Клеммы источника тока подключили к концу медной проволоки и на некотором расстоянии от первой клеммы, так чтобы длина всей проволоки делилась на два отрезка в отношении \(5\!:\!3\). Свободный конец медной проволоки припаяли к середине этой проволоки, так что образовалась петля. Известно, что длина проволоки равна \(80\) см, площадь поперечного сечения \(0{,}4\) мм\(^2\) и удельное сопротивление меди составляет \(0{,}0175\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м. Через клеммы проходит ток, равный \(100\) А. Найдите напряжение, подаваемое на клеммы. Ответ представьте в В, результат округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Клеммы делят проволоку на части \(5x\) и \(3x\), где \(x\) — сопротивление одной восьмой проволоки. Определите, какие участки оказываются параллельны после пайки петли, и найдите общее сопротивление.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1.1: \(I \approx 120\) А. Вариант 2.1: \(U \approx 2\) В.
▶РешениеСкрыть
Вариант 1.1. Клеммы делят проволоку на части \(5x\) и \(3x\), всего \(8x\), где \(x = \rho l/(8S)\). После пайки петли получаются участки \(4x\) (до места спайки), \(3x\) и \(x\) (на петле); участки \(3x\) и \(x\) соединены параллельно. Общее сопротивление \(R = 4x + \dfrac{3x\cdot x}{3x + x} = 4{,}75\,x = \dfrac{4{,}75\,\rho l}{8S}\). По закону Ома \(I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{8US}{4{,}75\,\rho l} \approx 120\) А.
Вариант 2.1. Аналогично, \(U = \dfrac{4{,}75\,\rho l\, I}{8S} \approx 2{,}078\) В, то есть \(\approx 2\) В.
зад 2 Пружинные системы и наклонная плоскость
Вариант 1.1. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 2\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 300\) Н/м для 1 и 4 пружин и \(k = 100\) Н/м для 2 и 3 пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 2. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 2 и 3 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.
Вариант 1.2. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 1\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 400\) Н/м для 1 и 4 пружин и \(k = 200\) Н/м для 2 и 3 пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 3. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 2 и 3 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.
Вариант 2.1. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 2\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 300\) Н/м для 3 пружины и \(k = 100\) Н/м для всех других пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 4. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости.
Вариант 2.2. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 1\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 400\) Н/м для 3 пружины и \(k = 200\) Н/м для всех других пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 3. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 1, 2, 4 и 5 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила упругости всей системы уравновешивает \(mg\sin\alpha\). Общая жёсткость системы получается из параллельного и последовательного соединения пружин; растяжение пружины, которую спрашивают, находится через растяжение всей системы.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1.1: \(x = 0{,}05\) м. Вариант 1.2: \(x = 0{,}0125\) м. Вариант 2.1: \(x = 0{,}05\) м. Вариант 2.2: \(x = 0{,}0125\) м.
▶РешениеСкрыть
Вариант 1.1. По второму закону Ньютона вдоль плоскости \(F_{\text{упр}} = mg\sin\alpha\), поэтому общее растяжение \(x_{\text{общ}} = \dfrac{mg\sin\alpha}{k_{\text{общ}}}\). Пружины 2 и 3 соединены параллельно (жёсткость \(k_{23} = 2k\)), эта группа последовательно соединена с пружинами 1 и 4. Итоговое растяжение пружины 2 получается \[x = \frac{mg\sin\alpha}{2k} = \frac{2\cdot 10\cdot 0{,}5}{2\cdot 100} = 0{,}05~\text{м}.\]
Вариант 1.2. По той же схеме: \(x = \dfrac{mg\sin\alpha}{2k} = \dfrac{1\cdot 10\cdot 0{,}5}{2\cdot 200} = 0{,}0125\) м.
Вариант 2.1. Пружины 1 и 2, а также 4 и 5 соединены параллельно попарно (\(k_{12} = k_{45} = 2k\)), эти группы соединены последовательно с пружиной 3 (жёсткость \(k'\)). По той же логике \(x = \dfrac{mg\sin\alpha}{2k} = 0{,}05\) м.
Вариант 2.2. \(x = \dfrac{mg\sin\alpha}{2k} = \dfrac{1\cdot 10\cdot 0{,}5}{2\cdot 200} = 0{,}0125\) м.
зад 3 Мячик в клине
Вариант 1. Две плоскости образуют V-образный клин с углом раствора \(2\beta\), внутри которого, между стенками клина, в поле сил тяжести упруго прыгает мячик (см. рисунок). При этом мячик летает по одной и той же траектории от стенки до стенки. Чему равна скорость мячика в наивысшей точке траектории, если расстояние до ребра клина в этот момент равно \(H\)? Ускорение свободного падения равно \(g\), размерами и вращением мячика можно пренебречь.
Вариант 2. Мячик бросают в сторону наклонной плоскости из точки, расположенной на высоте \(H\) над точкой пересечения этой плоскости и горизонтальной поверхности (см. рисунок). Начальная скорость шарика равна \(v\) и направлена горизонтально. Упруго отскочив от плоскости, мячик по той же траектории вернулся в исходную точку. Определите угол наклона плоскости над горизонталью. Ускорение свободного падения равно \(g\), размерами и вращением мячика можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Вариант 1: в наивысшей точке вертикальная скорость равна нулю, а отскок от стенки меняет направление скорости так, что она составляет угол \(\beta\) с горизонталью. Вариант 2: мячик возвращается по своей траектории, значит, в точке удара скорость перпендикулярна плоскости.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(v_{\text{верш}} = \sqrt{\dfrac{gH}{1 + \frac{1}{2}\operatorname{tg}^2\beta}}\). Вариант 2: \(\operatorname{ctg}\alpha = \sqrt{2\left(\dfrac{gH}{v^2} - 1\right)}\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. После отскока от стенки начальная скорость мячика направлена под углом \(\beta\) к горизонту: \(v_y/v_x = \operatorname{tg}\beta\), \(v_x\) постоянна. В наивысшей точке \(v_y = 0\); подъём над точкой отскока \(h = \dfrac{v_y^2}{2g}\). Геометрия треугольника (горизонтальный катет \(x = v_x v_y/g\), вертикальный катет \(H - h\)) даёт \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{v_x v_y}{g(H-h)}\), откуда \(v_x^2 = g(H-h)\). Подставляя \(h = \dfrac{v_x^2\operatorname{tg}^2\beta}{2g}\), получаем \[v_x^2 = \frac{gH}{1 + \frac{1}{2}\operatorname{tg}^2\beta}.\]
Вариант 2. Мячик возвращается по своей траектории, значит, в точке удара его скорость перпендикулярна плоскости. Угол между скоростью и горизонталью в этот момент равен \(90^\circ - \alpha\), то есть \(v_y = v\operatorname{ctg}\alpha\) в точке удара. Точка удара находится на высоте \(h = v^2/g\) (из условия возврата в исходную точку), а вертикальная скорость удовлетворяет \(v_y^2 = 2g(H-h)\). Отсюда \(\operatorname{ctg}\alpha = \sqrt{2\left(\dfrac{gH}{v^2} - 1\right)}\), то есть \(\alpha = \operatorname{arcctg}\sqrt{2(gH/v^2 - 1)}\).
зад 4 Брусок у бортика и пружины
Вариант 1. Брусок массой \(m\), лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, одной своей гранью касается вертикального бортика, а другой прикреплён к стене пружиной жёсткостью \(k\) (см. рисунок). Изначально пружина не деформирована. Затем брусок отвели на некоторое расстояние вправо и отпустили. Определите первоначальное отклонение бруска, если брусок до полной остановки ударился о левый бортик \(n > 0\) раз, перед остановкой двигался по направлению от бортика, а в результате выделилось количество теплоты \(Q\). Коэффициент трения бруска о поверхность равен \(\mu\), ускорение свободного падения \(g\). Брусок ударяется о бортик абсолютно упруго.
Вариант 2. Брусок массой \(m\), лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, одной своей гранью касается вертикального бортика, а другой прикреплён к стене пружиной жёсткостью \(k\) (см. рисунок). Изначально пружина не деформирована. Затем брусок отвели на некоторое расстояние вправо и отпустили. Определите первоначальное отклонение бруска, если брусок до полной остановки ударился о левый бортик \(n > 0\) раз, перед остановкой двигался по направлению к бортику, а в результате выделилось количество теплоты \(Q\). Коэффициент трения бруска о поверхность равен \(\mu\), ускорение свободного падения \(g\). Брусок ударяется о бортик абсолютно упруго.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила трения постоянна по модулю и меняет направление при смене направления движения. За каждый полупериод энергия пружины уменьшается на работу трения; за \(n\) ударов о бортик это даёт общее уменьшение отклонения \(2n\mu mg/k\).
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(x_0 = \dfrac{Q}{2n\mu mg} + \dfrac{n\mu mg}{k}\). Вариант 2: \(x_0 = \dfrac{Q}{2(n+1)\mu mg} + \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Точки поворота бруска вдали от бортика \(x_n\) и \(x_{n+1}\) связаны законом сохранения энергии: \(\dfrac{kx_n^2}{2} - \dfrac{kx_{n+1}^2}{2} = \mu mg(x_n + x_{n+1})\), откуда \(x_n - x_{n+1} = \dfrac{2\mu mg}{k}\). Последняя точка поворота \(x_n = x_0 - 2n\dfrac{\mu mg}{k}\). Выделившаяся теплота равна разности энергий пружины: \(Q = \dfrac{k}{2}(x_0^2 - x_n^2) = 2n\mu mg\left(x_0 - \dfrac{n\mu mg}{k}\right)\), откуда \(x_0 = \dfrac{Q}{2n\mu mg} + \dfrac{n\mu mg}{k}\).
Вариант 2. Аналогично, точка последнего поворота \(x_n = x_0 - 2n\dfrac{\mu mg}{k}\); после неё брусок проходит ещё путь до конечной координаты \(x'\), из закона сохранения энергии \(x' = \dfrac{2\mu mg}{k}(n+1) - x_0\). Теплота \(Q = \dfrac{k}{2}(x_0^2 - x'^2) = 2(n+1)\mu mg\left(x_0 - \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\right)\), откуда \(x_0 = \dfrac{Q}{2(n+1)\mu mg} + \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\).
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2024/25, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.