зад 8.1 Вес пенопласта и железа
Вариант 1.1. Петя, находясь на улице, с помощью больших весов измерял вес различных тел. Он заметил, что материалы с одинаковой массой могут иметь разный вес, если измерять их на воздухе. Какую разницу в весе одной тонны железа и одной тонны пенопласта получил Петя, используя свои весы? Весы, на которых проводились измерения, калибровались в вакууме. Плотность воздуха \(1{,}2\) кг/м\(^3\), плотность железа \(8000\) кг/м\(^3\), плотность пенопласта \(100\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ приведите в ньютонах.
Вариант 1.2. Петя, находясь на улице, с помощью больших весов измерял вес различных тел. Он заметил, что материалы с одинаковой массой могут иметь разный вес, если измерять их на воздухе. Какую разницу в весе одной тонны бетона и одной тонны древесины пробкового дерева получил Петя, используя свои весы? Весы, на которых проводились измерения, калибровались в вакууме. Плотность воздуха \(1{,}2\) кг/м\(^3\), плотность бетона \(2500\) кг/м\(^3\), плотность древесины пробкового дерева \(200\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ приведите в ньютонах.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: \(118{,}5\) Н; вариант 1.2: \(55{,}2\) Н.
▶РешениеСкрыть
Вес тела равен силе, с которой тело давит на опору. В воздухе на тело, помимо силы тяжести, действует направленная вверх сила Архимеда. Весы калиброваны в вакууме и силу Архимеда не учитывают, поэтому их показание отличается от \(mg\) на силу Архимеда: \[P = mg - \rho_{\text{в}} g V, \qquad V = \frac{m}{\rho},\] где \(V\) — полный объём тела (тело целиком в воздухе).
Вариант 1.1: \(V_{\text{ж}} = 0{,}125\) м\(^3\), \(V_{\text{п}} = 10\) м\(^3\). Тогда \(P_{\text{ж}} = 10^4 - 1{,}2\cdot 10\cdot 0{,}125 = 9998{,}5\) Н, \(P_{\text{п}} = 10^4 - 1{,}2\cdot 10\cdot 10 = 9880\) Н, разница \(118{,}5\) Н.
Вариант 1.2: \(V_{\text{б}} = 0{,}4\) м\(^3\), \(V_{\text{д}} = 5\) м\(^3\). Тогда \(P_{\text{б}} = 10^4 - 4{,}8 = 9995{,}2\) Н, \(P_{\text{д}} = 10^4 - 60 = 9940\) Н, разница \(55{,}2\) Н.
зад 8.2 Задача про блоки
Вариант 1.1. С помощью системы блоков (см. рис.) удерживается в покое неоднородная балка массой \(M = \dfrac{77m}{9}\), при том что к крайнему блоку подвешен груз массой \(\dfrac{8m}{3}\). Каждый блок, независимо от его размеров, имеет массу \(m = 0{,}1\) кг, радиус левых блоков указан на рисунке, \(R = 0{,}1\) м. Нити невесомые, трение в осях блоков отсутствует. Два левых блока надеты на одну ось и скреплены между собой. Нити по блокам не проскальзывают.
Чему должна быть равна величина силы \(F\), чтобы система находилась в покое?
Где должен находиться центр масс балки \(M\) относительно её левого края, чтобы балка оставалась в горизонтальном положении, если длина всей балки равна \(5R\)?
Вариант 1.2. С помощью системы блоков (см. рис.) удерживается в покое неоднородная балка массой \(M = \dfrac{77m}{9}\), при том что к крайнему блоку подвешен груз массой \(\dfrac{8m}{3}\). Каждый блок, независимо от его размеров, имеет массу \(m = 0{,}3\) кг, радиус левых блоков указан на рисунке, \(R = 0{,}2\) м. Нити невесомые, трение в осях блоков отсутствует. Два левых блока надеты на одну ось и скреплены между собой. Нити по блокам не проскальзывают.
Чему должна быть равна величина силы \(F\), чтобы система находилась в покое?
Где должен находиться центр масс балки \(M\) относительно её левого края, чтобы балка оставалась в горизонтальном положении, если длина всей балки равна \(10R\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона для каждого блока и груза (блоки с общей осью связаны нитями без проскальзывания) и правило моментов для блока, к которому приложена сила \(F\). Затем примените правило моментов к балке.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: 1) \(F = \dfrac{11mg}{6} \approx 1{,}83\) Н; 2) \(L_0 \approx 0{,}0896\) м; вариант 1.2: 1) \(F = \dfrac{11mg}{6} = 5{,}5\) Н; 2) \(L_0 \approx 0{,}1792\) м.
▶РешениеСкрыть
Силы натяжения: \(T_1, T_3, T_4, T_5\) и \(T_0\) (на левом краю балки); для блоков справа и грузов записываем \(2F = mg + T_1\), \(2T_1 = mg + T_4\), \(2T_4 = mg + T_3\), \(2T_5 = mg + T_4\), \(T_5 = \dfrac{8mg}{3}\), а для балки \(T_0 + T_3 = Mg\). Правило моментов для блока \(1\) даёт \(T_1 = 3T_0\).
Отсюда \(T_4 = \dfrac{13mg}{3}\), \(T_3 = \dfrac{23mg}{3}\), \(T_1 = 3Mg - 23mg\), и \[2F = 3Mg - 22mg = \frac{11mg}{3} \quad\Rightarrow\quad F = \frac{11mg}{6}.\] Вариант 1.1: \(F = 1{,}83\) Н; вариант 1.2: \(F = 5{,}5\) Н.
Положение центра масс находим из правила моментов относительно центра масс: \(T_0 L_0 = T_3(5R - L_0)\) (для варианта 1.2 вместо \(5R\) — \(10R\)), откуда \(L_0 = \dfrac{5R\,T_3}{T_0+T_3} = \dfrac{23Rm}{3M}\). Вариант 1.1: \(L_0 \approx 0{,}0896\) м; вариант 1.2: \(L_0 \approx 0{,}1792\) м.
зад 8.3 Тепловое КПД
Вариант 1.1. Вася решил создать свою маленькую электростанцию, чтобы получить электрическую энергию, достаточную для зарядки своего телефона. Для этого он взял кастрюлю с герметично закрывающейся крышкой, в которой проделал отверстие для выхода пара. Над этим отверстием он расположил лопасти, закреплённые на оси электрогенератора. В результате выхода пара лопасти раскручивались, и генератор вырабатывал электричество. В кастрюлю Вася помещал снег с улицы, где была температура \(-10\,^\circ\)C. В качестве источника энергии он использовал газовые баллоны. Чтобы превратить в пар без остатка каждый килограмм снега, необходим был один баллон с газом. Вася использовал 8 баллонов с газом, в каждом из которых находилось по \(200\) г сжиженного газа, при том что испарение в кастрюле и горение газа закончились одновременно. Электрическая энергия, полученная с помощью этой электростанции, оказалась равна \(10\%\) от всей энергии, полученной снегом. Найдите КПД электростанции, ответ приведите в процентах. Теплоёмкостью кастрюли и лопастей можно пренебречь.
Вариант 1.2. Вася решил создать свою маленькую электростанцию, чтобы получить электрическую энергию, достаточную для зарядки своего телефона. Для этого он взял кастрюлю с герметично закрывающейся крышкой, в которой проделал отверстие для выхода пара. Над этим отверстием он расположил лопасти, закреплённые на оси электрогенератора. В результате выхода пара лопасти раскручивались, и генератор вырабатывал электричество. В кастрюлю Вася помещал снег с улицы, где была температура \(-20\,^\circ\)C. В качестве источника энергии он использовал газовые баллоны. Чтобы превратить в пар без остатка каждый килограмм снега, необходим был один баллон с газом. Вася использовал 8 баллонов с газом, в каждом из которых находилось по \(400\) г сжиженного газа, при том что испарение в кастрюле и горение газа закончились одновременно. Электрическая энергия, полученная с помощью этой электростанции, оказалась равна \(15\%\) от всей энергии, полученной снегом. Найдите КПД электростанции, ответ приведите в процентах. Теплоёмкостью кастрюли и лопастей можно пренебречь.
Удельная теплота парообразования воды \(2{,}3\) МДж/кг, удельная теплота кристаллизации воды \(330\) кДж/кг, удельная теплоёмкость воды \(4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплоёмкость льда \(2{,}1\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплота сгорания газа \(46\) МДж/кг.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: \(\approx 3{,}3\,\%\); вариант 1.2: \(\approx 2{,}5\,\%\).
▶РешениеСкрыть
КПД — отношение полезной электрической энергии к теплоте, выделившейся при сгорании газа: \(\eta = E_{\text{эл}}/Q\). По условию \(E_{\text{эл}} = 0{,}1\,Q_{\text{сн}}\) (вариант 1.1) или \(0{,}15\,Q_{\text{сн}}\) (вариант 1.2), где \(Q_{\text{сн}}\) — теплота, необходимая для превращения снега в пар: \[Q_{\text{сн}} = c_{\text{л}} m_{\text{сн}}\Delta t_1 + \lambda m_{\text{сн}} + c_{\text{в}} m_{\text{сн}}\Delta t_2 + L m_{\text{сн}},\] где \(\Delta t_1\) — нагрев снега от начальной температуры (\(10\,^\circ\)C в варианте 1.1, \(20\,^\circ\)C в варианте 1.2) до \(0\,^\circ\)C, \(\Delta t_2 = 100\,^\circ\)C, \(\lambda\) — удельная теплота плавления, \(L\) — удельная теплота парообразования. Масса снега равна \(m_{\text{сн}} = N\cdot 1\) кг, а теплота сгорания \(Q = qNm_{\text{б}}\), где \(m_{\text{б}}\) — масса газа в одном баллоне. Множитель \(N\) сокращается: \[\eta = \frac{k\,(c_{\text{л}}\Delta t_1 + \lambda + c_{\text{в}}\Delta t_2 + L)\cdot 1\,\text{кг}}{q\,m_{\text{б}}}, \qquad k = 0{,}1 \text{ (вариант 1.1) или } 0{,}15 \text{ (вариант 1.2)}.\] Вариант 1.1: \(\eta = \dfrac{0{,}1\,(21000 + 330000 + 420000 + 2300000)}{46\cdot 10^6\cdot 0{,}2} \approx 0{,}033 = 3{,}3\,\%\).
Вариант 1.2: \(\eta = \dfrac{0{,}15\,(42000 + 330000 + 420000 + 2300000)}{46\cdot 10^6\cdot 0{,}4} \approx 0{,}025 = 2{,}5\,\%\).
зад 8.4 Средняя скорость
Вариант 1.1. Автомобиль ехал по шоссе с переменной скоростью. На графике представлена средняя скорость автомобиля (\(v_{\text{ср}}\)) за некоторое время после начала отсчёта. Найдите среднюю скорость на участке пути, пройденного за последние 6 часов. Ответ приведите в м/с.
Вариант 1.2. Автомобиль ехал по шоссе с переменной скоростью. На графике представлена средняя скорость автомобиля (\(v_{\text{ср}}\)) за некоторое время после начала отсчёта. Найдите среднюю скорость на участке пути, пройденного за последние 3 часа. Ответ приведите в м/с.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: \(55\) м/с; вариант 1.2: \(67{,}5\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Путь за время \(t\) равен \(S(t) = v_{\text{ср}}(t)\,t\), где \(v_{\text{ср}}(t)\) — средняя скорость от начала отсчёта до момента \(t\), и она задана графиком. Путь за последние интервалы находим как разность путей.
Вариант 1.1: \(S(12) = 30\cdot 12\cdot 3600 = 1296000\) м; \(S(6) = 5\cdot 6\cdot 3600 = 108000\) м. Тогда \(S_{6\text{--}12} = 1188000\) м, и средняя скорость на этом участке \(\dfrac{1188000}{6\cdot 3600} = 55\) м/с.
Вариант 1.2: на участке \(6\text{--}12\) ч график средней скорости линеен, поэтому \(v_{\text{ср}}(9) = 5 + \dfrac{30-5}{2} = 17{,}5\) м/с. Тогда \(S(9) = 17{,}5\cdot 9\cdot 3600 = 567000\) м, \(S(12) = 1296000\) м, \(S_{9\text{--}12} = 729000\) м, и средняя скорость \(\dfrac{729000}{3\cdot 3600} = 67{,}5\) м/с.
зад 8.5 U-образная трубка и кубик льда
Вариант 1.1. В пустую U-образную трубку, один из концов которой запаян, залили воду. В налитую воду поместили кубик льда с ребром \(3a\), внутри которого был вморожен алюминиевый кубик с ребром \(a\). После добавления кубика льда уровень жидкости в закрытой части оказался на расстоянии \(l_0\) от верхнего края трубки, а в открытой части уровень жидкости оказался выше уровня в закрытом на \(h_0\) (см. рис.). Как и насколько изменится уровень воды в левом колене, когда весь лёд растает, если изначально нерастаявший кубик плавал? Плотность воды \(\rho_{\text{в}}\), плотность льда \(\rho_{\text{л}}\), плотность алюминия \(\rho_{\text{Al}}\), атмосферное давление \(p_a\), трубка имеет постоянную площадь поперечного сечения \(S\). Запертый воздух занимает весь предоставленный ему объём, и создаваемое им давление обратно пропорционально занимаемому объёму (\(pV = \text{const}\)). Теплообмен с окружающей средой пренебречь.
Вариант 1.2. То же, но кубик льда имеет ребро \(4a\), внутри которого вморожен алюминиевый кубик с ребром \(a\). Остальные данные и вопрос — как в варианте 1.1.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1 и 1.2: уровень воды в левом колене уменьшится на \[x = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 8\,C\,l_0}}{4}, \qquad B = 2l_0 + \frac{p_a}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h, \qquad C = \Big(\frac{p_a - p_0}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h\Big),\] где \(\Delta h = \dfrac{a^3(\rho_{\text{Al}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{в}} S}\), \(p_0 = p_a + \rho_{\text{в}} g h_0\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1.1. Кубик с алюминием плавает, поэтому сила Архимеда уравновешивает его вес: \[(m_{\text{л}} + m_{\text{Al}})\,g = \rho_{\text{в}} V' g, \qquad V' = \frac{a^3(26\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{Al}})}{\rho_{\text{в}}},\] где \(26a^3 = (3a)^3 - a^3\) — объём льда. После таяния объём системы (вода и алюминий) равен \(V'' = \dfrac{a^3(26\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{в}}}\), поэтому общий уровень меняется на \[\Delta h = \frac{|V'' - V'|}{S} = \frac{a^3(\rho_{\text{Al}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{в}} S}.\] Давление воздуха в закрытом колене: \(p_0 = p_a + \rho_{\text{в}} g h_0\) до таяния; после таяния \(p_1 = \dfrac{p_0 l_0}{l_0 + x}\), где \(x\) — уменьшение уровня в закрытом колене. Приравнивая давления в коленах, получаем квадратное уравнение \[2x^2 + \Big(2l_0 + \frac{p_a}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h\Big)x + \Big(\frac{p_a - p_0}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h\Big)l_0 = 0,\] решение которого приведено в ответе.
Вариант 1.2. Объём льда \((4a)^3 - a^3 = 63a^3\); разность \(V'' - V'\) при этом та же, поэтому \(\Delta h\) и ответ совпадают с вариантом 1.1.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2024/25, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.