зад 9.1 Тепловое КПД
Вариант 1.1. Вася решил создать свою маленькую электростанцию, чтобы получить электрическую энергию, достаточную для зарядки своего телефона. Для этого он взял кастрюлю с герметично закрывающейся крышкой, в которой проделал отверстие для выхода пара. Над этим отверстием он расположил лопасти, закреплённые на оси электрогенератора. В результате выхода пара лопасти раскручивались, и генератор вырабатывал электричество. В кастрюлю Вася помещал снег с улицы, где была температура \(-10\,^\circ\)C. В качестве источника энергии он использовал газовые баллоны. Чтобы превратить в пар без остатка каждый килограмм снега, необходим был один баллон с газом. Вася использовал 8 баллонов с газом, в каждом из которых находилось по \(200\) г сжиженного газа, при том что испарение в кастрюле и горение газа закончились одновременно. Электрическая энергия, полученная с помощью этой электростанции, оказалась равна \(10\%\) от всей энергии, полученной снегом. Найдите КПД электростанции, ответ приведите в процентах. Теплоёмкостью кастрюли и лопастей можно пренебречь.
Вариант 1.2. Вася решил создать свою маленькую электростанцию, чтобы получить электрическую энергию, достаточную для зарядки своего телефона. Для этого он взял кастрюлю с герметично закрывающейся крышкой, в которой проделал отверстие для выхода пара. Над этим отверстием он расположил лопасти, закреплённые на оси электрогенератора. В результате выхода пара лопасти раскручивались, и генератор вырабатывал электричество. В кастрюлю Вася помещал снег с улицы, где была температура \(-20\,^\circ\)C. В качестве источника энергии он использовал газовые баллоны. Чтобы превратить в пар без остатка каждый килограмм снега, необходим был один баллон с газом. Вася использовал 8 баллонов с газом, в каждом из которых находилось по \(400\) г сжиженного газа, при том что испарение в кастрюле и горение газа закончились одновременно. Электрическая энергия, полученная с помощью этой электростанции, оказалась равна \(15\%\) от всей энергии, полученной снегом. Найдите КПД электростанции, ответ приведите в процентах. Теплоёмкостью кастрюли и лопастей можно пренебречь.
Удельная теплота парообразования воды \(2{,}3\) МДж/кг, удельная теплота кристаллизации воды \(330\) кДж/кг, удельная теплоёмкость воды \(4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплоёмкость льда \(2{,}1\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплота сгорания газа \(46\) МДж/кг.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: \(\approx 3{,}3\,\%\); вариант 1.2: \(\approx 2{,}5\,\%\).
▶РешениеСкрыть
КПД — отношение полезной электрической энергии к теплоте, выделившейся при сгорании газа: \(\eta = E_{\text{эл}}/Q\). По условию \(E_{\text{эл}} = 0{,}1\,Q_{\text{сн}}\) (вариант 1.1) или \(0{,}15\,Q_{\text{сн}}\) (вариант 1.2), где \(Q_{\text{сн}}\) — теплота, необходимая для превращения снега в пар: \[Q_{\text{сн}} = c_{\text{л}} m_{\text{сн}}\Delta t_1 + \lambda m_{\text{сн}} + c_{\text{в}} m_{\text{сн}}\Delta t_2 + L m_{\text{сн}},\] где \(\Delta t_1\) — нагрев снега от начальной температуры (\(10\,^\circ\)C в варианте 1.1, \(20\,^\circ\)C в варианте 1.2) до \(0\,^\circ\)C, \(\Delta t_2 = 100\,^\circ\)C, \(\lambda\) — удельная теплота плавления, \(L\) — удельная теплота парообразования. Масса снега равна \(m_{\text{сн}} = N\cdot 1\) кг, а теплота сгорания \(Q = qNm_{\text{б}}\), где \(m_{\text{б}}\) — масса газа в одном баллоне. Множитель \(N\) сокращается: \[\eta = \frac{k\,(c_{\text{л}}\Delta t_1 + \lambda + c_{\text{в}}\Delta t_2 + L)\cdot 1\,\text{кг}}{q\,m_{\text{б}}}, \qquad k = 0{,}1 \text{ (вариант 1.1) или } 0{,}15 \text{ (вариант 1.2)}.\] Вариант 1.1: \(\eta = \dfrac{0{,}1\,(21000 + 330000 + 420000 + 2300000)}{46\cdot 10^6\cdot 0{,}2} \approx 0{,}033 = 3{,}3\,\%\).
Вариант 1.2: \(\eta = \dfrac{0{,}15\,(42000 + 330000 + 420000 + 2300000)}{46\cdot 10^6\cdot 0{,}4} \approx 0{,}025 = 2{,}5\,\%\).
зад 9.2 Средняя скорость
Вариант 1.1. Автомобиль ехал по шоссе с переменной скоростью. На графике представлена средняя скорость автомобиля (\(v_{\text{ср}}\)) за некоторое время после начала отсчёта. Найдите среднюю скорость на участке пути, пройденного за последние 6 часов. Ответ приведите в м/с.
Вариант 1.2. Автомобиль ехал по шоссе с переменной скоростью. На графике представлена средняя скорость автомобиля (\(v_{\text{ср}}\)) за некоторое время после начала отсчёта. Найдите среднюю скорость на участке пути, пройденного за последние 3 часа. Ответ приведите в м/с.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: \(55\) м/с; вариант 1.2: \(67{,}5\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Путь за время \(t\) равен \(S(t) = v_{\text{ср}}(t)\,t\), где \(v_{\text{ср}}(t)\) — средняя скорость от начала отсчёта до момента \(t\), и она задана графиком. Путь за последние интервалы находим как разность путей.
Вариант 1.1: \(S(12) = 30\cdot 12\cdot 3600 = 1296000\) м; \(S(6) = 5\cdot 6\cdot 3600 = 108000\) м. Тогда \(S_{6\text{--}12} = 1188000\) м, и средняя скорость на этом участке \(\dfrac{1188000}{6\cdot 3600} = 55\) м/с.
Вариант 1.2: на участке \(6\text{--}12\) ч график средней скорости линеен, поэтому \(v_{\text{ср}}(9) = 5 + \dfrac{30-5}{2} = 17{,}5\) м/с. Тогда \(S(9) = 17{,}5\cdot 9\cdot 3600 = 567000\) м, \(S(12) = 1296000\) м, \(S_{9\text{--}12} = 729000\) м, и средняя скорость \(\dfrac{729000}{3\cdot 3600} = 67{,}5\) м/с.
зад 9.3 U-образная трубка и кубик льда
Вариант 1.1. В пустую U-образную трубку, один из концов которой запаян, залили воду. В налитую воду поместили кубик льда с ребром \(3a\), внутри которого был вморожен алюминиевый кубик с ребром \(a\). После добавления кубика льда уровень жидкости в закрытой части оказался на расстоянии \(l_0\) от верхнего края трубки, а в открытой части уровень жидкости оказался выше уровня в закрытом на \(h_0\) (см. рис.). Как и насколько изменится уровень воды в левом колене, когда весь лёд растает, если изначально нерастаявший кубик плавал? Плотность воды \(\rho_{\text{в}}\), плотность льда \(\rho_{\text{л}}\), плотность алюминия \(\rho_{\text{Al}}\), атмосферное давление \(p_a\), трубка имеет постоянную площадь поперечного сечения \(S\). Запертый воздух занимает весь предоставленный ему объём, и создаваемое им давление обратно пропорционально занимаемому объёму (\(pV = \text{const}\)). Теплообмен с окружающей средой пренебречь.
Вариант 1.2. То же, но кубик льда имеет ребро \(4a\), внутри которого вморожен алюминиевый кубик с ребром \(a\). Остальные данные и вопрос — как в варианте 1.1.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1 и 1.2: уровень воды в левом колене уменьшится на \[x = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 8\,C\,l_0}}{4}, \qquad B = 2l_0 + \frac{p_a}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h, \qquad C = \Big(\frac{p_a - p_0}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h\Big),\] где \(\Delta h = \dfrac{a^3(\rho_{\text{Al}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{в}} S}\), \(p_0 = p_a + \rho_{\text{в}} g h_0\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1.1. Кубик с алюминием плавает, поэтому сила Архимеда уравновешивает его вес: \[(m_{\text{л}} + m_{\text{Al}})\,g = \rho_{\text{в}} V' g, \qquad V' = \frac{a^3(26\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{Al}})}{\rho_{\text{в}}},\] где \(26a^3 = (3a)^3 - a^3\) — объём льда. После таяния объём системы (вода и алюминий) равен \(V'' = \dfrac{a^3(26\rho_{\text{л}} + \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{в}}}\), поэтому общий уровень меняется на \[\Delta h = \frac{|V'' - V'|}{S} = \frac{a^3(\rho_{\text{Al}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{в}} S}.\] Давление воздуха в закрытом колене: \(p_0 = p_a + \rho_{\text{в}} g h_0\) до таяния; после таяния \(p_1 = \dfrac{p_0 l_0}{l_0 + x}\), где \(x\) — уменьшение уровня в закрытом колене. Приравнивая давления в коленах, получаем квадратное уравнение \[2x^2 + \Big(2l_0 + \frac{p_a}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h\Big)x + \Big(\frac{p_a - p_0}{\rho_{\text{в}} g} + h_0 - \Delta h\Big)l_0 = 0,\] решение которого приведено в ответе.
Вариант 1.2. Объём льда \((4a)^3 - a^3 = 63a^3\); разность \(V'' - V'\) при этом та же, поэтому \(\Delta h\) и ответ совпадают с вариантом 1.1.
зад 9.4 Согнутая проволока
Вариант 1.1. Одну клемму источника тока подключили к концу медной проволоки, вторую — на некотором расстоянии от первой клеммы так, чтобы длина всей проволоки делилась на два отрезка в отношении \(5\!:\!3\). Свободный конец медной проволоки припаяли к середине этой проволоки, так что образовалась петля. Известно, что длина проволоки равна \(80\) см, площадь поперечного сечения \(0{,}2\) мм\(^2\), удельное сопротивление меди \(0{,}0175\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м. На клеммы подали напряжение \(5\) В. Найдите силу тока, ответ представьте в амперах, результат округлите до целого.
Вариант 2.1. Клеммы источника тока подключили к концу медной проволоки и на некотором расстоянии от первой клеммы так, чтобы длина всей проволоки делилась на два отрезка в отношении \(5\!:\!3\). Свободный конец медной проволоки припаяли к середине этой проволоки, так что образовалась петля. Известно, что длина проволоки равна \(80\) см, площадь поперечного сечения \(0{,}4\) мм\(^2\), удельное сопротивление меди \(0{,}0175\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м. Через клеммы проходит ток \(100\) А. Найдите напряжение, подаваемое на клеммы, ответ представьте в вольтах, результат округлите до целого.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: \(120\) А; вариант 2.1: \(2\) В.
▶РешениеСкрыть
Клеммы делят проволоку на части \(5x\) и \(3x\), где \(x = \dfrac{\rho l}{8S}\) — сопротивление одной восьмой длины проволоки. После спайки свободного конца с серединой проволоки получаем участок \(4x\) до точки спайки и петлю из участков \(3x\) и \(x\), включённых параллельно. Тогда \[R = 4x + \frac{3x\cdot x}{3x + x} = 4{,}75\,x = \frac{4{,}75\,\rho l}{8S}.\] Вариант 1.1: \(R \approx 0{,}0416\) Ом, \(I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{8US}{4{,}75\,\rho l} \approx 120{,}3\) А, округлённо \(120\) А.
Вариант 2.1: \(U = \dfrac{4{,}75\,\rho l\,I}{8S} \approx 2{,}08\) В, округлённо \(2\) В.
зад 9.5 Пружинные системы и наклонная плоскость
Вариант 1.1. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 2\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рис.), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 300\) Н/м для пружин 1 и 4 и \(k = 100\) Н/м для пружин 2 и 3. Найдите удлинение пружины под цифрой 2. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 2 и 3 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.
Вариант 2.1. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 2\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рис.), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 300\) Н/м для пружины 3 и \(k = 100\) Н/м для всех остальных пружин. Найдите удлинение пружины под цифрой 4. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости.
Вариант 2.2. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 1\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рис.), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 400\) Н/м для пружины 3 и \(k = 200\) Н/м для всех остальных пружин. Найдите удлинение пружины под цифрой 3. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 1, 2, 4 и 5 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.
▶ОтветСкрыть
вариант 1.1: \(0{,}05\) м; вариант 2.1: \(0{,}05\) м; вариант 2.2: \(0{,}0125\) м.
▶РешениеСкрыть
Брусок покоится, поэтому сила упругости системы пружин уравновешивает проекцию силы тяжести на наклонную плоскость: \(F = mg\sin\alpha\). Вариант 1.1 и 2.1 (\(m = 2\) кг): \(F = 10\) Н. Вариант 2.2 (\(m = 1\) кг): \(F = 5\) Н.
Пружины соединены последовательно и параллельно, и через каждый последовательный участок проходит одна и та же сила \(F\). Жёсткость параллельной пары равна сумме жёсткостей, а растяжение каждой пружины пары — общему растяжению пары.
Вариант 1.1: цепочка «пружина 1 — пара пружин 2 и 3 — пружина 4», пара имеет жёсткость \(2k\), поэтому удлинение пружины 2 равно \(x = \dfrac{F}{2k} = \dfrac{10}{200} = 0{,}05\) м. Вариант 2.1: пара пружин 4 и 5 в цепочке с пружиной 3, \(x_4 = \dfrac{F}{2k} = 0{,}05\) м. Вариант 2.2: пружина 3 с жёсткостью \(k'\) стоит в цепочке последовательно с парами пружин, поэтому \(x_3 = \dfrac{F}{k'} = \dfrac{5}{400} = 0{,}0125\) м.
Источник: Олимпиада школьников СПбГУ по физике, 2024/25, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.