«Старт в науку», 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Внутри планера в петле ведёт себя так, будто сила тяжести изменилась на величину центростремительного ускорения. Как это меняет разность давлений на высоте \(h\)?

\(v' \approx 28{,}1\) м/с.

В спокойном полёте датчик измеряет разницу давления между атмосферой и набегающим потоком, которую из уравнения Бернулли можно записать как \[\Delta P' = \frac{\rho v'^2}{2} + \rho g h,\] где \(\rho\) — плотность воздуха, \(g\) — ускорение свободного падения.

В случае же совершения мёртвой петли самолёт обладает центростремительным ускорением \(a = v^2/R\). В соответствии с принципом эквивалентности гравитационных и инерционных сил измеренная разница давлений равна \[\Delta P = \frac{\rho v^2}{2} + \rho\left(\frac{v^2}{R} - g\right)h.\] Приравнивая разницы давлений для спокойного полёта и мёртвой петли и выражая скорость, найдём показания прибора: \[v' = \sqrt{\frac{v^2}{2} + \left(\frac{v^2}{R} - 2g\right)h}.\] С учётом того, что \(h/R \ll 1/2\), получаем \[v' = \sqrt{\frac{v^2}{2} - 2gh} \approx 28{,}1~\text{м/с}.\]

КПД равен отношению полезной мощности к мощности сгорания бензина. Для цикла выразите КПД через температуры в вершинах, а для адиабаты — через степень сжатия.

\(Q = 18\) л/ч.

Поскольку известна полезная мощность, мощность, получаемая от сгорания бензина, можно выразить как \(W_\text{бенз} = \lambda Q = W/\eta\). Осталось найти КПД цикла Отто.

Количество подводимой теплоты при изохорном нагревании равно \(Q_{2-3} = \frac{i}{2}R(T_3 - T_2)\). Количество отводимой теплоты при изохорном охлаждении равно \(Q_{4-1} = \frac{i}{2}R(T_1 - T_4)\). Отсюда КПД \[\eta = 1 - \frac{|Q_{1-4}|}{|Q_{2-3}|} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} = 1 - \frac{T_4/T_1 - 1}{T_3/T_2 - 1}\cdot\frac{T_1}{T_2}.\] Для адиабаты \(PV^\gamma = \text{const}\), т.е. \(TV^{\gamma - 1} = \text{const}\). Отсюда \(T_4/T_1 = T_3/T_2\) и \(T_1/T_2 = (V_2/V_1)^{\gamma - 1} = (1/\alpha)^{\gamma - 1}\). Поэтому КПД равен \[\eta = 1 - \frac{1}{\alpha^{\gamma - 1}}.\] Получаем ответ \[Q = \left(1 - \frac{1}{\alpha^{\gamma - 1}}\right)^{-1}\frac{W}{\lambda} = 18~\text{л/ч}.\]

Объектив настроен на резкость, значит, для каждой камеры работает формула тонкой линзы. Дальше подобие треугольников: как связаны смещение изображения на матрице и высота объекта?

\(f_1 \approx 1{,}34\) м, \(f_2 \approx 4{,}16\) м, \(h \approx 1{,}37\) м.

Так как объективы настраиваются так, чтобы изображение объекта было сфокусировано на матрице, из формулы тонкой линзы можно найти расстояния до первой и второй камеры: \[f_1 = \frac{F_1 d}{d - F_1} \approx 1{,}34~\text{м}, \qquad f_2 = \frac{F_2 d}{d - F_2} \approx 4{,}16~\text{м}.\] Изображение объекта действительное и перевёрнутое. Тогда из подобия треугольников, получаемых при построении хода лучей: \[h = H + \frac{f_1 l_1}{d} \approx 1{,}37~\text{м},\] где \(l_1 = \dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{x_1}{500}\) — координата изображения на матрице в абсолютных значениях длины.

Амперметр показывает сумму токов через проволоку и через вольтметр. Какой ток идёт через вольтметр при известном напряжении и его сопротивлении?

\(R \approx 84{,}5\) Ом.

Сумма токов через проволоку и вольтметр равна току через амперметр. Напряжение на проволоке равно напряжению на вольтметре. Тогда ток через вольтметр равен \(I_V = U_V / R_V\). Отсюда ток через нихромовую проволоку равен \(I = I_A - I_V = I_A - U_V/R_V\), а сопротивление \[R = \frac{U_V}{I} = \frac{U_V}{I_A - U_V/R_V} \approx 84{,}5~\text{Ом}.\]