«Старт в науку», 2023/24, заключительный этап, 11 класс

Запишите уравнение Бернулли для воздуха под днищем и над трассой вне тоннеля и закон сохранения массы для потока в узкой части тоннеля: как связаны скорости воздуха там и здесь?

\(F = 7680\) Н.

Считая воздух несжимаемым, запишем уравнение Бернулли и закон сохранения массы: \[\Delta P = \frac{\rho}{2}\left(v'^2 - v^2\right), \qquad v\,a\,l = v'\,(a-h)\,l ,\] где \(a\) — высота верхней точки днища до поверхности трассы, \(v\) — скорость воздуха вне тоннеля, \(v'\) — скорость в узкой части. Тогда \[\Delta P = \frac{\rho}{2}\,v^2\left(\left(1-\frac{h}{a}\right)^{-2} - 1\right).\] Прижимная сила для машины будет равна \[F = \Delta P\,S = \frac{\rho v^2 S}{2}\left(\left(1-\frac{h}{a}\right)^{-2} - 1\right) = 7680~\text{Н}.\]

Мощность, выделяющаяся при сгорании бензина, связана с полезной мощностью через КПД цикла. КПД найдите через подводимую и отводимую теплоту изохорных процессов, а отношения температур выразите через степень сжатия с помощью уравнения адиабаты.

\(Q \approx 27{,}2\) л/ч.

Полезная мощность двигателя связана с мощностью, выделяющейся при сгорании бензина: \(\lambda Q = W/\eta\), где \(Q\) — расход бензина в единицу времени. Остаётся выразить КПД цикла Отто.

Подводимая теплота при изохорном нагреве \(Q_{2\to3} = \dfrac{i}{2}R(T_3 - T_2)\), отводимая теплота при изохорном охлаждении \(|Q_{4\to1}| = \dfrac{i}{2}R(T_4 - T_1)\). Тогда КПД равен \[\eta = 1 - \frac{|Q_{4\to1}|}{Q_{2\to3}} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} = 1 - \frac{T_4/T_1 - 1}{T_3/T_2 - 1}\cdot\frac{T_1}{T_2}.\] Для адиабаты \(PV^\gamma = \text{const}\), т.е. \(TV^{\gamma-1} = \text{const}\), поэтому \(T_4/T_1 = T_3/T_2\). Отношение \(T_1/T_2 = (V_2/V_1)^{\gamma-1} = \alpha^{1-\gamma}\). Получаем \[\eta = 1 - \frac{1}{\alpha^{\gamma-1}}.\] Итоговый расход \[Q = \frac{W}{\lambda\,\eta} = \frac{W}{\lambda}\left(1 - \frac{1}{\alpha^{\gamma-1}}\right)^{-1}.\]

Разрешающая способность глаза определяется размером пятна на сетчатке от точечного источника. Выразите оптическую силу хрусталика близорукого глаза через его фокусное расстояние и дефект зрения, а размер пятна найдите из подобия крайних лучей пучка.

\(\alpha_{\min} = -\Delta\, d \approx 0{,}008\) рад \(\approx 0{,}46^\circ\).

Разрешающая способность глаза — минимальный угол \(\alpha_{\min}\) между направлениями на два точечных источника, при котором человек ещё различает их как две точки. Пусть \(x\) — расстояние от хрусталика до сетчатки. Ввиду малости углов двум источникам на угловом расстоянии \(\alpha\) соответствует пара изображений на сетчатке на линейном расстоянии \(\alpha x\) друг от друга.

При неточной фокусировке точечные источники дают на сетчатке светлые пятна размером \(H\). Источники сливаются, если \(\alpha x < H\), поэтому \(\alpha_{\min} = H/x\).

Для фокусировки параллельного пучка от далёких объектов нужна оптическая сила \(D_0 = 1/x\). Близорукому глазу для этого нужна линза с силой \(\Delta\), поэтому реальная оптическая сила хрусталика \(D = D_0 - \Delta = \dfrac{1}{x} - \Delta\), и его фокусное расстояние \[F = \frac{1}{1/x - \Delta} = \frac{x}{1 - x\Delta}.\] Крайние лучи пучка, входящие в зрачок диаметром \(d\), сходятся в точке на расстоянии \(F\) от хрусталика и на сетчатке дают пятно размером \(H\). По подобию \[\frac{H}{d} = \frac{x - F}{F} = \frac{x}{F} - 1 = -x\Delta, \qquad H = -x\Delta\, d.\] Итоговая разрешающая способность \[\alpha_{\min} = \frac{H}{x} = -\Delta\, d = 0{,}008~\text{рад} \approx 0{,}46^\circ.\]

Разложите скорость частицы на сумму скорости дрейфа и круговой скорости. Найдите скорость дрейфа, при которой сила Лоренца уравновешивает силу тяжести на данной высоте.

\(u_1 \approx 3{,}3\) мм/с на восток.

Индекс \(i\): \(i = 1\) — внутренний пояс (протоны), \(i = 2\) — внешний пояс (электроны). Радиус пояса \(r_i = r_0 + h_i\). Ускорение свободного падения и индукция магнитного поля на высоте \(h_i\): \[g_i = \left(\frac{r_0}{r_i}\right)^2 g_0, \qquad B_i = \left(\frac{r_0}{r_i}\right)^3 B_0,\] где \(g_0\) — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Скорость частицы представим как \(\vec v_i = \vec u_i + \Delta\vec v_i\), где \(\vec u_i\) — скорость, при которой сила Лоренца уравновешивает силу тяжести: \(e\,\vec u_i\times\vec B_i = -m_i\vec g_i\). Тогда суммарная сила на частицу равна \[m_i\vec g_i + e(\vec u_i + \Delta\vec v_i)\times\vec B_i = e\,\Delta\vec v_i\times\vec B_i.\] Эта сила лежит в плоскости экватора и перпендикулярна \(\Delta\vec v_i\), поэтому движение частицы — вращение со скоростью \(|\Delta\vec v_i|\) по окружности вокруг центра, который дрейфует со скоростью \(\vec u_i\). На достаточно длинных интервалах средняя скорость кругового движения стремится к нулю, поэтому задача сводится к поиску \(u_i\): \[u_i = \frac{m_i g_i}{e B_i} = \frac{m_i g_0}{e B_0}\cdot\frac{r_i}{r_0} = \frac{m_i g_0}{e B_0}\left(1 + \frac{h_i}{r_0}\right).\] Подставляя численные значения, получим для протонов \(u_1 \approx 3{,}3\) мм/с, для электронов \(u_2 \approx 4{,}1\) мкм/с.

Линии индукции магнитного поля Земли направлены с юга на север. Чтобы сила Лоренца была направлена против силы тяжести, положительные заряды (протоны) должны дрейфовать на восток, а отрицательные (электроны) — на запад. Скорости на порядки меньше круговых скоростей на околоземных орбитах (единицы км/с), поэтому кривизной траектории и связанными с ней ускорениями можно пренебречь.