зад 1 Полёт планера с горы
Аэродинамическое качество крыла \(k\) определяется как отношение \(Y/X\), где \(X\) — сила сопротивления воздуха (компонента полной аэродинамической силы \(R\), направленная против скорости \(u\) крыла), а \(Y\) — подъёмная сила (компонента силы \(R\), направленная перпендикулярно скорости \(u\) крыла). Аэродинамическое качество крыла не зависит от скорости движения и свойств воздуха. Планер с аэродинамическим качеством \(k = 15\) столкнули с горы высотой \(H = 1\) км. Считая, что движение планера быстро стабилизировалось, найдите, на каком расстоянии \(L\) от точки старта (вдоль поверхности земли) он приземлился?
▶ПодсказкаСкрыть
Установившийся полёт означает нулевую равнодействующую сил. Каково тогда направление аэродинамической силы \(R\)? Сравните углы наклона траектории и сторон треугольника сил.
▶ОтветСкрыть
\(L = 15\) км.
▶РешениеСкрыть
При установившемся полёте аэродинамическая сила \(\vec R\) компенсирует силу тяжести, а значит, направлена строго вертикально. Угол \(\varphi\) между вектором скорости \(\vec u\) и горизонтом задаётся равенством \(\operatorname{tg}\varphi = H/L\) и равен углу между силой \(\vec X\) и горизонтом, так как \(\vec u\) и \(\vec X\) коллинеарны. По той же причине угол \(\varphi\) образуют векторы \(\vec R\) и \(\vec Y\), откуда \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{X}{Y} = \frac{1}{k}.\] Отсюда \(H/L = 1/k\), и \[L = kH = 15~\text{км}.\]
зад 2 Охлаждение процессора криптофермы
На криптофермах для охлаждения используют поток холодной воды, прокачиваемый через теплоотвод процессора. Оцените температуру воды, которая должна подаваться в систему охлаждения криптофермы, чтобы температура процессора не превышала \(60\) °C при вычислениях с тактовой частотой \(3\) ГГц, если при прохождении через теплоотвод процессора вода практически не нагревается. Считайте, что при одном такте работы процессора выделяется теплота \(q = 1{,}2\cdot 10^{-12}\) Дж, а коэффициент теплоотдачи равен \(\kappa = 30\) мкВт/(см\(^2\cdot\)°C). Площадь процессора равна \(S = 4\) см\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Вся теплота, выделяемая процессором за секунду, уходит в воду. Сравните поток тепла по закону теплоотдачи с мощностью, которую выделяют вычисления.
▶ОтветСкрыть
\(T_\text{в} = 30\) °C.
▶РешениеСкрыть
В стационарном случае весь тепловой поток от процессора уносит вода. За короткое время \(\Delta t\) процессор передаёт системе охлаждения теплоту \(Q = \kappa S (T_\text{п} - T_\text{в})\,\Delta t\). За то же время \(\Delta t\) происходит \(N = \nu\,\Delta t\) вычислительных операций, и выделившаяся теплота составляет \(Q = \nu q\,\Delta t\), где \(\nu = 3\cdot 10^{9}\) с\(^{-1}\) — число тактов в секунду. Приравняв оба выражения, получим температуру воды: \[T_\text{в} = T_\text{п} - \frac{\nu q}{\kappa S} = 60 - 30 = 30~^\circ\text{C}.\]
зад 3 Измерение малого сопротивления проволоки
При измерении малых сопротивлений оказывается важным учёт сопротивления измерительных приборов. Для измерения сопротивления нихромовой проволоки \(R\) используется схема, представленная на рисунке, где \(R_A = 5\) Ом и \(R_V = 1\) кОм — эквивалентные сопротивления амперметра и вольтметра соответственно. Показания амперметра равны \(I_A = 2{,}5\) мА, а вольтметра \(U_V = 100\) мВ. Чему равно сопротивление нихромовой проволоки?
▶ПодсказкаСкрыть
Ток через амперметр делится между проволокой и вольтметром. Ток через вольтметр найдите по его сопротивлению и показанию.
▶ОтветСкрыть
\(R \approx 41{,}7\) Ом.
▶РешениеСкрыть
Сумма токов через проволоку и вольтметр равна току через амперметр. Напряжение на проволоке равно напряжению на вольтметре. Ток через вольтметр \(I_V = U_V/R_V\), поэтому ток через проволоку \(I = I_A - I_V = I_A - U_V/R_V\). Отсюда \[R = \frac{U_V}{I} = \frac{U_V}{I_A - U_V/R_V} = 41{,}7~\text{Ом}.\]
зад 4 Положение объекта по двум камерам
В компьютерном зрении для определения положения объекта он снимается двумя одинаковыми камерами, объективы которых настроены на фокусные расстояния \(F_1 = 72\) мм и \(F_2 = 74\) мм. Угол между главными оптическими осями камер равен \(90^\circ\). Считайте, что камеры расположены на одинаковой высоте \(H = 1{,}5\) м. Найдите высоту, на которой расположен объект, и расстояние до камер, если расстояние по вертикали от центра матрицы до изображения объекта \(y_1 = 250\) пикселей на первой камере и \(y_2 = 81\) пиксель на второй камере. Считайте, что матрица квадратная, со стороной квадрата \(a = 2\) см и содержит \(10^6\) квадратных пикселей, а расстояние от объектива до матрицы равно \(d = 7{,}5\) см.
▶ПодсказкаСкрыть
Формула тонкой линзы даёт расстояние от объектива до объекта, если известно, что изображение сфокусировано на матрице. Подобие треугольников на матрице и в ходе лучей даёт высоту объекта над уровнем камер.
▶ОтветСкрыть
\(f_1 = 1{,}8\) м, \(f_2 = 5{,}55\) м, \(h = 1{,}62\) м.
▶РешениеСкрыть
Объективы настраиваются так, чтобы изображение объекта было сфокусировано на матрице. По формуле тонкой линзы расстояния от объективов до объекта равны \[f_1 = \frac{F_1 d}{d - F_1} = 1{,}8~\text{м}, \qquad f_2 = \frac{F_2 d}{d - F_2} = 5{,}55~\text{м}.\] Изображение объекта действительное и перевёрнутое. Из подобия треугольников, получаемых при построении хода лучей, \[h = H + \frac{f_1 l_1}{d} = 1{,}62~\text{м},\] где \(l_1 = \dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{y_1}{500}\) — координата изображения на матрице в абсолютных единицах длины.
Источник: Научно-техническая олимпиада «Старт в науку», 2023/24, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.