«Туймаада» 2000, теоретический тур

Ответ

\(v_{\max} = \mu\sqrt{gR}\) (обруч начинает проскальзывать при \(\operatorname{tg}(\alpha/2) = \mu\)); если бы раньше обруч оторвался от стола (\(\alpha = \pi/2\)), было бы \(v_{\max} = \sqrt{gR}\), но поскольку \(\mu\) обычно меньше \(1\), реализуется первый случай.

Решение

Двигаясь из состояния покоя, центр обруча начинает набирать скорость. Пусть в некоторый момент времени она равна \(v\). Для нахождения \(v\) применим закон изменения энергии: \[mgR(1 - \cos\alpha) = \frac{mv_m^2}{2}, \tag{35}\] где \(\alpha\) — угол, на который к рассматриваемому моменту повернётся обруч, а \(v_m\) — скорость, которую приобретёт груз. По закону сложения скоростей \[\vec v_m = \vec v_{mo} + \vec v,\] где \(\vec v\) — скорость центра обруча \(O\), а \(\vec v_{mo}\) — скорость груза относительно \(O\) (см. рисунок).

В отсутствие проскальзывания модуль скорости \(v_{mo}\) равен модулю скорости \(v\) и равен произведению угловой скорости \(\omega\) на радиус обруча: \[v_{mo} = v = \omega R. \tag{36}\] Поэтому из векторного треугольника скоростей (см. рисунок) следует, что \[v_m^2 = 2v^2(1 + \cos\alpha).\] Подставляем соотношение (36) и это выражение в формулу (35): \[v = \sqrt{gR}\operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right) \qquad\text{и}\qquad \omega = \sqrt{\frac gR}\operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right). \tag{37}\]

При каком же угле \(\alpha\) возможно проскальзывание? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить силу трения \(\vec F\) с максимальной силой трения покоя, равной \(\mu N\), где \(\vec N\) — сила реакции (см. рисунок). Обруч катится без проскальзывания, пока \(F \leqslant \mu N\). Применим к обручу с грузом закон изменения импульса в проекциях на оси \(x\) и \(y\) (см. рисунок): \[\frac{d\bigl(mv(1 + \cos\alpha)\bigr)}{dt} = F \leqslant \mu N, \tag{38}\] \[\frac{d(-mv\sin\alpha)}{dt} = -mg + N. \tag{39}\] Выполним дифференцирование в левой части уравнений (38) и (39), используя полученные ранее выражения (36) и (37), а также не забывая, что \(\omega = d\alpha/dt\). Получаются простые соотношения: \[mg\cos\alpha\operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right) \leqslant \mu N, \tag{40}\] \[N = mg\cos\alpha. \tag{41}\] Проанализируем их. Возможны две ситуации, при которых обруч перестанет катиться без проскальзывания. Во-первых, может обратиться в нуль сила реакции \(N\), то есть обруч оторвётся от поверхности. Это случится, как видно из равенства (41), при \(\alpha = \pi/2\). Тогда из соотношений (37) получим \(v = v_{\max} = \sqrt{gR}\).

Во-вторых, обруч может начать скользить по поверхности. Тогда \(N \neq 0\) и (40) становится равенством \[\mu = \operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right),\] а из соотношений (37) получаем \(v = v_{\max} = \mu\sqrt{gR}\). Коэффициент трения \(\mu\) обычно меньше \(1\). Поэтому реализуется обычно вторая ситуация.

Ответ

\(F = mg\left(1 + \dfrac{2rH}{R^2}\right)\).

Решение

На рисунках изображён маятник Максвелла перед и при прохождении нижней точки своей траектории. В силу условия \(r \ll H\) можно пренебречь отклонением нити от вертикали и изменением потенциальной энергии маятника между указанными состояниями, то есть далее будем считать, что ось \(O\) маятника движется с некоторой постоянной по модулю скоростью \(v\) по окружности радиусом \(r\) с центром в точке \(B\).

Пусть \(\omega\) — угловая скорость вращения маятника, \(u\) — скорость точек обода маховика относительно его оси, тогда из уравнения кинематической связи \[\frac vr = \omega = \frac uR\] находим \[v = u\cdot\frac rR. \tag{42}\] Из условия \(r \ll R\) следует, что \(v \ll u\), поэтому можно пренебречь кинетической энергией поступательного движения центра масс маятника по сравнению с кинетической энергией вращательного движения маховика относительно центра масс и записать закон сохранения энергии в виде \[mgH = \frac{mu^2}{2},\] откуда \[u^2 = 2gH. \tag{43}\] Используя уравнения (42) и (43) совместно, выражаем \[v^2 = 2gH\cdot\frac{r^2}{R^2}. \tag{44}\] Согласно второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось при прохождении маятником нижней точки окружности имеем \[m\cdot\frac{v^2}{r} = F - mg,\] откуда с учётом уравнения (44) находим искомую силу: \[F = mg\left(1 + \frac{2rH}{R^2}\right).\]

Примечание. Раскрутившись при опускании, маховик продолжает вращение по инерции, наматывая нить на стержень и поднимаясь за счёт этого. Такие периодические перемещения вниз и вверх могут продолжаться достаточно долго, оправдывая название устройства — маятник Максвелла.

Ответ

Положение зайчика на стене: \(x = h\operatorname{tg}\omega t\) (луч направлен в эту точку в момент \(t\)); человек видит его в момент \(t_1 = t + \dfrac{2h}{c\cos\omega t}\); скорость: \(v = \dfrac{c\omega h}{c\cos^2\omega t + 2\omega h\sin\omega t}\). Раньше всего зайчик виден в точке \(x_m = -\dfrac{h}{\sqrt2}\sqrt{\sqrt{\left(\dfrac{c}{\omega h}\right)^2 + 1} - 1}\), далее появляются пары разбегающихся зайчиков со скоростями, стремящимися к \(\pm c/2\).

Решение

Если бы скорость света была бесконечно большой, то человек видел бы световое пятно в том месте, где луч фонарика пересекает стену. Из-за конечности скорости распространения света человек увидит в этом месте зайчик спустя некоторое время. В этот момент луч фонарика будет уже направлен в иную точку.

Найдём скорость зайчика с точки зрения наблюдателя: \[v = \frac{dx}{dt_1}, \tag{242}\] где \(v\) — проекция на ось \(x\) скорости зайчика (см. левый рисунок), который наблюдатель видит в момент времени \(t_1\). Луч фонарика был направлен в эту точку в момент времени \(t\). Время \(t_1\) больше \(t\) на величину, необходимую свету для прохождения от \(A\) к \(B\) и обратно (см. левый рисунок): \[t_1 = t + \frac{2h}{c\cdot\cos\omega t}. \tag{243}\] Поскольку переменные \(t_1\) и \(t\) связаны соотношением (243), целесообразно представить уравнение (242) в виде \[v = \frac{dx}{dt}\frac{dt}{dt_1} = \frac{dx}{dt}\left(\frac{dt_1}{dt}\right)^{-1}. \tag{244}\] Из левого рисунка видно, что \[x = h\operatorname{tg}\omega t. \tag{245}\] Продифференцировав функции (243) и (245), найдём производные, входящие в уравнение (244), и после их подстановки получим \[v = \frac{c\omega h}{c\cdot\cos^2\omega t + 2\omega h\sin\omega t}. \tag{246}\] Формулы (245), (246) и (243) содержат ответы на поставленные в задаче вопросы. Проанализируем полученные соотношения.

Изобразим приблизительный график зависимости (243) (см. правый рисунок выше). Величина \(t_1\) имеет минимальное значение \(t_2\) в точке \(t_m\), для нахождения которой следует приравнять к нулю производную функции \(t_1(t)\): \[\sin\omega t_m = \frac{\omega h}{c} - \sqrt{1 + \left(\frac{\omega h}{c}\right)^2}. \tag{247}\] По формуле (245) можно найти координату зайчика \(x_m\) в момент времени \(t_2\): \[x_m = -\frac{h}{\sqrt2}\sqrt{\sqrt{\left(\frac{c}{\omega h}\right)^2 + 1} - 1}. \tag{248}\] При подстановке выражения (247) в формулу (246) обнаруживаем, что функция \(v(t)\) испытывает разрыв в точке \(t_m\), меняя знак. Поведение функции \(v(t)\) качественно представлено графиком, изображённым на левом из следующих двух рисунков. Сплошными линиями показан график при \(\omega h < c/2\), пунктирными — при \(\omega h > c/2\). Сопоставляя величины \(v\) и \(t_1\) при одинаковых значениях параметра \(t\), можно нарисовать и приближённый график зависимости наблюдаемой скорости зайчика \(v(t_1)\) (правый из следующих двух рисунков).

О каком движении светового зайчика говорят эти графики? Раньше всего наблюдатель увидит зайчик, находящийся в точке \(x_m\) в момент времени \(t_2\). В последующие моменты времени \(t_1 = t_3 > t_2\) наблюдатель увидит два зайчика, координаты которых соответствуют точкам \(a\) и \(b\) на графике \(t_1(t)\). Скорости этих зайчиков направлены в противоположные стороны. При \(t_1 \to \infty\) проекция скорости одного стремится к \(c/2\), а другого — к \(-c/2\). После следующего прохождения вращающегося луча фонарика через точку \(x_m\) появится ещё одна пара разбегающихся зайчиков и так далее.

Не является ли обнаруженное здесь парадоксальное свойство световых зайчиков результатом ошибки данной теоретической модели? Одним из тестов на ошибочность новых физических теорий служит принцип соответствия. Согласно этому принципу новая теория в предельных частных случаях даёт те же результаты, что и верная старая теория. Релятивистская физика даёт немало парадоксальных результатов, противоречащих «здравому смыслу». Однако она успешно выдерживает испытание принципом соответствия. Испытаем этим принципом результаты данной задачи. Посмотрим, что дают полученные формулы при \(c \to \infty\). Из уравнения (242) следует, что \(t_1 = t\), то есть наблюдатель видит зайчик в точке \(x\) в тот же момент времени, в который через эту точку проходит луч фонарика. Из формулы (246) следует, что \(v = \omega h/\cos^2\omega t\). Это естественно согласуется с формулой (245), и в этом случае не возникает никаких пар зайчиков. Таким образом, полученные в задаче результаты согласуются с принципом соответствия.