«Туймаада» 2003, теоретический тур

Ответ

\(l = \dfrac{v_0}{v}\sqrt{L^2 + H^2}\) при \(v > v_0\); язык выбрасывают под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{H}{L}\) к горизонту, щупальца распускают в момент \(t = \dfrac{\sqrt{L^2 + H^2}}{v}\) (в момент достижения шариком точки разрыва плода). Если \(v < v_0\), то щупальца нужно выпускать сразу, и \(l = \sqrt{H^2 + L^2}\).

Решение

Поскольку и семена, и шарик языка движутся относительно планеты Туй с постоянным ускорением \(\vec g\), целесообразно перейти в систему отсчёта, которая тоже движется с тем же ускорением относительно планеты. В этой системе отсчёта и семена, и шарик языка движутся равномерно и прямолинейно (рис. 96).

Спустя время \(t\) от начала движения семена окажутся в точках, удалённых от места разрыва плода Маа на расстояние \(v_0t\). За это же время шарик языка животного Да должен оказаться в центре изображённой на рис. 96 сферы радиуса \(l = v_0t\), а мгновенно выпущенные щупальца минимальной длины \(l\) «слижут» все семена на поверхности этой сферы. Цель будет достигнута, если путь, пройденный шариком языка за это время \(t\), окажется равным гипотенузе изображённого на рис. 96 треугольника. Отсюда находим \[t = \dfrac{\sqrt{L^2 + H^2}}{v}.\] Минимальная длина щупалец должна быть равна \[l = v_0t = \dfrac{v_0}{v}\sqrt{L^2 + H^2},\] а угол, который составляет скорость шарика языка \(\vec v\) с горизонтом в момент выбрасывания, \[\alpha = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{H}{L}\right).\]

Нельзя ли животному Да обойтись более короткими щупальцами, если выпускать их раньше, чем шарик языка достигнет точки разрыва плода Маа? Пусть шарик раскрывается в момент времени \(t - \Delta t\), где \(\Delta t\) — время упреждения. Тогда, чтобы достать в этот момент самые далёкие семена, нужны щупальца длиной \[l_1 = v\Delta t + v_0(t - \Delta t) = v_0t + (v - v_0)\Delta t. \qquad (90)\] Если \(v > v_0\), то минимальное значение \(l_1 = l\). Именно этот случай и рассмотрен выше. Если же семена разлетаются быстрее, чем выбрасывается язык (\(v < v_0\)), то минимальная величина \(l_1\) достигается, как видно из формулы (90), при \(t = \Delta t\). Тогда \[l_1 = vt = \sqrt{H^2 + L^2}.\] Таким образом, Да должен по внешнему виду плода определить, быстро или медленно будут разлетаться семена, и решить, выпускать ли щупальца сразу в момент разрыва или же вначале выстрелить шарик языка в разрывающийся плод. А читатель должен обратить внимание на то, что при решении задач с абстрактным содержанием (в которых не заданы численные значения) следует анализировать все возможные варианты.

Ответ

\(F = \pi R^2\sqrt{\dfrac{1}{9}\rho^2g^2H^2 + (P_0 + \rho gL)^2 + \dfrac{2}{3}\rho gH(P_0 + \rho gL)\sin\alpha}\).

Решение

Площадь основания конуса \(S = \pi R^2\), его объём \(V = SH/3 = \pi R^2H/3\), сила Архимеда, действующая на конус, \(F_A = \rho gV = \rho g\pi R^2H/3\).

По своей природе сила Архимеда равна векторной сумме сил давления жидкости на поверхность помещённого в неё тела, то есть в нашем случае \[\vec F_A = \vec F + \vec F_0, \qquad (91)\] где \(F\) — искомая сила, а \(F_0\) — сила давления жидкости на основание конуса.

В силу симметрии основания и однородности поля тяжести среднее давление \(P_{\text{ср}}\) на основание равно давлению на уровне центра основания, то есть \(P_{\text{ср}} = P_0 + \rho gL\), поэтому \(F_0 = P_{\text{ср}}S = (P_0 + \rho gL)\pi R^2\).

Сила \(F_A\) направлена вертикально вверх, а \(F_0\) — перпендикулярно основанию конуса, то есть вдоль его оси, под углом \(\alpha\) к горизонту. Применив теорему косинусов к треугольнику (рис. 97), составленному из векторов сил согласно уравнению (91), получим \[F^2 = F_A^2 + F_0^2 - 2F_AF_0\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right),\] откуда \[F = \sqrt{F_A^2 + F_0^2 + 2F_AF_0\sin\alpha} =\] \[= \pi R^2\sqrt{\dfrac{1}{9}\rho^2g^2H^2 + (P_0 + \rho gL)^2 + \dfrac{2}{3}\rho gH(P_0 + \rho gL)\sin\alpha}.\]

Примечание. Обратите внимание на то, что сила давления жидкости на часть поверхности погружённого в неё тела зависит от внешнего давления \(P_0\) и глубины погружения \(L\), а при суммировании векторов сил давления по всей поверхности получается сила Архимеда, которая уже не зависит от \(P_0\) и \(L\).

Ответ

\(H = \dfrac{u^2}{2g} = \dfrac{v}{2g}\sqrt{\dfrac{2FL}{m}} \approx 5\) м.

Решение

На рис. 98 показан момент времени, когда нить ещё не порвалась, но вот-вот порвётся.

В этот момент расстояние от груза до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно \(x\). Символом \(u\) обозначена скорость груза в этот момент времени. Проекции скорости груза и конца одного из отрезков (любого) нити на сам этот отрезок должны быть одинаковыми, так как нить нерастяжима. Таким образом, \[u = v\dfrac{\sqrt{L^2 - x^2}}{x} \approx v\dfrac{L}{x}. \qquad (92)\] Из заданного в условии соотношения \(F \gg mg\) можно предположить, что угол, который составляют нити в момент разрыва, будет близок к \(180^\circ\). Это означает, что скорость груза в этот момент будет примерно равна \(u = vL/x\).

Для нахождения \(x\) в момент разрыва нити запишем второй закон Ньютона: \[m\dfrac{du}{dt} = 2F\dfrac{x}{L} - mg. \qquad (93)\] Естественно предположить, что в момент разрыва первое слагаемое в правой части равенства (93) играет определяющую роль, то есть \[2F\dfrac{x}{L} \gg mg. \qquad (94)\] Будем решать задачу в этом приближении. Из формулы (92) найдём \[\dfrac{du}{dt} = v\dfrac{L}{x^2}u = \dfrac{v^2L^2}{x^3}. \qquad (95)\] Подставляя выражения (95) и (94) в формулу (93), получим \[x = \left(\dfrac{v^2L^3m}{2F}\right)^{1/4}. \qquad (96)\] Подсчитав численное значение \(x\) по формуле (96), убеждаемся в справедливости сделанного предположения (94): \[2F\dfrac{x}{L} = 1\text{ Н} \gg 0{,}01\text{ Н} = mg.\] Максимальную высоту подъёма скобки теперь нетрудно определить из закона сохранения энергии, используя формулы (92) и (96): \[H = \dfrac{u^2}{2g} = \dfrac{v}{2g}\sqrt{\dfrac{2FL}{m}} \approx 5\text{ м}.\]

Ответ

1) \(v \approx \sqrt{gh}\) (при длине волны \(\lambda \gg h\); в противном случае \(v = \sqrt{g\lambda/2\pi}\));  2) длина участка берега \(2y_m = \pi L\).

Решение

Пусть цунами перемещается вдоль оси \(x\) со скоростью \(v\). Рассмотрим движение частиц воды в системе отсчёта, связанной с горбом волны (рис. 99).

Вдали от горба в сечении 1 вода относительно этой системы отсчёта движется со скоростью \(v\) в направлении, противоположном оси \(x\). В области горба горизонтальная составляющая скорости частиц воды равна \(u\). Вследствие несжимаемости жидкости массы воды, проходящей за время \(\Delta t\) через сечения 1 и 2, равны: \[\rho hbv\Delta t = \rho h_1bu\Delta t,\] где \(\rho\) — плотность воды, \(b\) — толщина рассматриваемого слоя воды в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Из полученного соотношения следует, что \[u = v\dfrac{h}{h_1}. \qquad (97)\] Применим к воде рассматриваемого слоя, которая заключена в объёме между сечениями 1 и 2, закон изменения импульса за время \(\Delta t\): \[\rho vbhv\Delta t - \rho ubhv\Delta t = \dfrac{1}{2}(-\rho gh^2b + \rho gh_1^2b)\Delta t,\quad\text{или}\quad hv(v - u) = \dfrac{g}{2}(h_1 - h)(h + h_1),\] где \(g\) — ускорение свободного падения, а множитель \(1/2\) учитывает линейное уменьшение давления с высотой.

Подставляя в последнее выражение соотношение (97) и учитывая, что высота волны существенно меньше глубины водоёма, то есть \(h + h_1 \approx 2h\), получим \[v \approx \sqrt{gh}.\] Этот результат ограничен требованием малости глубины \(h\) по сравнению с длиной волны \(\lambda\). В противном случае в волновое движение вовлекается только слой воды глубиной порядка \(\lambda\). Тогда скорость волны выражается приближённой формулой \[v \sim \sqrt{g\lambda},\qquad\text{или, точнее,}\qquad v = \sqrt{g\dfrac{\lambda}{2\pi}}.\] Скорость волн, о которых идёт речь во втором пункте, уменьшается при приближении к берегу в соответствии с полученным выше результатом: \[v(x) = \sqrt{gx\operatorname{tg}\alpha}, \qquad (98)\] где \(\alpha\) — угол наклона к горизонту морского дна. Эта зависимость приводит к искривлению линии (волнового луча), вдоль которой распространяется волна. Изменение направления волнового луча определяется соотношением, которое чаще всего используется для оптических волн: \[\dfrac{\sin\varphi_1}{\sin\varphi_2} = \dfrac{v_1}{v_2}, \qquad (99)\] где \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — углы падения и преломления луча на границе сред, скорости распространения волн в которых равны соответственно \(v_1\) и \(v_2\). Соотношение (99) можно переписать следующим образом: \[\dfrac{\sin\varphi_1}{v_1} = \dfrac{\sin\varphi_2}{v_2} = \dfrac{\sin\varphi}{v} = \text{const}. \qquad (100)\] В таком виде формула (100) применима и к непрерывному изменению угла \(\varphi\) (искривлению луча), если скорость волны плавно изменяется от точки к точке.

Для определения положения точки на поверхности моря введём декартову систему координат так, чтобы ось \(y\) была направлена вдоль берега, а ось \(x\) проходила через точку с координатой \(x = L\), в которой произошёл взрыв, вызвавший волны. Рассмотрим искривление луча, попадающего в точку берега с координатой \(y_m\), наиболее удалённую от места взрыва (рис. 100). Из этого рисунка видно, что

\[\operatorname{tg}\varphi = -\dfrac{dy}{dx}. \qquad (101)\] В соотношение (99) подставим выражение (98) и учтём, что при \(x \to L\) угол падения \(\varphi\) стремится к \(\pi/2\): \[\dfrac{\sin\varphi}{\sqrt{gx\operatorname{tg}\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{gL\operatorname{tg}\alpha}},\] откуда \[\sin\varphi = \sqrt{\dfrac{x}{L}}.\] Последнее выражение позволяет переписать уравнение (101) в виде \[-\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin\varphi}{\sqrt{1 - \sin^2\varphi}} = \sqrt{\dfrac{x}{L - x}}.\] Остаётся проинтегрировать это уравнение: \[y_m = -\int\limits_L^0\sqrt{\dfrac{x}{L - x}}\,dx.\] Используя подстановку \(x = L\sin^2\beta\), получим \[y_m = L\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}\,2\cos\beta\sin\beta\,d\beta = L\int\limits_0^{\pi/2}2\sin^2\beta\,d\beta = L\dfrac{\pi}{2}.\] Таким образом, длина участка берега, до которого дойдут волны, порождённые взрывом, равна \(2y_m = \pi L\).

Ответ

1) \(P = \dfrac{1}{3}n\langle\vec v\cdot\vec p\rangle\);  2) \(P = \dfrac{1}{3}u\);  3) \(P = aT^4\);  4) \(W = \sigma T^4\), где \(\sigma = \dfrac{3}{4}ca\);  5) \(\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1}\).

Решение

Давление газа обусловлено ударами его частиц о стенки сосуда. Величина давления равна средней силе, действующей на единицу площади стенки. Найдём среднюю силу \(F_i\), с которой действуют на стенку частицы, имеющие скорость \(\vec v_i\) и импульс \(\vec p_i\), направленные под углом \(\alpha_i\) к нормали стенки. Для этого применим закон изменения импульса, считая удар частиц упругим. За время \(\Delta t\) о единичную площадку стенки ударятся \(N_i = n_iv_i\cos\alpha_i\Delta t\) таких частиц, где \(n_i\) — их число в единице объёма: \[2N_ip_i\cos\alpha_i = 2n_iv_i\cos\alpha_ip_i\cos\alpha_i = F_i\Delta t.\] Давление газа \(P\) составляет \[P = \langle F_i\rangle = 2\langle n_iv_{ix}p_{ix}\rangle = 2\langle v_{ix}p_{ix}\rangle\dfrac{1}{2}n, \qquad (171)\] где ось \(x\) перпендикулярна к стенке. Множитель \(1/2\) поставлен потому, что лишь половина частиц, имеющих одно и то же значение \(\vec v_i\vec p_i\), движется к стенке, а другая — в противоположном направлении. Из-за хаотичности движения частиц \[\langle p_i\cos\alpha_i\cdot v_i\cos\alpha_i\rangle = \langle v_{ix}p_{ix}\rangle = \dfrac{1}{3}\langle v_{ix}p_{ix} + v_{iy}p_{iy} + v_{iz}p_{iz}\rangle = \dfrac{1}{3}\langle\vec v\cdot\vec p\rangle.\] Подставляя это выражение в формулу (171), получим \[P = \dfrac{1}{3}n\,\langle\vec v\cdot\vec p\rangle.\] Ответ на второй пункт задачи просто следует из полученной формулы, если принять во внимание, что масса фотона равна нулю и поэтому его энергия \(E = pc\), где \(c\) — скорость света, то есть скорость фотонов \(v = c\): \[P = \dfrac{1}{3}nE = \dfrac{1}{3}u, \qquad (172)\] где \(u = nE\) — энергия единицы объёма фотонного газа.

Рассматриваемый в третьем пункте цикл Карно изображён на рис. 127.

Давление фотонного газа отличается от плотности энергии излучения только множителем \(1/3\) в формуле (172), а плотность энергии не зависит от объёма, подобно тому как масса единицы объёма не зависит от объёма всего тела. Поэтому давление газа фотонов не зависит от объёма, а определяется только температурой. Таким образом, изотермы 1–2 и 3–4 совпадают с изобарами, что отражено на рис. 127. Вследствие малости \(dT\) и \(dP\) график рассматриваемого цикла можно приближённо считать параллелограммом. Тогда его «площадь» равна \(dP\cdot dT\), и получаем следующую формулу для КПД цикла: \[\eta = \dfrac{dT}{T} = \dfrac{\delta A}{\delta Q} = \dfrac{dP\cdot dV}{\delta Q}. \qquad (173)\] Количество теплоты \(\delta Q\), сообщаемое фотонному газу при изотермическом расширении, выразим из первого начала термодинамики: \[\delta Q = dU + P\,dV = u\,dV + P\,dV = 4P\,dV.\] Подставим последнее выражение в формулу (173): \[\dfrac{dT}{T} = \dfrac{dP\cdot dV}{4P\,dV}.\] Путём интегрирования находим \[P = aT^4, \qquad (174)\] где \(a\) — некоторая постоянная величина.

В четвёртом пункте требуется, используя формулу (174), получить выражение для мощности \(W\) излучения единицы поверхности абсолютно чёрного тела. Для этого нужно сложить энергии всех фотонов, излучаемых в единицу времени единицей площади поверхности: \[W = \sum\nu_iE_i,\] где \(E_i\) — энергия фотонов \(i\)-го сорта, а \(\nu_i\) — их число, излучаемое в единицу времени единичной площадкой. Из условия известно, что \[\nu_i = \dfrac{1}{4}n_i\,\langle v_i\rangle,\] где \(n_i\) — число фотонов \(i\)-го сорта в единице объёма, а \(\langle v_i\rangle = c\) — скорость движения фотонов. Используя выражение для \(\nu_i\), а также формулу (174), получим закон Стефана–Больцмана: \[W = \dfrac{1}{4}\sum n_icE_i = \dfrac{c}{4}u = \dfrac{c}{4}3P = \dfrac{3}{4}caT^4 = \sigma T^4,\] где \(\sigma = 3ca/4\). Таким образом, постоянная Стефана–Больцмана отличается от коэффициента пропорциональности \(a\), входящего в формулу (174), лишь множителем \(3c/4\).

Часто в литературе в формуле \[\nu = \dfrac{1}{4}n\,\langle v\rangle\] вместо \(1/4\) пишут множитель \(1/6\). Такой результат получается в более грубой модели, в которой рассматривается движение частиц только в трёх взаимно перпендикулярных направлениях.

В последнем пункте требуется найти КПД цикла, изображённого на рис. 128.

Как было выяснено ранее, изобары 1–2 и 3–4 для фотонного газа совпадают с изотермами, так что рассматриваемый цикл похож на цикл Карно. В цикле Карно процессы 2–3 и 4–1 должны быть адиабатическими. В данной задаче эти процессы описываются уравнением \(PV^{4/3} = \text{const}\). Чтобы сравнить процессы 2–3 и 4–1 с адиабатическими, нужно получить уравнение адиабаты фотонного газа. Для этого применим первое начало термодинамики и формулу (172): \[\delta Q = \delta A + dU = 4P\,dV + 3V\,dP = 0.\] Отсюда получим \[\dfrac{dP}{P} = -\dfrac{4}{3}\dfrac{dV}{V}.\] После интегрирования находим \[PV^{4/3} = \text{const}.\] Таким образом, в задаче речь идёт именно о цикле Карно, коэффициент полезного действия которого, как известно, не зависит от рода рабочего вещества и равен \[\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1},\] в том числе и для рассматриваемого в задаче цикла с фотонным газом.

Ответ

\(R_x = \dfrac{R}{3}\).

Решение

На рис. 154 представлена схема заданной в условии цепи. Сопротивление каждого из резисторов \(R\). Следует найти сопротивление между гвоздями \(A\) и \(B\), к которым подаётся некоторое напряжение. Отыскать участки, соединённые последовательно или параллельно, не удаётся. Попытаемся использовать симметрию схемы. Не позволит ли она упростить задачу?

Гвозди \(A\) и \(B\) непосредственно подсоединяются к источнику напряжения. Остальные вершины шестиугольника 1, 2, 3, 4 находятся в иных, но в одинаковых для каждой из них условиях. Все они подсоединены через резистор \(R\) к точкам \(A\) и \(B\), а также к каждому из остальных гвоздей. Поэтому нет физической причины, вследствие которой потенциалы гвоздей 1, 2, 3, 4 были бы различны. Таким образом, из соображений физической симметрии приходим к заключению о равенстве потенциалов этих точек. Поэтому можно перейти к эквивалентной схеме, изображённой на рис. 155. На этой схеме легко выделить последовательные и параллельные участки и найти искомое сопротивление \(R_x\): \[R_x = \dfrac{R}{3}.\]

Можно было и изолировать друг от друга точки 1, 2, 3, 4. Получилась бы схема, отличающаяся от той, что изображена на рис. 155, отсутствием соединений этих точек. Однако равенство потенциалов точек 1, 2, 3, 4 в новой схеме не будет нарушено. Поэтому и она эквивалентна исходной и приводит к прежнему ответу.

Ответ

1) \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{2^{17}\left(R_1 + \dfrac{R_2}{2}\right)} = 1{,}3\cdot10^{-5}\) А;  2) \(\mathcal{E}_e = \dfrac{\mathcal{E}R_2}{R_1 + R_2}\),  \(R_e = R_3 + \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}\);  3) \(I_4 = \dfrac{(2/3)^{17}\mathcal{E}}{R_1 + R_4} = 5{,}1\cdot10^{-4}\) А.

Решение

Пусть \(I\) — искомый ток через резистор \(R_4\), а \(I_0\) — ток, текущий через источник \(\mathcal{E}\) (рис. 156). Так как \(R_4 + R_3 = R_2\), токи на параллельно соединённых участках \(C\)–\(R_4\)–\(D\) и \(C\)–\(R_2\)–\(D\) одинаковы. Вследствие этого ток, покидающий узел \(D\), равен \(2I\).

Сопротивления участков \(E\)–\(R_2\)–\(F\) и \(E\)–\(C\)–\(D\)–\(F\) также одинаковы, поэтому ток, покидающий узел \(F\), вдвое больше тока \(2I\), текущего по участку \(D\)–\(F\). Аналогичная ситуация повторяется и далее: при приближении от \(R_4\) к источнику \(\mathcal{E}\) ток удваивается после каждого из 17 звеньев цепочки. Таким образом, \[I_0 = 2^{17}I. \qquad (206)\] Сопротивление всей цепи, подключённой последовательно к \(R_1\), равно \(R_2/2\). По закону Ома \[I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1 + \dfrac{R_2}{2}}. \qquad (207)\] Из формул (206) и (207) получаем \[I = \dfrac{I_0}{2^{17}} = \dfrac{\mathcal{E}}{2^{17}\left(R_1 + \dfrac{R_2}{2}\right)} = 1{,}3\cdot10^{-5}\text{ А}.\] Во втором пункте обозначим через \(R\) сопротивление всего правого участка цепи, подключённого к точкам \(A\) и \(B\) (рис. 156). Для эквивалентного источника это сопротивление нагрузки. По закону Ома ток \(I\) нагрузки вычисляется по формуле \[I = \dfrac{\mathcal{E}_e}{R + R_e}. \qquad (208)\] Получим формулу для тока нагрузки без модели эквивалентного источника. К реальному источнику \(\mathcal{E}\) последовательно подсоединены резистор \(R_1\) и параллельно соединённые участки, сопротивления которых равны \(R_2\) и \(R_3 + R\). По правилам Киргофа \[\mathcal{E} = I_0R_1 + I(R_3 + R),\] \[\mathcal{E} = I_0R_1 + (I_0 - I)R_2.\] Исключим из этой пары уравнений ток источника \(I_0\): \[I = \dfrac{\dfrac{\mathcal{E}R_2}{R_1 + R_2}}{R + R_3 + \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}}. \qquad (209)\] Сравнивая формулы (208) и (209), видим, что параметры эквивалентного источника таковы: \[\mathcal{E}_e = \dfrac{\mathcal{E}R_2}{R_1 + R_2},\qquad R_e = R_3 + \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}. \qquad (210)\] Решение третьей части задачи существенно упрощается использованием рассмотренной в предыдущем пункте модели эквивалентного источника. Участок цепи, включающий источник \(\mathcal{E}\), резистор \(R_1\) и первое из 17 звеньев \(R_2\)–\(R_3\), заменяем эквивалентным источником. Параметры его находим по формулам (210): \[\mathcal{E}_e = \dfrac{2}{3}\mathcal{E},\qquad R_e = R_1.\] Введение рассмотренного эквивалентного источника приводит к следующим изменениям анализируемой цепи: ЭДС источника умножается на 2/3, резистор \(R_1\) можно считать его внутренним сопротивлением. Зато подключённая к источнику цепочка резисторов уменьшается на одно звено. После 17 таких процедур получаем простую схему: источник, ЭДС которого \((2/3)^{17}\mathcal{E}\), последовательно соединён с резисторами \(R_1\) и \(R_4\). По закону Ома ток \(I_4\) через резистор \(R_4\) равен \[I_4 = \dfrac{(2/3)^{17}\mathcal{E}}{R_1 + R_4} = 5{,}1\cdot10^{-4}\text{ А}.\]

Ответ

1) \(U = \dfrac{eE}{CE_i}e^{-t/RC}\) (начальное значение \(U_0 = 5{,}4\cdot10^{-4}\) В);  2) \(E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\),  \(\varphi(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{R_c}{r}\),  пробой при \(\varphi_b = E_bR_a\ln\dfrac{R_c}{R_a} \approx 11\) кВ;  3) \(n(r) = \dfrac{\pi\varepsilon_0\Gamma}{\mu\lambda}(r^2 - R_a^2)\).

Решение

Попадающие в камеру \(\alpha\)-частицы ионизируют молекулы газа. Возникшие ионы оседают на электродах, меняя их первоначальный заряд. Затем заряд осевших ионов стекает через резистор \(R\), и снова устанавливается равновесие. Предположим, что время оседания зарядов на электродах много меньше времени, в течение которого избыточный заряд рассасывается. Тогда задача сводится, во-первых, к нахождению заряда \(Q\), обусловленного осевшими ионами, и, во-вторых, к определению напряжения на резисторе \(R\) как функции времени \(U = U(t)\).

Число пар ионов, генерированных попавшей в камеру частицей, равно \(N = E/E_i\). Тогда возникший на электродах вследствие ионизации избыточный заряд определяется формулой \[Q_0 = e\cdot N = e\dfrac{E}{E_i},\] где \(e\) — элементарный заряд. Восстановление равновесия при протекании через резистор \(R\) тока \(I\) описывается соотношениями \[I = -\dfrac{dQ}{dt},\quad V = -IR + \dfrac{Q_e + Q}{C},\quad U = IR.\] Здесь \(V\) — напряжение источника (рис. 157), \(Q_e = CV\) — равновесный заряд конденсатора, \(Q\) — избыточный заряд в момент времени \(t\), \(U\) — напряжение на резисторе. Из этих соотношений следует, что \[\dfrac{dU}{U} = -\dfrac{dt}{RC}.\] При интегрировании полученного уравнения нужно учесть, что в начальный момент времени \(Q = Q_0 = eE/E_i\). Поэтому в этот момент \[U = \dfrac{Q_0}{C} = \dfrac{eE}{CE_i} = 5{,}4\cdot10^{-4}\text{ В}.\] С учётом этого после интегрирования получаем \[U = \dfrac{eE}{CE_i}e^{-\frac{t}{RC}}. \qquad (211)\] Видно, что напряжение на конденсаторе существенно убывает в течение времени \(RC\). Поскольку в условии сказано, что \(RC\) много больше времени оседания ионов на электродах, сделанное в процессе решения предположение справедливо.

Счётчики Гейгера, в которых регистрируются импульсы, вызванные отдельными частицами, называют импульсными ионизационными камерами. Величина импульса, как видно из формулы (211), позволяет измерить энергию частицы \(E\). Параметр \(RC\) характеризует разрешающую способность метода, то есть возможность регистрировать каждую частицу в отдельности. Как следует из решения, \(RC\) должно быть много больше времени, в течение которого ионы достигают электродов. Это и ограничивает разрешающую способность импульсной ионизационной камеры. Недостатком метода является его малая чувствительность, обусловленная малостью величины \(U\). В данной задаче оказалось, что \(U \lesssim 10^{-4}\) В. Можно существенно увеличить чувствительность метода, если повысить напряжение источника \(V\) до такой величины, при которой возникает вторичная ионизация, вызванная столкновением ионов и электронов с молекулами газа. Эта идея реализуется в так называемых счётчиках Гейгера–Мюллера. В них на электроды подаётся напряжение, близкое к пробивному. Ионизирующие элементарные частицы инициируют образование лавины ионов. Возникает самостоятельный разряд, который гасится специальными радиотехническими средствами. Счётчики Гейгера–Мюллера обладают большой чувствительностью, но не позволяют измерять энергии регистрируемых частиц. Какое напряжение следует подавать на счётчик Гейгера–Мюллера? Ответы на этот и другие вопросы содержатся в пункте два задачи.

В этом пункте требуется найти распределение напряжённости и потенциала электрического поля внутри камеры счётчика Гейгера. Подобные задачи электростатики удобно решать с помощью теоремы Гаусса. В качестве замкнутой поверхности, через которую следует вычислять поток напряжённости поля, возьмём поверхность соосного с электродами цилиндра радиусом \(r\), расположенного между катодом и анодом. Длина цилиндра равна \(l\). Напряжённость поля направлена в каждой точке от оси цилиндра. Заряд, заключённый внутри выбранной поверхности, равен \(\lambda l\). На основании теоремы Гаусса запишем \[E(r)2\pi rl = \dfrac{\lambda l}{\varepsilon_0},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная, \(E(r)\) — модуль напряжённости поля в точках, удалённых от оси на расстояние \(r\). Эту величину и требуется найти: \[E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}. \qquad (212)\] Для нахождения \(\varphi(r)\) воспользуемся формулой, связывающей потенциал с напряжённостью поля: \[-\dfrac{d\varphi}{dr} = E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}.\] Проинтегрируем это уравнение, положив потенциал катода равным нулю: \[\varphi = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{R_c}{r}. \qquad (213)\] Это ещё одно искомое в задаче соотношение.

Для нахождения пробивного напряжения заметим, что пробой может произойти там, где напряжённость поля достигает критического значения \(E_b\). Из формулы (212) видно, что поле максимально вблизи анода, то есть при \(r = R_a\). При \(\lambda = \lambda_b\) оно достигает пробивного значения, для которого \[E_b = \dfrac{\lambda_b}{2\pi\varepsilon_0R_a}. \qquad (214)\] Подставляя величины, соответствующие наступлению пробоя, в формулу (213), получим \[\varphi_b = \dfrac{\lambda_b}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{R_c}{R_a} = E_bR_a\ln\dfrac{R_c}{R_a} \approx 11\text{ кВ}.\] Таким образом, выясняется, что зарождение ионной лавины, ведущей к пробою, возможно вблизи анода. Чтобы напряжённость поля здесь была близка к пробивному значению, напряжение на счётчике должно быть тем меньше, чем меньше радиус анода. Вот почему анод в счётчиках Гейгера–Мюллера делают в виде тонкой нити.

В отличие от предыдущих пунктов, в пункте 3 анализируется стационарное состояние счётчика, при котором число частиц, генерируемых в любом объёме внутри камеры, равно потоку этих частиц, покидающих данный объём. Счётчики, в которых реализуется такой режим, называют ионизационной камерой непрерывного действия.

Ввиду осевой симметрии конструкции счётчика удобно рассмотреть объём, заключённый между анодом и соосной с ним цилиндрической поверхностью радиусом \(r \leqslant R_c\). Число положительных ионов, генерируемых в этом объёме в единицу времени, равно \[N = \Gamma\pi(r^2 - R_a^2)l, \qquad (215)\] где \(l\) — длина выбранной цилиндрической поверхности. Поток ионов, вытекающих из этого объёма в единицу времени, определяется по формуле \(\Phi(r) = n(r)v(r)2\pi rl\), где \(n(r)\) — число положительных ионов в единице объёма на расстоянии \(r\) от оси цилиндра, \(v(r)\) — скорость их движения в этом месте. В соответствии с условием \(v(r) = \mu E(r)\), а напряжённость \(E(r)\) определяется формулой (212). После подстановки этих значений получим \[\Phi(r) = n(r)\cdot\mu\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\cdot2\pi rl = n(r)\dfrac{\lambda\mu}{\varepsilon_0}l.\] Именно эта величина в стационарном состоянии должна быть равна числу генерируемых ежесекундно в выделенном объёме частиц (215). Поэтому \[n(r)\dfrac{\lambda\mu}{\varepsilon_0}l = \Gamma\pi(r^2 - R_a^2)l,\quad\text{или}\quad n(r) = \dfrac{\pi\varepsilon_0\Gamma}{\mu\lambda}(r^2 - R_a^2).\] Таким образом, концентрация положительных ионов стремится к нулю вблизи анода и достигает наибольшего значения вблизи катода.