«Туймаада» 2022, теоретический тур

Подсказка

Взаимодействие платформы со щебнем внутреннее, поэтому координату центра масс можно искать так, будто щебень падает на землю, а платформа едет равномерно.

Ответ

\(v_c(t) = v_0\cdot\dfrac{1 - \dfrac{\mu L}{4Mv_0}}{\left(1 + \dfrac{\mu t}{M}\right)^2}\); для данных числовых значений \(\mu L = 4Mv_0\), поэтому \(v_c = 0\) (центр масс покоится, \(x_c = 20\) м).

Решение

Горизонтальные составляющие всех внешних сил, действующих на систему, равны нулю. Взаимодействие между платформой и высыпающимся щебнем является внутренним для рассматриваемой системы, поэтому оно не может повлиять на координату \(x_c\) центра масс системы. Значит, зависимость \(x_c(t)\) можно искать в отсутствие этого взаимодействия, считая, что щебень вываливается на землю, а платформа едет с постоянной скоростью: \[x_c(t) = \dfrac{M\cdot(L/4 + v_0t) + \mu t\cdot 0}{M + \mu t} = \dfrac{L}{4}\cdot\dfrac{1 + 4v_0t/L}{1 + \mu t/M} = 20\text{ м}.\] Заметим, что при подстановке значений в общую формулу время \(t\) сократилось за счёт выполнения соотношения между численными данными: \(\mu L = 4Mv_0\). В этом случае платформа с щебнем будет двигаться, а центр масс — покоиться.

В общем же случае найдём искомую скорость через производную координаты: \[v_c(t) = \dot x_c(t) = v_0\cdot\dfrac{1 - \dfrac{\mu L}{4Mv_0}}{\left(1 + \dfrac{\mu t}{M}\right)^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Кольцо можно разгонять, пока цилиндр давит на него с ненулевой силой; рассмотрите малую дугу кольца и найдите, при какой скорости эта сила обращается в нуль.

Ответ

\(v = \sqrt{T/\rho} = 2\) м/с.

Решение

Вращая цилиндр, можно сообщать кольцу ускорение при наличии ненулевой силы трения, что требует ненулевой силы \(N\) нормальной реакции цилиндра, действующей на малую дугу \(2\alpha\) резинового кольца (см. рисунок). Пусть \(R\) — радиус цилиндра, \(S\) — площадь поперечного сечения резинового жгута, образующего кольцо, тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой дуги, имеющей массу \(m = \rho\cdot S\cdot 2\alpha R\), в проекции на направление центростремительного ускорения примет вид \[m\cdot\dfrac{v^2}{R} = 2\cdot TS\cdot\sin\alpha - N \approx 2TS\alpha - N.\]

Максимальная скорость достигается при \(N = 0\), откуда после подстановки выражения для \(m\) получаем ответ: \[v = \sqrt{\dfrac{T}{\rho}} = 2\text{ м/с}.\] Примечание. Предлагаем читателям подумать о возможных причинах сходства полученного результата с формулой для скорости звуковой волны.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Удобно следить не за температурой воды, а за её отличием от предельной температуры шариков: после каждого шарика это отличие умножается на один и тот же множитель.

Ответ

\(n = 8\).

Решение

Из уравнения теплового баланса при помещении первого шарика \[C_1(T_1 - T_0) = C_2(T - T_1)\] найдём новую равновесную температуру: \[T_1 = \dfrac{C_1T_0 + C_2T}{C_1 + C_2}.\] Это выражение имеет вполне ожидаемую форму среднего взвешенного (мы сталкиваемся с такой формой в самых разных ситуациях, например, аналогично находится скорость тел после абсолютно неупругого удара, координата центра масс системы, средняя плотность и т. д.), однако в данной задаче для расчётов удобнее перейти от температуры воды к её отличию от предельной (добавление каждого шарика приближает температуру воды к \(T\)).

Пусть \(T_n\) — равновесная температура после помещения \(n\)-го шарика (отметим, что введённое в условии задачи обозначение \(T_0\) отлично вписывается в эту систему), \(\Delta T_n = T - T_n\) — отличие равновесной температуры от предельной, тогда уравнение теплового баланса можно переписать в виде \[C_1(\Delta T_{n-1} - \Delta T_n) = C_2(\Delta T_n - 0),\] откуда находим рекуррентное соотношение \[\Delta T_n = \dfrac{C_1}{C_1 + C_2}\cdot\Delta T_{n-1},\] то есть последовательность \(\Delta T_n\) образует геометрическую прогрессию: \[\Delta T_n = \left(\dfrac{C_1}{C_1 + C_2}\right)^n\cdot\Delta T_0.\] Искомый номер шарика — это наименьшее целочисленное значение \(n\), при котором выполняется условие \[\left(\dfrac{C_1}{C_1 + C_2}\right)^n\cdot(T - T_0) < T - T_x,\] которое равносильно неравенству \[n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{T - T_0}{T - T_x}\right)}{\ln\left(1 + \dfrac{C_2}{C_1}\right)} = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}1} \approx 7{,}3.\] Таким образом, окончательный ответ: \(n = 8\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В нижней точке запишите закон сохранения энергии (внутренняя энергия газа плюс потенциальная энергия поршня) и уравнение адиабаты, а малость \(\varphi\) используйте для упрощения.

Ответ

1) \(h \approx \left(\dfrac{3\varphi}{2 + 3\varphi}\right)^{3/2} \approx 1{,}8\cdot 10^{-3}\);  2) \(p \approx \left(\dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi}\right)^{5/2} \approx 3{,}8\cdot 10^{4}\);  3) \(t = ph \approx \dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi} \approx 67{,}7\).

Решение

Пусть \(m\) — масса поршня, \(S\) — площадь поперечного сечения цилиндра, тогда закон сохранения энергии и уравнение адиабаты с постоянной \(\gamma = 5/3\) для одноатомного газа имеют вид \[\dfrac{3}{2}P_0SH_0 + mgH_0 = \dfrac{3}{2}P_{\max}SH_{\min} + mgH_{\min},\] \[P_0(SH_0)^\gamma = P_{\max}(SH_{\min})^\gamma.\] Используя введённые в условии безразмерные искомые параметры и известное значение \(\varphi = P_0S/(mg)\), преобразуем эти уравнения к виду \[\dfrac{3}{2}\varphi(ph - 1) = 1 - h, \tag{1}\] \[p = h^{-\gamma}. \tag{2}\] Подстановка выражения (2) и значения \(\gamma\) в равенство (1) даёт нелинейное уравнение \[\dfrac{3}{2}\varphi\left(h^{-2/3} - 1\right) = 1 - h,\] которое можно решить приближённо, если учесть, что \(h \ll 1\) при \(\varphi \ll 1\), то есть последним вхождением \(h\) можно пренебречь и найти первый ответ: \[h \approx \left(\dfrac{3\varphi}{2 + 3\varphi}\right)^{3/2} \approx 1{,}8\cdot 10^{-3}.\] С помощью уравнения (2) находим второй ответ: \[p \approx \left(\dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi}\right)^{5/2} \approx 3{,}8\cdot 10^{4}.\] Третий ответ найдём из уравнения Менделеева–Клапейрона, записав его через относительные параметры газа: \[t = ph \approx \dfrac{2 + 3\varphi}{3\varphi} \approx 67{,}7.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите соотношения между токами по правилам Кирхгофа, затем выразите нагрев каждого резистора через его ток, сопротивление и размеры проволоки (при малом времени теплоотдачи нет, при большом — она пропорциональна площади поверхности).

Ответ

\(1200\) мК, \(1200\) мК, \(833\) мК, \(496\) мК.

Решение

Обозначим через \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\) и \(I_5\) силы токов, текущих через соответствующие резисторы, и будем считать положительными направления, указанные на схеме стрелочками.

Из формулы для удельного сопротивления следует, что сопротивления резисторов прямо пропорциональны их длине (номеру резистора в 1 и 2 пунктах задачи) и обратно пропорциональны площади их сечения (квадрату номера резистора в 3 и 4 пунктах задачи).

Правила Кирхгофа для 1 и 2 пунктов задачи имеют вид \[\begin{cases} I_1 = I_2 + I_5,\\ I_4 + I_5 = I_3,\\ 1\cdot I_1 + 5\cdot I_5 = 4\cdot I_4,\\ 5\cdot I_5 + 3\cdot I_3 = 2\cdot I_2, \end{cases}\] откуда находим связи между силами токов: \[I_1 = 11I_5,\qquad I_2 = 10I_5,\qquad I_3 = 5I_5,\qquad I_4 = 4I_5. \tag{1}\] Правила Кирхгофа для 3 и 4 пунктов задачи имеют вид \[\begin{cases} I_1 = I_2 + I_5,\\ I_4 + I_5 = I_3,\\ \dfrac{I_1}{1^2} + \dfrac{I_5}{5^2} = \dfrac{I_4}{4^2},\\[2mm] \dfrac{I_5}{5^2} + \dfrac{I_3}{3^2} = \dfrac{I_2}{2^2}, \end{cases}\] откуда находим связи между силами токов: \[I_1 = -\dfrac{17}{55}\cdot I_5,\qquad I_2 = -\dfrac{72}{55}\cdot I_5,\qquad I_3 = -\dfrac{909}{275}\cdot I_5,\qquad I_4 = -\dfrac{1184}{275}\cdot I_5. \tag{2}\] Если измерение температур производится через малое время после замыкания цепи (пункты 1 и 3 задачи), то можно пренебречь теплопотерями и считать, что всё выделившееся количество теплоты идёт на нагревание проволоки, масса которой зависит линейно от длины \(L_n\) и квадратично от диаметра \(D_n\), поэтому прирост \(\Delta T_n\) температуры резистора \(R_n\) имеет вид \[\Delta T_n = k_{13}\cdot\dfrac{I_n^2R_n}{L_nD_n^2},\] где \(k_{13}\) — коэффициент пропорциональности. С учётом известного значения \(\Delta T_5\) удобно записать этот же результат в виде \[\dfrac{\Delta T_n}{\Delta T_5} = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\dfrac{R_n}{R_5}\cdot\dfrac{L_5}{L_n}\cdot\left(\dfrac{D_5}{D_n}\right)^2 = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\left(\dfrac{D_5}{D_n}\right)^4. \tag{3}\] Если измерение температур производится через большое время после замыкания цепи (пункты 2 и 4 задачи), то превышение \(\Delta T_n\) температуры резистора \(R_n\) над окружающей средой будет определяться равенством мощностей тепловыделения и теплоотдачи, которая пропорциональна площади поверхности проволоки (длине \(L_n\) и диаметру \(D_n\)) и \(\Delta T_n\), откуда получаем выражение \[\Delta T_n = k_{24}\cdot\dfrac{I_n^2R_n}{L_nD_n},\] где \(k_{24}\) — коэффициент пропорциональности. С учётом известного значения \(\Delta T_5\) удобно записать этот же результат в виде \[\dfrac{\Delta T_n}{\Delta T_5} = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\dfrac{R_n}{R_5}\cdot\dfrac{L_5}{L_n}\cdot\dfrac{D_5}{D_n} = \left(\dfrac{I_n}{I_5}\right)^2\cdot\left(\dfrac{D_5}{D_n}\right)^3. \tag{4}\] Таким образом, мы рассмотрели влияние каждого фактора по отдельности, а результаты их сведения воедино представлены в табл. 1 (пояснение расчёта) и табл. 2 (итог расчёта). Наименьшей во всех опытах оказалась температура центрального резистора, поэтому окончательные ответы имеют вид \[\max\{\Delta T_1;\Delta T_2;\Delta T_3;\Delta T_4\} - \Delta T_5.\] Ответы с учётом указанного в условии округления: \(\{1200; 1200; 833; 496\}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Введите взаимные индуктивности контуров на смежных и на противоположных гранях и выразите через них потоки: поток входящий в куб равен потоку, выходящему через остальные грани.

Ответ

1) \(L_{63} = 3L_{62} - 3L_{41}\);  2) \(L_{83} = 5L_{41} - 2L_{62}\);  3) \(U(t) = \omega(2L_{62} - 3L_{41})I_0\sin\omega t\).

Решение

Обозначим через \(M\) взаимную индуктивность двух проволочных контуров, расположенных вдоль рёбер двух смежных граней куба, а через \(m\) — взаимную индуктивность двух проволочных контуров, расположенных вдоль рёбер двух противоположных граней куба.

Примечание. Взаимная индуктивность — это коэффициент пропорциональности между магнитным потоком в одном контуре и силой тока в другом.

Если пустить ток по четырём рёбрам одной грани куба, то магнитный поток, входящий в куб через эту грань, будет равен суммарному магнитному потоку, выходящему из куба через четыре смежные грани и одну противоположную, откуда получаем первое соотношение между индуктивностями: \[L_{41} = 4M + m. \tag{1}\] Если пустить ток по шести рёбрам двух смежных граней куба, то магнитный поток, входящий в куб через этот контур, будет равен суммарному магнитному потоку, выходящему из куба через четыре оставшиеся грани, две из которых являются смежными с каждой из двух граней, образующих контур, а каждая из двух других является смежной с одной из граней, образующих контур, и противоположной другой, откуда получаем второе соотношение между индуктивностями: \[L_{62} = 2(M + M) + 2(M + m) = 6M + 2m. \tag{2}\] Примечание. Можно получить то же самое соотношение (2) по-другому: мысленно добавим два противоположно направленных тока той же самой силой \(I\) вдоль общего ребра двух граней, образующих рассматриваемый контур, тогда его можно разбить на два контура, каждый из которых добавляет магнитный поток \(L_{41}I\) через себя и вычитает магнитный поток \(MI\) через второй контур, из чего можно записать равенство \[L_{62} = 2(L_{41} - 2M) = 6M + 2m,\] которое совпадает с соотношением (2) после подстановки выражения (1).

Решая уравнения (1) и (2) совместно, находим взаимные индуктивности: \[M = L_{41} - \dfrac{L_{62}}{2},\qquad m = 2L_{62} - 3L_{41}. \tag{3}\] Выразим каждую из искомых индуктивностей \(L_{63}\) и \(L_{83}\) обоими показанными выше способами (запасной способ — ради интереса и для самопроверки): \[\begin{align*} L_{63} &= 3(2M + m) = 6M + 3m,\\ L_{63} &= 3(L_{41} - 2M) = 6M + 3m,\\ L_{83} &= 2\cdot 3M + (2M + m) = 8M + m,\\ L_{83} &= 3L_{41} - 2M - 2(M + m) = 8M + m. \end{align*}\] После подстановки соотношений (3) получаем первые два ответа: \[\begin{align*} L_{63} &= 6M + 3m = 3L_{62} - 3L_{41},\\ L_{83} &= 8M + m = 5L_{41} - 2L_{62}. \end{align*}\] В третьем пункте задачи выразим магнитный поток через второй контур \[\Phi = mI(t) = mI_0\cos\omega t\] и найдём показания вольтметра через ЭДС индукции: \[U(t) = \mathcal{E} = -\dot\Phi = \omega mI_0\sin\omega t = \omega(2L_{62} - 3L_{41})I_0\sin\omega t.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Закон Снелла для сферически-симметричной среды даёт инвариант: произведение показателя преломления на расстояние от центра до касательной к лучу остаётся постоянным.

Ответ

\(n_0 = H/D\).

Решение

Рассмотрим преломление луча в произвольной точке \(E\) на расстоянии \(R\) от центра \(O\) туманности (см. рисунок). Пусть \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления соответственно снаружи и внутри сферической границы раздела вблизи неё (в случае непрерывной зависимости показателя преломления от \(R\) значения \(n_1\) и \(n_2\) будут бесконечно близки, из-за чего луч будет отклоняться плавно, но нам этот факт даже не потребуется), тогда закон Снелла имеет вид \[n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2, \tag{1}\] где \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы падения и преломления соответственно.

Пусть \(\ell_1\) и \(\ell_2\) — расстояния от центра туманности до продолжения падающего луча и до преломлённого луча соответственно, тогда из прямоугольных треугольников следуют соотношения \[\sin\alpha_1 = \dfrac{\ell_1}{R}\qquad\text{и}\qquad\sin\alpha_2 = \dfrac{\ell_2}{R},\] после подстановки которых в закон преломления (1) получаем инвариант \[n_1\ell_1 = n_2\ell_2.\] Напомним, что инвариантом называется выражение, формально зависящее от нескольких переменных, но фактически сохраняющее постоянное значение при некоторых условиях. В данном случае остаётся постоянным произведение показателя преломления в некоторой точке траектории луча на расстояние от центра туманности до касательной к траектории луча в этой точке.

Применим полученный инвариант к двум точкам — вдали от туманности (в вакууме \(n = 1\)) и на минимальном расстоянии от её центра: \[1\cdot H = n_0\cdot D,\qquad\text{откуда}\qquad n_0 = \dfrac{H}{D}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Все лучи, сошедшиеся в одной точке, прошли одинаковые оптические длины путей, поэтому приравняйте оптический путь произвольного луча и луча вдоль оси.

Ответ

\(H = \dfrac{f}{n + 1}\left(\sqrt{1 + \dfrac{(n + 1)R^2}{(n - 1)f^2}} - 1\right) = 0{,}2\) м.

Решение

Чтобы все падающие лучи после прохождения линзы пересеклись в одной точке \(F\), у них должны быть одинаковые оптические длины путей. Введём показанную на рисунке систему координат \(Oxy\) и запишем равенство оптической длины пути произвольного луча, преломившегося на выпуклой поверхности линзы в точке с координатами \((x; y)\), и оптической длины пути луча, прошедшего вдоль оси симметрии линзы: \[n\cdot(H - y) + 1\cdot\sqrt{x^2 + (y + f)^2} = n\cdot H + 1\cdot f,\] откуда после упрощения получаем квадратное уравнение \[(n^2 - 1)y^2 + 2f(n - 1)y - x^2 = 0,\] положительное (осмысленное) решение которого имеет вид \[y = \dfrac{f}{n + 1}\left(\sqrt{1 + \dfrac{(n + 1)x^2}{(n - 1)f^2}} - 1\right).\]

Искомая величина \(H\) — это значение \(y\) в точке \(x = R\), из чего следует ответ: \[H = \dfrac{f}{n + 1}\left(\sqrt{1 + \dfrac{(n + 1)R^2}{(n - 1)f^2}} - 1\right) = 0{,}2\text{ м}.\] Примечание. Предлагаем читателям самостоятельно подумать над следующими вопросами. Как называется найденная нами математическая форма выпуклой поверхности линзы в пространстве? Почему обычно используют сферические линзы, хотя из нашего решения следует, что для идеальности линзы поверхность должна иметь не сферическую форму? Почему в тексте задачи мы намеренно не использовали термины «фокус», «фокусное расстояние» и «оптическая сила»? Подсказка содержится в названии задачи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.