Ведомственная, 2010/11, заключительный этап, 10 класс

Воздух при обычных условиях близок к идеальному газу. Какая величина от температуры зависит как скорость теплового движения молекул?

Отношение скоростей \(\sqrt{T_1/T_3} \approx 1{,}075\).

Так как воздух в обычных условиях очень близок по свойствам к идеальному газу, то скорость звука в нём по порядку величины совпадает со средней скоростью теплового движения молекул, которая пропорциональна \(\sqrt{T}\). Поэтому отношение скоростей равно \(\sqrt{T_1/T_3} \approx 1{,}075\).

Перейдите в систему отсчёта, связанную с автомобилем: что делает колесо в этой системе и какие скорости у точек его обода?

\(a = \dfrac{2V^2}{D} = 1000\) м/с\(^2\); вектор ускорения направлен вертикально вверх, к оси колеса.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с автомобилем. В этой системе колесо вращается равномерно, и скорости всех точек внешней поверхности покрышки совпадают со скоростью автомобиля относительно земли, иначе будет проскальзывание. Соответственно, ускорение всех этих точек одинаково по величине \(a = \dfrac{V^2}{R} = \dfrac{2V^2}{D} = 1000\) м/с\(^2\). Направлен вектор ускорения к оси колеса, т.е. для точки касания он направлен вертикально вверх.

Скорость катера относительно берега складывается из его собственной скорости и скорости течения. Ширина реки одна и та же в обоих опытах.

\(V_T = V\,\dfrac{\sqrt{t_1^2 - t_2^2}}{t_1}\).

Ширина реки \(l = Vt_2\), что очевидно из условий задачи. Скорость катера относительно земли \(U\) при наличии течения равна \(\sqrt{V^2 - V_T^2}\), что ясно из рисунка. Следовательно, \(l = \sqrt{V^2 - V_T^2}\,t_1\). Приравнивая эти два выражения для \(l\) друг другу, легко получим \(V_T = V\,\dfrac{\sqrt{t_1^2 - t_2^2}}{t_1}\).

Сравните два процесса: различие подведённого тепла в них совпадает с работой газа в изобарном процессе.

\(\nu = \dfrac{Q_2 - Q_1}{R\,\Delta T}\).

Разница в количестве теплоты, необходимой для нагревания газа в изобарных и изохорных условиях, \(Q_2 - Q_1 = A\) — работа, совершаемая газом при \(p = \text{const}\). \(A = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T\). Отсюда получаем \(\nu = \dfrac{Q_2 - Q_1}{R\,\Delta T}\).

Выразите дальность падения через угол броска и высоту скалы. Максимум дальности найдите из условия, что при нём уравнение относительно \(\operatorname{tg}\alpha\) имеет единственное решение.

\(\operatorname{tg}\alpha_{\text{опт}} = \dfrac{V_0}{\sqrt{V_0^2 + 2gH}}\).

Обозначим через \(S\) расстояние от места падения тела в воду до берега. Воспользовавшись уравнениями траектории брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту тела, свяжем \(S\) с остальными параметрами задачи: \[H + S\operatorname{tg}\alpha - \frac{gS^2}{V_0^2\cos^2\alpha} = 0.\]

Удобнее всего находить оптимальный угол бросания, обеспечивающий максимальную дальность \(S_{\max}\), рассуждая следующим образом. Задаём произвольное \(S\) и находим угол \(\alpha\), решая это уравнение, для чего удобно воспользоваться формулой \(\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha + 1\). Соответственно уравнение становится квадратным относительно \(\operatorname{tg}\alpha\). Очевидно, что при \(S = S_{\max}\) решение должно быть единственным, что приводит к условию обращения дискриминанта в ноль. Решая затем уравнение относительно \(\alpha\), получим \[\operatorname{tg}\alpha_{\text{опт}} = \frac{V_0}{\sqrt{V_0^2 + 2gH}}.\]

Закон сохранения импульса даст скорость слипшегося тела; тепло равно убыли кинетической энергии системы.

\(Q = \dfrac{4}{3}\,mV^2\).

Запишем закон сохранения импульса для нашей ситуации: \(2mV - mV = 3mU\), где \(U\) — скорость «составного» тела, возникшего при абсолютно неупругом ударе. Соответственно \(U = \dfrac{V}{3}\). Количество выделившегося тепла (точнее было бы сказать — приращение внутренней энергии тел) получим с помощью закона сохранения энергии: \[Q = E_{\text{кин}}^{\text{нач}} - E_{\text{кин}}^{\text{кон}} = \frac{mV^2}{2} + \frac{2mV^2}{2} - \frac{3mU^2}{2} = \frac{4}{3}\,mV^2.\]

Силу давления бруска на клин найдите из второго закона Ньютона для бруска в проекции на направление, перпендикулярное поверхности клина. Далее разложите эту силу на горизонтальную и вертикальную составляющие.

На стенку: \(P_{\text{гор}} = \dfrac{1}{2}\,mg\sin 2\alpha\); на пол: \(P_{\text{верт}} = Mg + mg\cos^2\alpha\).

Сила давления клина на брусок \(N = mg\cos\alpha\), что легко получается с помощью второго закона Ньютона для бруска. Она направлена перпендикулярно поверхности клина и составляет с вертикалью угол \(\alpha\). Соответственно её горизонтальная проекция \(N_{\text{гор}} = N\sin\alpha = mg\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\,mg\sin 2\alpha\) и будет совпадать с силой давления клина на стенку. Вертикальная же составляющая в сумме с силой тяжести клина \(Mg\) обусловит силу давления на пол, равную \(P_{\text{верт}} = Mg + mg\cos^2\alpha\).