Ведомственная, 2010/11, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Период колебаний излучения для наблюдателя на Земле меняется из-за замедления хода движущихся часов. Как связаны длина волны и период?

Ответ

\(\lambda = \dfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = 1{,}25\,\lambda_0 = 26{,}25\) см.

Решение

Обозначим через \(T_0\) период колебаний радиоволны, излучаемой неподвижным атомом водорода. Тогда длина этой волны равна \(\lambda_0 = cT_0\).

Для наблюдателя на Земле период колебаний радиоволны, излучаемой атомом, движущимся со скоростью \(V\), увеличивается по сравнению с \(T_0\) и равен \[T = \frac{T_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}}.\] Поэтому принимаемая на Земле радиоволна будет иметь длину \[\lambda = cT = \frac{cT_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = 1{,}25\,\lambda_0 = 26{,}25~\text{см}.\]

Подсказка

Угловая скорость равна \(2\pi\), умноженному на число оборотов в секунду. Сколько оборотов в секунду делает второе колесо?

Ответ

\(\omega_1/\omega_2 = nt/N = 3\).

Решение

Угловая скорость первого колеса: \(\omega_1 = 2\pi n\). Угловая скорость второго колеса: \(\omega_2 = 2\pi N/t\).

Искомое отношение равно \[\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{nt}{N} = 3.\]

Подсказка

Разрыв происходит за очень короткое время, поэтому импульс системы осколков сохраняется. Запишите его проекцию на направление первоначального движения гранаты.

Ответ

\(V_2 = (0{,}6V_1 - V)/0{,}4 = 12{,}5\) м/с; меньший осколок стал двигаться в направлении, противоположном первоначальному направлению движения гранаты.

Решение

Разрыв гранаты происходит за очень короткий промежуток времени. Закон сохранения импульса выполняется в векторной форме; с его помощью можно показать, что скорости всех осколков направлены вдоль одной прямой.

Применим закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направление движения гранаты (ось \(x\)): \[MV = 0{,}6MV_1 + 0{,}4MV_{2x},\] где \(M\) — масса гранаты, \(0{,}6M\) и \(0{,}4M\) — массы большего и меньшего осколков. Отсюда \[V_{2x} = \frac{V - 0{,}6V_1}{0{,}4} = -12{,}5~\text{м/с}.\] Отрицательная проекция \(V_{2x}\) означает, что осколок стал двигаться в направлении, противоположном первоначальному направлению движения гранаты. Модуль скорости меньшего осколка \[V_2 = -V_{2x} = \frac{0{,}6V_1 - V}{0{,}4} = 12{,}5~\text{м/с}.\]

Подсказка

Запишите уравнение состояния для обоих сосудов и равенство давлений. Затем сохранение внутренней энергии при перемешивании газов.

Ответ

\(T_2 = \dfrac{T_1T}{(n+1)T_1 - nT}\).

Решение

Приравняем давления в сосудах в начальном состоянии (до выравнивания температур): \[\frac{\nu_1RT_1}{V_1} = \frac{\nu_2RT_2}{V_2}.\] Отсюда \[\nu_1 = \nu_2\frac{V_1T_2}{V_2T_1} = n\nu_2\frac{T_2}{T_1}.\] Суммарная внутренняя энергия газа до и после перемешивания одинаковая: \[C_V\nu_1T_1 + C_V\nu_2T_2 = C_V(\nu_1+\nu_2)T.\] Подставим \(\nu_1\) в последнее равенство и выразим из него \(T_2\): \[n\nu_2\frac{T_2}{T_1}T_1 + \nu_2T_2 = \left(n\nu_2\frac{T_2}{T_1} + \nu_2\right)T,\] \[T_2 = \frac{T}{n\left(1 - \dfrac{T}{T_1}\right) + 1} = \frac{T_1T}{(n+1)T_1 - nT}.\]

Подсказка

Густота силовых линий пропорциональна напряжённости поля. Сравните, сколько линий проходит через малую горизонтальную площадку вблизи точки \(A\) и вблизи точки \(B\).

Ответ

\(q_2 = +q/9\): заряд шарика уменьшился в 9 раз.

Решение

Густота силовых линий пропорциональна напряжённости электростатического поля. Как следует из рисунка, через малую горизонтальную площадку вблизи точки \(A\) проходит в 9 раз меньше силовых линий, чем через такую же площадку вблизи точки \(B\). Поэтому \(E_A = \dfrac{1}{9}E_B\).

В условиях равновесия шарика сила тяжести \(mg\) уравновешивается кулоновской силой как в точке \(A\), так и в точке \(B\): \[mg = q_1E_A, \qquad mg = q_2E_B.\] Отсюда \[\frac{q_2}{q_1} = \frac{E_A}{E_B} = \frac{1}{9}, \qquad q_2 = \frac{q_1}{9} = \frac{q}{9}.\]

Подсказка

Какой ток идёт через гальванометр при полном отклонении стрелки? Какое напряжение на шунте и какой ток через него?

Ответ

\(R_ш = \dfrac{nI_1R_г}{I - nI_1} \approx 0{,}049\) Ом.

Решение

Схема включения шунта показана на рисунке.

Показана ситуация, когда в цепи течёт ток, сила \(I\) которого равна пределу измерения амперметра. При этом через гальванометр течёт ток силой \(nI_1\), для которого отклонение стрелки составляет \(n=10\) делений.

Сопротивление шунта \(R_ш\) равно напряжению на нём \(nI_1R_г\), делённому на силу тока через шунт \(I - nI_1\): \[R_ш = \frac{nI_1R_г}{I - nI_1} \approx 0{,}049~\text{Ом}.\]

Подсказка

Закон преломления выполняется на каждой границе. Выразите отношение показателей преломления второй и третьей сред через синусы углов.

Ответ

\(\beta = \arcsin\dfrac{\sin\theta_3\,\sin\theta_1}{\sin\theta_2} \approx 38^\circ\).

Решение

Обозначим через \(n_1\), \(n_2\) и \(n_3\) абсолютные показатели преломления первой, второй и третьей сред соответственно. Закон преломления даёт: \[n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2, \qquad n_1\sin\theta_1 = n_3\sin\theta_3.\] Отсюда \(\dfrac{n_2}{n_3} = \dfrac{\sin\theta_3}{\sin\theta_2}\).

Закон преломления при переходе луча из второй среды в третью: \(n_2\sin\theta_1 = n_3\sin\beta\). Отсюда \[\sin\beta = \frac{n_2\sin\theta_1}{n_3} = \frac{\sin\theta_3\,\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\] \[\beta = \arcsin\frac{\sin\theta_3\,\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \arcsin\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \approx 37{,}8^\circ \approx 38^\circ.\]

Подсказка

Запишите уравнение Клапейрона–Менделеева для каждой атмосферы и выразите плотность через давление.

Ответ

\(\dfrac{\rho_1}{\rho_2} = \dfrac{P_1M_1T_2}{P_0M_2T_1} \approx 59\).

Решение

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева через плотности атмосфер Венеры и Земли \(\rho_1\) и \(\rho_2\) соответственно: \[P_1 = \frac{\rho_1RT_1}{M_1}, \qquad P_0 = \frac{\rho_2RT_2}{M_2}.\] Отсюда \[\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{P_1M_1T_2}{P_0M_2T_1} \approx 59.\]