Ведомственная, 2010/11, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Масса снаряда на Луне та же, значит, сила взрыва сообщает ему то же ускорение за то же время. Что меняется в формуле высоты подъёма?

Ответ

Скорость одинакова, \(900\) м/с; высота подъёма снаряда на Луне в \(6\) раз больше, чем на Земле.

Решение

Масса снаряда на Луне не изменилась. Значит, и ускорение, сообщаемое снаряду силой взрыва, должно быть на Луне таким же, как и на Земле: \(f = ma\). При одинаковых ускорениях и времени одинаковы и скорости (согласно формуле \(V = at\)).

Итак, пушка на Луне выбросила бы снаряд точно с такой же начальной скоростью, как и на Земле. Другое дело, как высоко залетел бы на Луне этот снаряд.

На Земле (при отсутствии атмосферы) \(aS_2 = \dfrac{V^2}{2}\), \(S_2 = \dfrac{V^2}{2g}\). Так как ускорение силы тяжести на Луне в шесть раз меньше, чем на Земле, \(a = g/6\), то \(S_1 = 6\dfrac{V^2}{2g}\), где \(S_1\) — высота подъёма снаряда на Луне.

Значит, на Луне пушка забросила бы снаряд в шесть раз выше, чем на Земле, несмотря на то, что начальная скорость снаряда в обоих случаях одинакова.

Подсказка

Какая сила действует на погружённую чечевицу со стороны воды, и как она меняет эффективное ускорение?

Ответ

В воде маятник будет колебаться медленнее.

Решение

Это явление объясняется выталкивающим действием воды на погружённые в неё тела. По второму закону Ньютона \(m\vec a = m\vec g + \vec F_A\), откуда \(a = g - \dfrac{F_A}{m}\).

Из формулы для периода колебаний математического маятника в воде \[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{a}}\] по сравнению с периодом колебаний математического маятника в воздухе \[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\] видно, что \(T_1 > T_2\), следовательно, маятник будет колебаться медленнее.

Подсказка

Дальность броска без сопротивления воздуха зависит от ускорения свободного падения. Как именно?

Ответ

\(S_2 = \dfrac{g_1}{g_2}S_1 = 23{,}04\) м.

Решение

При отсутствии сопротивления воздуха тело, брошенное под углом \(\alpha\) к горизонту со скоростью \(V\), упадёт на расстоянии \[S = \frac{V^2\sin2\alpha}{g}.\] Величина \(g\) ускорения силы тяжести в различных пунктах различна, таким образом, \[S_2 = \frac{g_1}{g_2}S_1 = 23{,}04~\text{м},\] где \(S_1\) — расстояние, на которое спортсмен толкнул ядро в Каире, \(S_2\) — в Санкт-Петербурге, \(g_1\) — ускорение силы тяжести в Каире, \(g_2\) — в Санкт-Петербурге.

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, связанную с камнем, брошенным вверх. Как движутся остальные камни относительно неё?

Ответ

Брошенные камни расположатся в вершинах квадрата.

Решение

Перейдём в систему отсчёта, связанную с одним из камней, например с тем, который брошен вверх. В этой системе отсчёта его скорость равна нулю. Скорость остальных камней рассчитывается по формуле \(\vec U_i = \vec V_i - \vec V_1\), где \(\vec U_i\) — скорость \(i\)-го камня в новой системе отсчёта, \(\vec V_i\) — относительно Земли, \(\vec V_1\) — скорость первого камня относительно Земли. Скорость камней относительно Земли рассчитывается по закону равноускоренного движения с ускорением \(\vec g\): \(\vec V_i = \vec V_{0i} + \vec gt\), где \(\vec V_{0i}\) — начальная скорость \(i\)-го камня относительно Земли (\(i = 1, 2, 3, 4\)). Тогда \[\vec U_i = \vec V_{0i} + \vec gt - \vec V_{01} - \vec gt = \vec V_{0i} - \vec V_{01}.\] Таким образом, в данной системе отсчёта камни движутся равномерно и прямолинейно, и нетрудно видеть, что брошенные камни расположатся в вершинах квадрата.

Подсказка

Какие силы действуют на шар в равновесии: вес, сила Архимеда и сила реакции дна?

Ответ

\(N = F\left(1 - \dfrac{\rho_1}{2\rho_2}\right) = 3\) Н.

Решение

Согласно третьему закону Ньютона, сила \(P\), с которой шар давит на дно сосуда, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой дно действует на шар, \(N\).

Силы, действующие на шар: \(F = N + F_A\), где \(F\) — вес шара в воздухе, \(F_A = \rho_1 g\dfrac{V}{2}\) — сила Архимеда, действующая на шар со стороны воды, здесь \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\) — плотность воды, а \(V\) — объём шара. Объём шара найдём из \(\rho_2 = \dfrac{m}{V} = \dfrac{F}{gV}\), где \(\rho_2\) — плотность дуба.

Таким образом, \[N = F - F_A = F - \frac{\rho_1gF}{2g\rho_2} = F\left(1 - \frac{\rho_1}{2\rho_2}\right) = 3~\text{Н}.\]

Подсказка

При постоянном давлении отношение объёма к температуре не меняется.

Ответ

\(V_2 = \dfrac{V_1T_2}{T_1} = 225\) см\(^3\).

Решение

Запишем уравнение изобарического сжатия: \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2},\] отсюда \(V_2 = \dfrac{V_1T_2}{T_1} = 225\) см\(^3\).

Подсказка

Угол падения равен углу отражения. Какой угол должен составлять отражённый луч с падающим?

Ответ

Под углом \(45^\circ\) к горизонту.

Решение

По закону отражения световых лучей зеркало следует расположить под углом \(45^\circ\) к горизонту.