зад 1 Зенитный снаряд
Зенитчики стреляют по вражескому самолёту в тот момент, когда он пролетает точно над ними на высоте \(2{,}5\) км со скоростью \(720\) км/ч. Какой должна быть минимальная скорость вылета снаряда, чтобы можно было поразить самолёт? Ускорение свободного падения принять равным \(10\) м/с\(^2\), сопротивлением воздуха пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Горизонтальная составляющая скорости снаряда при минимальной скорости вылета должна совпадать со скоростью самолёта. Какой вертикальной скорости хватит, чтобы подняться на высоту самолёта?
▶ОтветСкрыть
\(v_0 = 300\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Горизонтальная составляющая скорости снаряда должна, очевидно, равняться скорости самолёта: \(720\) км/ч \(= 200\) м/с. Вертикальная составляющая определяется необходимостью достижения высоты, на которой летит самолёт: \(v_\text{верт} = \sqrt{2gh} = \sqrt{50\,000}\) м/с. Величину минимальной начальной скорости находим с помощью теоремы Пифагора: \[v_0 = \sqrt{v_c^2 + v_\text{верт}^2} = \sqrt{200^2 + 50\,000}~\text{м/с} = 300~\text{м/с}.\]
зад 2 Клин в углу комнаты
В углу комнаты на идеально гладком полу лежит клин треугольного сечения исчезающе малой массы. По нему без трения скользит брусок массой \(200\) г. При этом сила давления клина на вертикальную стенку равна \(0{,}5\) Н. Чему равен угол наклона поверхности клина к горизонту? Принять \(g=10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Масса клина мала, поэтому сила, с которой брусок давит на клин, перпендикулярна поверхности клина. Горизонтальная составляющая этой силы уравновешивается стенкой.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = 15^{\circ}\).
▶РешениеСкрыть
Сила давления бруска на клин \(N_1 = mg\cos\alpha\), где \(\alpha\) — искомый угол наклона. Сила давления со стороны вертикальной стенки должна компенсировать горизонтальную составляющую \(N_1\). Соответственно, \[N_2 = N_{1\,\text{гор}} = N_1\sin\alpha = mg\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\,mg\sin 2\alpha.\] Подставляя \(mg = 2\) Н и \(N_2 = 0{,}5\) Н, получаем \(\sin 2\alpha = 0{,}5\), откуда \(\alpha = 15^{\circ}\).
зад 3 Две шайбы на нити
На гладкой горизонтальной поверхности вращаются с угловой скоростью \(\omega\) две маленькие шайбы, связанные невесомой нитью длиной \(l\). Масса одной из шайб \(m_1\), сила натяжения нити \(T\). Найдите массу второй шайбы.
▶ПодсказкаСкрыть
Шайбы вращаются вокруг общего центра масс. Какое соотношение между массами и радиусами окружностей даёт условие, что центр масс неподвижен?
▶ОтветСкрыть
\(m_2 = \dfrac{m_1T}{m_1\omega^2 l - T}\).
▶РешениеСкрыть
Шайбы вращаются вокруг точки \(C\) (центр масс) по окружностям радиусов \(R_1\) и \(R_2\), которые определяются из условий: \(R_1 + R_2 = l\); \(m_1a_1 = m_2a_2 = T\) (второй и третий законы Ньютона).
Записывая ускорения \(a_1 = \omega^2R_1\) и \(a_2 = \omega^2R_2\), приходим к уравнению \(m_1R_1 = m_2R_2\) (правило рычага). Решая полученную систему уравнений, находим \[R_1 = \frac{m_2l}{m_1+m_2}, \qquad R_2 = \frac{m_1l}{m_1+m_2},\] что позволяет записать второй закон Ньютона в виде \[\frac{m_1m_2\omega^2l}{m_1+m_2} = T,\] откуда \[m_2 = \frac{m_1T}{m_1\omega^2l - T}.\]
зад 4 Вычерпывание воды из бочки
Большая бочка цилиндрической формы доверху наполнена водой. Чтобы вычерпать половину воды, необходимо совершить работу \(A\). Какую работу придётся совершить, чтобы опустошить всю бочку?
▶ОтветСкрыть
\(4A\).
▶РешениеСкрыть
Совершаемая работа идёт на увеличение потенциальной энергии жидкости, так как воду приходится поднимать в поле тяжести. Эта работа квадратично зависит от высоты бочки, потому что и масса воды пропорциональна этой высоте. Следовательно, чтобы вычерпать воду из всей бочки, нужно совершить работу \(4A\).
зад 5 Минимальная высота зеркала
Ваш рост равен \(1\) м \(70\) см. Какую минимальную высоту должно иметь зеркало, висящее на стене, чтобы Вы могли видеть себя в нём во весь рост?
▶ОтветСкрыть
\(h = 0{,}85\) м \(= 85\) см.
▶РешениеСкрыть
Из подобия треугольников легко получается ответ: минимальная высота зеркала равна половине роста человека, т.е. \(0{,}85\) м \(= 85\) см.
зад 6 Два резистора в последовательной цепи
При подключении к источнику тока некоторого резистора с сопротивлением, существенно превышающим внутреннее сопротивление источника, на нём выделяется тепловая мощность \(100\) Вт. Какая мощность будет выделяться на каждом из двух таких резисторов, если их соединить последовательно и подключить к тому же источнику?
▶ОтветСкрыть
\(P = 25\) Вт.
▶РешениеСкрыть
При последовательном соединении двух одинаковых резисторов напряжение на каждом из них будет равно половине общего. Так как мощность, выделяемая на резисторе, квадратично зависит от напряжения, то мощность, которая будет выделяться на каждом из двух последовательно соединённых резисторов, окажется равной \[\frac{1}{4}\cdot 100~\text{Вт} = 25~\text{Вт}.\]
Источник: Олимпиада на базе ведомственных вузов (физика), 2011/12, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.