Ведомственная, 2011/12, заключительный этап, 9 класс

Сколько сил натяжения действует на каждую лодку и чему они равны по модулю? Что следует из второго закона Ньютона при одинаковой массе и одинаковой силе?

Обе лодки причалят одновременно.

На первую и вторую лодки действует одинаковая сила натяжения веревки, следовательно, согласно второму закону Ньютона они приобретут одинаковое ускорение и причалят к пристани одновременно.

Удобно применить закон изменения механической энергии: работа силы трения на всём пути равна изменению полной энергии саней. Работа силы трения на наклонном участке зависит от \(\cos\alpha\) и длины наклонного участка.

\(L = \dfrac{l\,(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)}{\mu} \approx 290\) м.

Запишем закон сохранения энергии в виде \(E_\text{кон} - E_\text{нач} = A_\text{тр}\). Раскроем его: \(0 - mgl\sin\alpha = A_{\text{тр}1} + A_{\text{тр}2}\), где \(A_{\text{тр}1} = -\mu mg\cos\alpha\cdot l\) — работа силы трения на наклонной плоскости, а \(A_{\text{тр}2} = -\mu mg\cdot L\) — работа силы трения на горизонтальной поверхности; \(L\) — искомое расстояние, которое проедут сани до остановки. Подставим: \[mgl\sin\alpha = \mu mgl\cos\alpha + \mu mgL.\] Отсюда \[L = \frac{l\,(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\mu} \approx 290~\text{м}.\]

Сила упругости шнура создаёт центростремительное ускорение шарика. Запишите второй закон Ньютона для шарика, учитывая, что радиус вращения равен длине недеформированного шнура плюс удлинение.

\(x = 10\) см.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на мгновенную ось, проходящую через шарик и направленную к центру окружности: \[F_\text{упр} = ma, \qquad kx = m\omega^2(l_0+x),\] откуда \[x = \frac{m\omega^2 l_0}{k - m\omega^2} = 0{,}1~\text{м} = 10~\text{см}.\]

Давление жидкости одинаково под обоими поршнями. Что можно сказать об объёмах жидкости, вытесненных поршнями за один ход?

\(F_2 = 500\) Н.

Если пренебречь гидростатическим давлением, то давление жидкости под малым и большим поршнями одинаково: \[\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}.\] Так как жидкость несжимаема, то объём, вытесненный малым поршнем, равен объёму, на который поднялся большой поршень: \[h_1S_1 = h_2S_2.\] Отсюда \(S_2 = \dfrac{h_1S_1}{h_2}\) и \[F_2 = F_1\,\frac{h_1}{h_2} = 500~\text{Н}.\]

\(U = 30\) В.

Воспользуемся законом Джоуля–Ленца: \[Q = \frac{U^2}{R}\,t,\] откуда \[U = \sqrt{\frac{QR}{t}} = 30~\text{В}.\]

\(N = 2200\).

Частота \(\nu\) — это по определению количество колебаний, которое совершает тело за единицу времени, т. е. за одну секунду. Следовательно, за \(5\) секунд будет совершено в \(5\) раз больше колебаний: \[N = \nu t = 440~\text{Гц}\cdot 5~\text{с} = 2200.\]