Ведомственная, 2013/14, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось и сравните силу натяжения нити с весом груза.

Ответ

Лифт движется вниз; \(a=g-\dfrac{F}{m}=5\) м/с\(^2\).

Решение

Направим ось \(X\) вертикально вверх. Уравнение движения груза в проекции на эту ось: \(ma_x=F-mg\), откуда \[a_x=\frac{F}{m}-g=\frac{5}{1}-10=-5\ \text{м/с}^2 .\] Отрицательное \(a_x\) означает, что ускорение лифта направлено вниз, то есть лифт движется вниз. Модуль ускорения \[|a_x|=g-\frac{F}{m}=5\ \text{м/с}^2 .\]

Подсказка

Составьте тепловой баланс дважды: для всего процесса (нагрев и таяние) и только для таяния. Подводимое тепло пропорционально времени, поэтому его коэффициент сокращается при делении уравнений.

Ответ

\(t_{\text{таяния}}=\dfrac{\lambda t}{\lambda+c(T-T_0)}\approx 0{,}96\) мин \(\approx 1\) мин.

Решение

Запишем тепловой баланс для всего процесса (нагрев льда и его таяние) и для части процесса (только таяние льда), учитывая пропорциональность подводимого тепла времени (коэффициент пропорциональности \(\alpha\)): \[\begin{cases} m\lambda+cm(T-T_0)=Q=\alpha t,\\ \lambda m=Q_{\text{таян}}=\alpha\,t_{\text{таян}}. \end{cases}\] Поделив второе уравнение на первое, получим \[\frac{t_{\text{таян}}}{t}=\frac{\lambda m}{m\lambda+cm(T-T_0)}, \qquad t_{\text{таян}}=\frac{\lambda t}{\lambda+c(T-T_0)}.\] Подставляем числа: \[t_{\text{таян}}=\frac{2{,}5\cdot10^{4}\cdot5~\text{мин}}{2{,}5\cdot10^{4}+2{,}1\cdot10^{3}\cdot50} \approx 0{,}96~\text{мин}\approx 1~\text{мин}.\]

Подсказка

Ветви соединены параллельно, поэтому на каждом сопротивлении напряжение известно через полное сопротивление ветви. Сравните мощности внутри ветви и затем между ветвями.

Ответ

Минимальная мощность выделяется на сопротивлении \(R_5\): \(P_{\text{мин}}=\dfrac{U^2R_5}{(R_5+R_6)^2}\approx 413\) Вт.

Решение

Ветви: \(R_{12}=R_1+R_2\), \(R_{34}=R_3+R_4\), \(R_{56}=R_5+R_6\), токи \(I_{12}=\dfrac{U}{R_{12}}\), \(I_{34}=\dfrac{U}{R_{34}}\), \(I_{56}=\dfrac{U}{R_{56}}\). По закону Джоуля–Ленца мощность на сопротивлении \(R_i\) ветви с полным сопротивлением \(R_{ab}\): \[P_i=R_iI^2=\frac{R_iU^2}{R_{ab}^2}.\] В каждой ветви минимальное по номиналу сопротивление выделяет минимальную мощность: \(P_1=\min\{P_1,P_2\}\), \(P_3=\min\{P_3,P_4\}\), \(P_5=\min\{P_5,P_6\}\). Далее сравниваем \(P_5\) с \(P_1\) и \(P_3\): \[P_5-P_1=U^2\left[\frac{R_5}{R_{56}^2}-\frac{R_1}{R_{12}^2}\right] =10^4\left[\frac{5}{121}-\frac{1}{9}\right]<0,\] \[P_5-P_3=U^2\left[\frac{R_5}{R_{56}^2}-\frac{R_3}{R_{34}^2}\right] =10^4\left[\frac{5}{121}-\frac{3}{49}\right]<0.\] Значит, наименьшая мощность на пятом сопротивлении: \[P_{\text{мин}}=P_5=U^2\frac{R_5}{R_{56}^2}=\frac{10^4\cdot5}{121}\approx 413~\text{Вт}.\]

Подсказка

Используйте формулу, связывающую скорость, ускорение и путь, и условие про удвоение скорости, чтобы найти ускорение; затем найдите время.

Ответ

\(\tau=\dfrac{2(n-1)S}{3v_0}\).

Решение

Из соотношения \(v^2-v_0^2=2aS\) и условия \(v=2v_0\) при \(s=S\) получаем \[4v_0^2-v_0^2=2aS \quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{2}\cdot\frac{v_0^2}{S}.\] Используем второе условие: \(nv_0=v_0+a\tau\), то есть \((n-1)v_0=a\tau\). Отсюда \[\tau=\frac{(n-1)v_0}{a}=\frac{2(n-1)S}{3v_0}.\]

Подсказка

Скорость самолета относительно земли вдоль \(AB\) складывается из ветра и скорости самолета относительно воздуха; найдите продольную скорость для каждого направления и сравните полное время с углом \(\alpha\).

Ответ

Максимум достигается при \(\alpha=0\) и \(\alpha=\pi\) (ветер вдоль \(AB\)), \(t_{\text{макс}}=\dfrac{2Sv}{v^2-u^2}\).

Решение

Ось \(X\) направим вдоль \(AB\) (от \(A\) к \(B\)). Самолет должен всё время держать курс под углом \(\beta\) к оси \(X\), так чтобы результирующая скорость была направлена вдоль \(AB\): \[\vec V_{AB}=\vec u+\vec v_{AB}.\]

Проекция на перпендикулярное направление равна нулю: \(u\sin\alpha-v\sin\beta=0\), откуда \(\sin\beta=\dfrac{u}{v}\sin\alpha\). Тогда \[V_{AB}=u\cos\alpha+v\cos\beta=u\cos\alpha+v\sqrt{1-\frac{u^2}{v^2}\sin^2\alpha}, \qquad t_{AB}=\frac{S}{V_{AB}}.\] Аналогично для обратного пути из \(B\) в \(A\): \[V_{BA}=v\sqrt{1-\frac{u^2}{v^2}\sin^2\alpha}-u\cos\alpha, \qquad t_{BA}=\frac{S}{V_{BA}}.\]

Полное время полета туда и обратно: \[t=t_{AB}+t_{BA}=\frac{2S\,v\sqrt{1-\dfrac{u^2}{v^2}\sin^2\alpha}}{v^2-u^2}.\] При заданных \(v\), \(S\), \(u\) это время максимально, когда \(\sin\alpha=0\), то есть при \(\alpha=0\) или \(\alpha=\pi\). Тогда \[t_{\text{макс}}=\frac{2Sv}{v^2-u^2}.\]