Ведомственная, 2014/15, заключительный этап, 10 класс

Выберите ось, направленную вверх, и запишите проекцию скорости на неё как функцию времени. Знак проекции скорости, направленной вниз, отрицателен.

\(t = 5\) с.

Уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх: \(v_y = v_0 - gt\). Здесь \(v_y\) — проекция скорости на вертикальную ось \(Oy\), \(v_0\) — проекция начальной скорости, \(g\) — ускорение свободного падения, \(t\) — время. Из этой формулы, подставляя \(v_y = -20\) м/с, находим, что время равно \(5\) с.

Найдите ускорение всей ракеты при старте, затем рассмотрите вторую и третью ступени как одно тело.

\(N = F\dfrac{M-m}{M}\).

Ускорение ракеты при старте \(a = \dfrac{F-Mg}{M}\). Пусть \(N\) — искомая сила. Тогда из второго закона Ньютона для второй и третьей ступеней вместе имеем: \[(M-m)a = N - (M-m)g,\] и получаем: \(N = F\dfrac{M-m}{M}\).

Сравните, за какое время пуля взаимодействует со стенкой и как далеко успевает распространиться возмущение по стеклу. Что происходит с давлением в жидкости при сжатии?

В пустом стакане за время взаимодействия пули со стенкой, которое из-за большой скорости пули мало, возмущение успевает распространиться по стеклу на небольшое расстояние. Поэтому получается маленькое отверстие, при этом выходное отверстие в противоположной стенке оказывается больше, так как скорость пули на выходе меньше.

В заполненном водой стакане в месте входа пули возникает область высокого давления, которая (жидкость сжимается очень плохо) распространяется со скоростью звука во все стороны и, достигая стенок, разрушает их.

Сила, которую прикладывает человек, имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Человек не должен проскальзывать, сани должны начать двигаться: запишите оба условия через силы трения.

\(F = \dfrac{g}{2}\sqrt{(M-m)^2 + [\mu(M+m)]^2}\).

Для того чтобы сдвинуть сани и самому не проскальзывать, человек должен приложить силу \(F\) под углом к горизонту, горизонтальная составляющая которой должна быть больше силы трения скольжения между санями и поверхностью льда, но меньше силы трения человека о поверхность льда. Сила трения скольжения равна произведению коэффициента трения \(\mu\) на силу нормального давления: \[F_x > \mu(Mg - F_y), \qquad F_x < \mu(Mg - F_y).\] Для минимальной силы можно в этих уравнениях поставить знак равенства. Учитывая, что \(F^2 = F_x^2 + F_y^2\), находим: \[F = \frac{g}{2}\sqrt{(M-m)^2 + [\mu(M+m)]^2}.\]

Закон сохранения импульса даёт скорость тележки после падения кома. Тепло равно разности механической энергии до и после падения.

\(Q = mgh + \dfrac{Mv^2}{2} - \dfrac{v^2M^2}{2(m+M)}\).

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную ось: \(Mv = (M+m)u\), где \(v\) и \(u\) — скорости тележки до падения кома и после. Из закона сохранения энергии для выделившегося тепла \(Q\) имеем: \[mgh + \frac{Mv^2}{2} = \frac{(m+M)u^2}{2} + Q,\] где \(h\) — высота, с которой упал ком. Из этих уравнений получаем: \[Q = mgh + \frac{Mv^2}{2} - \frac{v^2M^2}{2(m+M)}.\]