Ведомственная, 2014/15, заключительный этап, 11 класс

Движение по горизонтали равномерное, по вертикали равноускоренное без начальной скорости. Запишите оба уравнения для одного и того же времени падения.

\(V_0 = S\sqrt{\dfrac{g}{2H}}\).

Запишем систему кинематических уравнений: \[H = \frac{gt^2}{2}, \qquad S = V_0 t.\] Решим её относительно \(V_0\) и получим: \(V_0 = S\sqrt{\dfrac{g}{2H}}\).

По известной мощности на \(R_1\) найдите ток через \(R_1\) и \(R_2\). Затем используйте равенство напряжений на параллельных ветвях и закон сохранения заряда в узле.

\(P_4 = P_1\dfrac{R_4}{R_1}\cdot\dfrac{(R_1+R_2+R_3)^2}{R_3^2}\).

Мощность тепловых потерь \(P_1\) на сопротивлении \(R_1\) равна \(R_1I_1^2\). Отсюда находим ток, текущий через сопротивления \(R_1\) и \(R_2\): \[I_1 = \sqrt{\frac{P_1}{R_1}}.\] На концах двух параллельных ветвей сопротивлений (ветвь \(R_1 + R_2\) и ветвь \(R_3\)) одинаковая разность потенциалов, или падение напряжения: \[I_3R_3 = I_1(R_1 + R_2).\] Из последнего уравнения находим ток \(I_3\), текущий через сопротивление \(R_3\): \[I_3 = I_1\frac{R_1+R_2}{R_3} = \sqrt{\frac{P_1}{R_1}}\,\frac{R_1+R_2}{R_3}.\] Из закона сохранения электрического заряда \(I_1 + I_3 = I_4\) найдём ток \(I_4\), текущий через сопротивление \(R_4\): \[I_4 = \sqrt{\frac{P_1}{R_1}}\,\frac{R_1+R_2+R_3}{R_3}.\] Мощность тепловых потерь \(P_4\) на сопротивлении \(R_4\) равна \(R_4I_4^2\). Выразим её через известные величины: \[P_4 = P_1\frac{R_4}{R_1}\cdot\frac{(R_1+R_2+R_3)^2}{R_3^2}.\]

Пока в сосуде есть вода, пар насыщенный, и его давление зависит только от температуры. Когда вода полностью испарится, температура равна температуре кипения при атмосферном давлении. Запишите уравнение состояния пара до и после нагрева.

\(p_{1} = p_{2}\cdot0{,}71\,\dfrac{T_{\text{нач}}}{T_{\text{кон}}} \approx 0{,}69\) атм \(\approx 0{,}69\cdot10^5\) Па.

До тех пор, пока система является двухфазной (жидкость–пар), пар является насыщенным. В момент завершения перехода жидкости в пар температура смеси равна \(t_{\text{ком}} = t_{\text{нач}} + \Delta t = 100\,^\circ\)C (или \(T_{\text{ком}} = 373\) К). Следовательно, давление насыщенного пара \(p_2 \approx 1\) атм \(= 10^5\) Па.

(Примечание. Температура кипения воды равна \(100\,^\circ\)C при атмосферном давлении \(101325\) Па \(= 760\) мм рт. ст. \(= 1\) атм — из школьного учебника.)

Уравнение Менделеева–Клапейрона для начального и конечного состояния насыщенного пара: \[\begin{cases} p_1 V = \dfrac{0{,}71\,m}{M}\,RT_{\text{нач}},\\[2mm] p_2 V = \dfrac{m}{M}\,RT_{\text{кон}}, \end{cases}\] где \(m\) — масса смеси, \(0{,}71\,m\) — начальная масса пара. Отсюда: \[p_1 = p_2\cdot0{,}71\,\frac{T_{\text{нач}}}{T_{\text{кон}}} = 1~\text{атм}\cdot0{,}71\cdot\frac{363}{373} \approx 0{,}69.\]

Подумайте, что происходит с горизонтальной координатой центра масс системы «куб и три груза», если на неё не действуют внешние горизонтальные силы. Затем найдите внутреннюю горизонтальную силу, действующую на куб.

\(F = \dfrac{2mg}{3}\), направлена слева направо.

Обратим внимание на то, что сумма внешних сил, действующих на систему тел (куб и три груза) в вертикальном направлении, равна нулю. Внешние силы, действующие на систему тел в горизонтальном направлении, вообще отсутствуют. Это означает, что горизонтальная координата центра масс системы тел будет оставаться в покое (если он первоначально покоился), когда систему тел (куб и три груза) предоставят самой себе. В тот момент времени, когда грузы придут в движение, обнаружится следующая тенденция: левый груз начнёт двигаться вверх, правый груз начнёт двигаться вниз, средний груз начнёт движение слева направо (изменяя при этом горизонтальную координату центра масс системы тел). Чтобы этого не случилось (чтобы не был нарушен закон сохранения горизонтальной составляющей импульса системы тел), куб должен начать движение справа налево. Таким образом, мы должны приложить внешнюю горизонтальную силу \(F\) к кубу (направленную слева направо), чтобы куб покоился.

Рассчитать эту силу довольно просто. Решив динамическую задачу движения трёх грузов относительно неподвижного куба (куба, неподвижного относительно горизонтальной подставки), найдём линейные ускорения грузов относительно куба: \[a = \frac{g}{3}.\] Внутренние силы системы тел действуют на средний груз в горизонтальном направлении (слева направо) с результирующей силой \[\Phi = 2m\cdot\frac{g}{3} = \frac{2mg}{3}.\] С такой же по величине результирующей силой \(\Phi^*\) внутренние силы системы тел действуют в горизонтальном направлении (справа налево) на куб: \[\Phi^* = \frac{2mg}{3}.\] Чтобы куб оставался в покое, мы приложим к нему искомую силу \[F = \frac{2mg}{3},\] действующую в горизонтальном направлении слева направо.

Разбейте контур из шести рёбер на сумму трёх контуров из четырёх рёбер, каждый из которых подобен контуру из условия. Какие направления у их полей в центре куба?

\(|\vec B| = \sqrt{3}\,B_0\); вектор \(\vec B\) направлен вдоль отрезка \(OF\) в сторону точки \(F\).

Из соображений симметрии и правила буравчика следует, что вектор магнитной индукции \(\vec B_0\) поля, создаваемого током, текущим по контуру \(ABCDA\), направлен вдоль оси \(y\). Заметим, что ток \(I\), текущий по контуру \(ABCGHEA\), можно представить как сумму трёх токов \(I\), текущих по контурам \(ABCDA\), \(DCGHD\) и \(ADHEA\). Каждый из этих токов создаёт в центре куба \(O\) поле \(B_0\), направленное перпендикулярно плоскости соответствующего контура. На основании принципа суперпозиции для искомого вектора индукции можно записать: \[\vec B = \vec B_{ABCDA} + \vec B_{DCGHD} + \vec B_{ADHEA}.\] Переходя к координатной форме записи, получим: \[\vec B = (0, B_0, 0) + (-B_0, 0, 0) + (0, 0, B_0) = (-B_0, B_0, B_0).\] Таким образом, вектор \(\vec B\) направлен вдоль отрезка \(OF\) в сторону точки \(F\), а величина вектора \(\vec B\) равна \[|\vec B| = \sqrt{3}\,B_0.\]