Ведомственная, 2014/15, заключительный этап, 9 класс

Ток через \(R_1\) и \(R_2\) один и тот же, поэтому по \(P_1\) найдите \(I_1\). Затем по равенству напряжений на ветвях \(R_1+R_2\) и \(R_3\) найдите ток через \(R_3\), а через закон сохранения заряда — ток через \(R_4\).

\(P_4 = P_1\,\dfrac{R_4}{R_1}\,\dfrac{(R_1+R_2+R_3)^2}{R_3^2}\).

Мощность тепловых потерь \(P_1\) на сопротивлении \(R_1\) равна \(R_1 I_1^2\). Отсюда находим ток, текущий через сопротивления \(R_1\) и \(R_2\): \[I_1 = I_2 = \sqrt{\dfrac{P_1}{R_1}}.\] На концах двух параллельных ветвей сопротивлений (ветвь \(R_1+R_2\) и ветвь \(R_3\)) одинаковая разность потенциалов, или падение напряжения: \[I_1 (R_1+R_2) = I_3 R_3.\] Из последнего уравнения находим ток \(I_3\), текущий через сопротивление \(R_3\): \[I_3 = I_1\,\dfrac{R_1+R_2}{R_3} = \sqrt{\dfrac{P_1}{R_1}}\,\dfrac{R_1+R_2}{R_3}.\] Из закона сохранения электрического заряда \(I_1 + I_3 = I_4\) найдём ток \(I_4\), текущий через сопротивление \(R_4\): \[I_4 = \sqrt{\dfrac{P_1}{R_1}}\,\dfrac{R_1+R_2+R_3}{R_3}.\] Мощность тепловых потерь \(P_4\) на сопротивлении \(R_4\) равна \(R_4 I_4^2\). Выразим её через известные величины: \[P_4 = P_1\,\dfrac{R_4}{R_1}\,\dfrac{(R_1+R_2+R_3)^2}{R_3^2}.\]

Запишите уравнение теплового баланса: тепло, отданное водой при охлаждении до \(0^{\circ}\)C, идёт на плавление льда.

\(m_{\text{льда}} = \dfrac{c\,m_{\text{воды}}\,t}{\lambda} = 0{,}56\) кг.

Запишем уравнение теплового баланса: \[\lambda m_{\text{льда}} = Q_{\text{полученная льдом}} = Q_{\text{отданная водой}} = c\,m_{\text{воды}}\,t.\] Решая это уравнение, получим ответ задачи: \[m_{\text{льда}} = \dfrac{c\,m_{\text{воды}}\,t}{\lambda} = \dfrac{4{,}2\cdot 10^3 \cdot 30 \cdot 1{,}5}{3{,}35\cdot 10^5} = 0{,}56~\text{кг}.\]

Выразите массы жидкостей через высоту их столбов и площадь сечения, найдите высоту столба первой жидкости, а затем полную массу, которая и даёт давление на дно.

\(P = \dfrac{3\rho_1\rho_2 gH}{2\rho_1+\rho_2}\).

По условию задачи \(m_2 = n\,m_1\). Распишем это условие: \[\rho_2 S (H - h_1) = n\,\rho_1 S h_1,\] где \(S\) — площадь поперечного сечения сосуда, \(h_1\) — высота столба первой жидкости. Решая это уравнение относительно \(h_1\), получаем: \[h_1 = H\,\dfrac{\rho_2}{n\rho_1 + \rho_2}.\] Найдём массу \(m\) всего столба жидкости (\(m = m_1 + m_2\)): \[m = m_1 + m_2 = m_1 (n+1) = (n+1)\rho_1 S h_1 = \dfrac{(n+1)\rho_1\rho_2 S H}{n\rho_1 + \rho_2}.\] По определению, давление \(P\) столба обеих жидкостей на дно сосуда будет равно \[P = \dfrac{mg}{S} = \dfrac{(n+1)\rho_1\rho_2\, gH}{n\rho_1 + \rho_2}.\] Подставляя в последнее выражение \(n=2\), получим ответ задачи: \[P = \dfrac{3\rho_1\rho_2\, gH}{2\rho_1 + \rho_2}.\]

Выберите ось с началом в точке бросания нижнего тела, запишите координаты обоих тел как функции времени и приравняйте их. Не забудьте проверить, успевают ли тела долететь до земли.

\(L = 300\) м, столкновение в воздухе, на 300 м ниже точки бросания нижнего тела, т.е. между точкой бросания нижнего тела и землёй (вариант г); \(\tau_{\text{столк}} = 10\) с.

Выберем направление вертикальной оси \(x\) вверх, а начало координат — в точке, откуда бросили нижнее тело. Тогда координаты обоих тел во время полёта (до падения на землю): \[x_{\text{ниж.}}(t) = n v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}, \qquad x_{\text{верх.}}(t) = h + v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}.\] Найдём время столкновения из условия \(x_{\text{ниж.}}(\tau_{\text{столк}}) = x_{\text{верх.}}(\tau_{\text{столк}})\): \[n v_0 \tau_{\text{столк}} - \dfrac{g\tau_{\text{столк}}^2}{2} = h + v_0 \tau_{\text{столк}} - \dfrac{g\tau_{\text{столк}}^2}{2},\] откуда \[\tau_{\text{столк}} = \dfrac{h}{(n-1)v_0}.\] При выбранном начале координат (в точке бросания нижнего тела) расстояние \(L\) от точки бросания нижнего тела до точки столкновения тел находится из выражения \[L = \bigl|x_{\text{ниж.}}(\tau_{\text{столк}})\bigr| = \left|\dfrac{h}{(n-1)}\left[n - \dfrac{gh}{2(n-1)v_0^2}\right]\right| = \left|\dfrac{100}{1}\left[2 - \dfrac{10\cdot 100}{2\cdot 1\cdot 100}\right]\right| = |{-300}|~\text{м} = 300~\text{м}.\] Полученный ответ для \(L\) говорит о том, что оба тела столкнутся в воздухе (\(L < H = 600\) м), на 300 м ниже точки бросания нижнего тела.

Время столкновения тел: \[\tau_{\text{столк}} = \dfrac{h}{(n-1)v_0} = \dfrac{100}{1\cdot 10} = 10~\text{с}.\]

Подумайте, что произойдёт с горизонтальной координатой центра масс системы «куб и грузы», если куб неподвижен. Затем решите динамику грузов относительно куба.

\(F = \dfrac{2mg}{3}\), направлена слева направо.

Внешние силы, действующие на систему тел (куб и три груза) в горизонтальном направлении, отсутствуют. Значит, горизонтальная координата центра масс системы остаётся неизменной. Когда грузы придут в движение, левый груз пойдёт вверх, правый — вниз, средний — слева направо, и центр масс сместится. Чтобы этого не произошло, куб должен начать двигаться справа налево. Поэтому к кубу надо приложить внешнюю горизонтальную силу \(F\), направленную слева направо.

Решив динамическую задачу движения трёх грузов относительно неподвижного куба, найдём линейные ускорения грузов относительно куба: \[a = \dfrac{g}{3}.\] Внутренние силы системы тел действуют на средний груз в горизонтальном направлении (слева направо) с результирующей силой \(\Phi\), равной \[\Phi = 2m\,\dfrac{g}{3} = \dfrac{2mg}{3}.\] С такой же по величине результирующей силой \(\Phi^*\) внутренние силы системы тел действуют в горизонтальном направлении (справа налево) на куб: \[\Phi^* = \dfrac{2mg}{3}.\] Чтобы куб оставался в покое, к нему прикладывают искомую силу \[F = \dfrac{2mg}{3},\] действующую в горизонтальном направлении слева направо.