Ведомственная, 2015/16, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Средняя угловая скорость — это угол поворота, делённый на время. Для оценки энергии представьте тело балерины простой геометрической моделью с той же массой и характерным размером.

Ответ

1) \(\omega \approx 8{,}7\) рад/с;  2) \(\approx 378\) Дж.

Решение

Угловая скорость \(\omega = \dfrac{32\cdot 2\pi}{23} = 8{,}7\) рад/с.

Разные точки тела движутся с разной скоростью и имеют разную кинетическую энергию. Для приблизительной оценки энергии вращения сопоставим телу балерины тонкостенный цилиндр массы \(m = 50\) кг и радиуса \(R = 20\) см. Тогда суммарная кинетическая энергия всех точек цилиндра, раскрученного до угловой скорости \(\omega\), будет равна \(\dfrac{mv^2}{2}\), где \(v = \omega R\). В результате имеем \(378\) Дж.

В действительности затраченная балериной энергия на первый оборот больше, так как только примерно четверть выделяемой организмом энергии идёт на совершение механической работы.

Подсказка

Время полёта найдите из дальности прыжка и скорости. Учтите, что подъём и спуск занимают одинаковое время, и подумайте, какая высота соответствует времени спуска.

Ответ

Высота прыжка не более \(0{,}1\) м.

Решение

Скорость гепарда при прыжке направлена под небольшим углом к горизонту. Поэтому можно считать, что длительность полёта при прыжке равна его дальности, делённой на скорость, т.е. \(0{,}24\) с. Время подъёма в высшую точку траектории равно времени спуска. Следовательно, высоту прыжка можно найти из формулы \(H = \dfrac{gt^2}{2}\), где \(t\) — время спуска, равное половине длительности прыжка. Получается, что высота прыжка не более \(0{,}1\) м.

Но на такую высоту поднимается центр массы гепарда. Рассматривая прыжок, следует принять во внимание, что во время прыжка животное поджимает и вытягивает вперёд лапы, что при небольшом подъёме центра массы позволяет ему успешно преодолевать небольшие препятствия.

Подсказка

Напряжение сети не меняется. Как изменяется полное сопротивление гирлянды, если одна лампочка заменена проводником, и что это даёт для мощности, выделяемой на гирлянде?

Ответ

Мощность излучения возрастёт.

Решение

Потребляемая гирляндой мощность равна произведению силы тока на напряжение. Так как напряжение в сети не меняется, уменьшение числа лампочек приводит к уменьшению общего сопротивления гирлянды и росту силы тока. Следовательно, потребляемая мощность и мощность излучения возрастут.

Подсказка

При равномерном движении сила трения уравновешивает проекцию силы тяжести вдоль стержня; это даёт коэффициент трения. Затем запишите ускорение при другом угле наклона.

Ответ

\(t=\sqrt{\dfrac{2L}{g\left(\sin\beta-\mathrm{tg}\,\alpha\cos\beta\right)}}\).

Решение

Силы, действующие на шайбу при её движении по стержню, показаны на рисунке.

\(F\), \(N\), \(Mg\) — силы трения, нормальной реакции опоры и тяжести соответственно; \(M\) — масса шайбы. Ускорение \(a\) направлено вдоль стержня. Из второго закона Ньютона имеем: \[Ma = Mg\sin\alpha - F, \qquad 0 = N - Mg\cos\alpha.\] Сила трения скольжения \(F = kN\), где \(k\) — коэффициент трения. При равномерном движении \(a = 0\). Следовательно, \(k = \mathrm{tg}\,\alpha\).

При угле наклона \(\beta\) ускорение \(a = g(\sin\beta - k\cos\beta)\). Время спуска \(t\) находится из формулы \(L = \dfrac{at^2}{2}\). Подставляя сюда выражения для \(a\) и \(k\), получаем: \[t = \sqrt{\dfrac{2L}{g(\sin\beta - \mathrm{tg}\,\alpha\cos\beta)}}.\]

Подсказка

Шарик отрывается от поверхности в той точке, где сила реакции опоры обращается в ноль. Запишите второй закон Ньютона в радиальном направлении и закон сохранения энергии для движения по поверхности шарика.

Ответ

\(S=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{RH}{3}}\).

Решение

Трением пренебрегаем, и поэтому считаем, что шарик не раскручивается. В момент отрыва шарика от стола сила реакции опоры равна нулю, т.е. на шарик действует только сила тяжести. В этот момент движение шарика можно представить как вращение вокруг края стола со скоростью центра шарика \(v\). В проекциях на радиус второй закон Ньютона даёт: \(Ma = Mg\cos\varphi\), где \(M\) — масса шарика, \(a\) — центростремительное ускорение, \(a = \dfrac{v^2}{R}\).

Скорость может быть найдена из закона сохранения энергии: \(Mg\,\Delta h = \dfrac{Mv^2}{2}\), где \(\Delta h = R - R\cos\varphi\) (см. рис.).

Из этих соотношений находим: \(\cos\varphi = \dfrac{2}{3}\). Скорость направлена в этот момент перпендикулярно радиусу шарика. Её горизонтальная составляющая равна \(v\cos\varphi\). Так как высота стола по условию много больше радиуса шарика, вертикальной составляющей начальной скорости и величиной \(\Delta h\) можно пренебречь, и время падения \(t\) найти из формулы \(H = \dfrac{gt^2}{2}\). Тогда расстояние от края стола по горизонтали, на котором упадёт шарик, \(S = (v\cos\varphi)\,t = \dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{RH}{3}}\).