Ведомственная, 2015/16, заключительный этап, 11 класс

Вершина, соседняя с закреплённой, движется по окружности радиуса \(L\) вокруг неё. Разложите её ускорение по направлению стержня и по перпендикуляру к нему.

\(w = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}\).

Для удобства рассмотрения пронумеруем вершины ромба так, как показано на рисунке. Поскольку характер движения вершин 2 и 4 одинаков, будем рассматривать только вершину 2.

В момент времени, когда ромб превратится в квадрат, двигающаяся с ускорением \(a\) вершина 3 будет иметь скорость \(v\). К этому моменту времени вершина 2 сместится в направлении движения вершины 3 на вдвое меньшее расстояние, чем прошла вершина 3. Значит, проекции скорости и ускорения вершины 2 на направление движения вершины 3 будут равны \(v/2\) и \(a/2\) соответственно. К рассматриваемому моменту времени вершина 3 пройдёт путь \(S = L\sqrt{2}\). Поэтому \[v = \sqrt{2aS} = \sqrt{2aL\sqrt{2}} = 2^{3/4}\sqrt{aL} .\] Так как стержни жёсткие, то вершина 2 всё время движется по окружности радиусом \(L\) с центром в вершине 1. Поэтому скорость \(u\) вершины 2 направлена по касательной к этой окружности, то есть в рассматриваемый момент времени направлена вдоль стержня, соединяющего вершины 2 и 3. Следовательно, можно записать \[u = \dfrac{v/2}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \dfrac{v}{\sqrt{2}} = 2^{1/4}\sqrt{aL} .\] Проекция ускорения вершины 2 на направление стержня, соединяющего её с вершиной 1, есть центростремительное ускорение, равное \[\dfrac{u^2}{L} = a\sqrt{2} .\] Мы нашли проекции ускорения вершины 2 на два различных направления. Полное ускорение можно найти, нарисовав соответствующим образом направленные векторы компонентов ускорения, имеющие длины \(a/2\) и \(a\sqrt{2}\), восстановив перпендикуляры к ним. Точка пересечения этих перпендикуляров позволит определить направление и величину вектора ускорения вершины 2. Чертёж удобно построить следующим образом. Выберем масштаб так, чтобы вектор \(a/2\) на чертеже имел длину, равную четверти диагонали нашего квадрата. Тогда вектор \(a\sqrt{2}\) будет иметь длину, равную стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получаем: \[w = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + \left(a\sqrt{2} + \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = a\sqrt{\dfrac{13}{2}} .\]

На тело действуют сила тяжести и сила реакции клина, перпендикулярная его грани. Подумайте, какое ускорение должно получиться у клина, чтобы нужное направление ускорения тела выполнилось.

За время \(nT\) спутник обгоняет точку на Земле на один полный оборот относительно неё. Сравните угловые скорости спутника и Земли.

\(\eta = \dfrac{R_с}{R_З} \approx 5\).

Угловые скорости спутника и Земли связаны условием \((\omega-\omega_з)\,nT = 2\pi\), где \(\omega_з = \dfrac{2\pi}{T}\). Отсюда \[\omega = \dfrac{2\pi}{nT} + \omega_з = \dfrac{2\pi}{T}\left(n+\dfrac{1}{n}\right) .\]

Закон всемирного тяготения и условие на орбите дают \[m\omega^2 R_с = \gamma\dfrac{m M_з}{R_с^2} .\]

Из равенства \(mg = \gamma\dfrac{m M_З}{R_З^2}\) получаем \(\gamma M_з = g R_з^2\), а значит \[\omega^2 = \dfrac{g R_З^2}{R_с^2} .\] Тогда \[\eta = \dfrac{R_с}{R_З} = \sqrt[3]{\dfrac{g}{\omega^2 R_З}} = \sqrt[3]{\dfrac{T^2 g n^2}{4\pi^2 R_З (n+1)^2}} \approx 5 .\]

При движении в поле в перемычке возникает ЭДС, а значит ток и сила Ампера, направленная против движения. Установившаяся скорость — когда сумма сил вдоль рамки равна нулю.

Шары изолированы, поэтому сумма их зарядов равна нулю. Потенциал уединённого шара пропорционален заряду и обратно пропорционален радиусу. Напряжения на резисторах цепи делятся в отношении \(1:2\).

\(Q_1 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\rho\,\xi(r+3\rho)}{3r}\);  \(Q_2 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\,\xi\rho(3\rho-2r)}{3r}\);  \(Q_3 = 4\pi\varepsilon_0\,\xi\rho\).

Пусть \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) — заряды шаров после их подсоединения к цепи. Поскольку шары были изначально не заряжены и заряд на электрической цепи и соединительных проводниках мал, то \(Q_1+Q_2+Q_3 = 0\). Найдём разность потенциалов между точками 1 и 2, а также между точками 2 и 3 цепи: \[\varphi_1 -\varphi_2 = \dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0\rho} - \dfrac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r} = \dfrac{\xi}{3} , \qquad \varphi_2 -\varphi_3 = \dfrac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r} - \dfrac{Q_3}{4\pi\varepsilon_0\rho} = \dfrac{2\xi}{3} .\] Решая полученную систему уравнений, находим: \[Q_1 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\rho\,\xi(r+3\rho)}{3r} ; \quad Q_2 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\,\xi\rho(3\rho-2r)}{3r} ; \quad Q_3 = 4\pi\varepsilon_0\,\xi\rho .\]

Верхний конец и нижний связаны стержнем длиной 1 м: найдите горизонтальную координату нижнего конца через высоту верхнего и продифференцируйте по времени.

\(160\) см/с.

Гравитация на орбите сообщает спутнику центростремительное ускорение. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли и высоты.

\(6400\) м/с.

Горизонтальный импульс системы равен нулю, значит центр масс системы остаётся на месте.

\(2\) м.

Учтите трение, которое работает на всём пути бруска по доске, и то, что при упругом ударе скорость бруска меняет направление на противоположное относительно упора.

\(3\) м/с.

Вдоль пластин скорость электрона постоянна, а поперёк пластин он движется с ускорением. Электрон не должен долететь до пластины за время прохождения конденсатора.

\(400\) В.

Токи в параллельных ветвях обратно пропорциональны сопротивлениям. Сравните ток через амперметр и ток через шунт.

\(2\) А.