Ведомственная, 2015/16, заключительный этап, 9 класс

Шар в равновесии, значит сила тяжести уравновешена архимедовыми силами из двух жидкостей. Каждая из сил зависит от того, какая доля объёма шара погружена в жидкость.

\(\rho_ш = \rho_{\text{рт}}\,n + \rho_м\,(1-n)\).

Запишем условие плавания (равновесия) тела на границе двух не перемешивающихся жидкостей (сила тяжести шара уравновешивается силой Архимеда): \[\rho_ш V g = \rho_{\text{рт}}\, n V g + \rho_м (1-n) V g .\] Сокращая \(Vg\), получим искомый ответ.

Неподвижный относительно земли спутник обращается с периодом, равным суткам. Сравните центростремительное ускорение на его орбите с ускорением свободного падения у поверхности Земли.

\(\eta = \dfrac{R_с}{R_З} = \sqrt[3]{\dfrac{g T^2}{4\pi^2 R_З}} \approx 6{,}7\) раз.

Движение спутника в околоземном пространстве описывается уравнением \[m\omega^2 R_с = \gamma \dfrac{m M_З}{R_с^2},\] где \(m\) — масса спутника, \(\omega\) — частота его вращения (совпадающая с частотой суточного вращения Земли \(\omega_З = 2\pi/T\), \(T = 24\) часа), \(\gamma\) — гравитационная постоянная, \(M_З\) — масса Земли. Сокращая \(m\), получим \[\omega^2 = \gamma \dfrac{M_З}{R_с^3} .\] Из очевидного равенства \(mg = \gamma \dfrac{m M_З}{R_З^2}\) получим \(\gamma M_З = g R_З^2\) и подставим полученное соотношение в числитель: \[\omega^2 = \dfrac{g R_З^2}{R_с^3} .\] Подставив в эту формулу \(\omega_З = 2\pi/T\) и решив уравнение относительно \(\eta\), ответим на вопрос задачи.

Длина каждого стержня при нагреве равна начальной длине, умноженной на \((1+\alpha t)\). Условие постоянства разности длин при любой температуре даёт второе уравнение.

\(L_{0\text{м.}} = \dfrac{\Delta L\,\alpha_{\text{с.}}}{\alpha_{\text{м.}}-\alpha_{\text{с.}}} = 24\) см,  \(L_{0\text{с.}} = \dfrac{\Delta L\,\alpha_{\text{м.}}}{\alpha_{\text{м.}}-\alpha_{\text{с.}}} = 34\) см.

Длина каждого из стержней при температуре \(t\) будет определяться выражениями \[L_с = L_{0.c}(1 + \alpha_c t), \qquad L_м = L_{0.м}(1 + \alpha_c t) .\]

Вычитая одно из другого, получим: \[L_с - L_м = L_{0.c} - L_{0.м} = L_{0.c}\alpha_c - L_{0.м}\alpha_м .\] С учётом условия задачи \[L_{0.c} - L_{0.м} = L_с - L_м = \Delta L .\] Выражение (3) примет вид: \[L_{0.c}\alpha_c - L_{0.м}\alpha_м = 0 .\] Решая систему уравнений, ответим на вопрос задачи.

Ток большой величины должен в основном идти в обход прибора. Подберите параллельное прибору сопротивление, которое пропускает нужную долю тока.

Гальванометр нужно зашунтировать, подключив параллельно ему сопротивление \(R_ш \approx 0{,}12\) мОм.

Для того чтобы гальванометр можно было использовать как амперметр, его надо шунтировать, т. е. замкнуть его клеммы сопротивлением \(R_ш\). Расчёт величины \(R_ш\) есть в каждом учебнике элементарной физики. Приводим его без вывода: \[R_ш = \dfrac{R_г}{n-1} ,\] здесь \(n = I/I_г\). Тогда \[R_ш = \dfrac{R_г}{n-1} = \dfrac{R_г}{\dfrac{I}{I_г}-1} \approx \dfrac{R_г I_г}{I} = 0{,}12\ \text{мОм} .\] В аналитической формуле ответа учтено, что \(I \gg I_г\).

Удобно направить оси вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей: по перпендикуляру движение равноускоренное. Высота полёта над плоскостью максимальна в момент, когда перпендикулярная составляющая скорости обращается в ноль.

\(h_{\text{макс.}} = \dfrac{v_0^2}{2g\cos\alpha}\) при \(\beta^* = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\).

Выберем оси координат следующим образом. Ось \(Ox\) направим вниз вдоль наклонной плоскости. Ось \(Oy\) направим вверх, перпендикулярно оси \(Ox\) и, следовательно, перпендикулярно поверхности наклонной плоскости. См. рис.

После этого записываем, как изменяются со временем координаты тела \(x(t)\), \(y(t)\) и проекции скоростей тела на оси \(Ox\) и \(Oy\): \(v_x(t)\), \(v_y(t)\): \[x(t) = v_o\cos(\alpha+\beta)\, t + \dfrac{g\sin\alpha\, t^2}{2} ,\] \[y(t) = v_o\sin(\alpha+\beta)\, t - \dfrac{g\cos\alpha\, t^2}{2} ,\] \[v_x(t) = v_o\cos(\alpha+\beta) + g\sin\alpha\, t , \qquad v_y(t) = v_o\sin(\alpha+\beta) - g\cos\alpha\, t .\] Приравнивая нулю выражение (4), найдём время \(\tau_{\text{под}}\) подъёма тела на максимальное относительно наклонной плоскости расстояние: \[\tau_{\text{под}} = \dfrac{v_0 \sin(\alpha+\beta)}{g \cos\alpha} .\] Подставляя его в (2), получим наибольшее расстояние \(h\) между телом и плоскостью в процессе полёта тела: \[h = y(\tau_{\text{под}}) = \dfrac{v_0^2 \sin^2(\alpha+\beta)}{2g\cos\alpha} .\] Из последнего выражения следует, что высота подъёма тела над наклонной плоскостью (как функция угла \(\beta\)) будет максимальна (\(h_{\text{макс.}}\)), если \((\alpha+\beta)=\pi/2\). Следовательно, если \(\beta^* = \pi/2-\alpha\), \[h_{\text{макс.}} = \dfrac{v_0^2}{2g\cos\alpha} .\]

Переведите скорость в метры в секунду и используйте определение ускорения.

\(a = 1\) м/с\(^2\).

Потенциальная энергия растянутого шнура переходит в кинетическую энергию камня.

\(v = 10\) м/с.

Изменение потенциальной энергии равно \(mg\,\Delta h\), где \(\Delta h\) — изменение высоты центра масс бруска.

\(\Delta E_п = 800\) Дж.

При постоянном давлении объём пропорционален абсолютной температуре.

\(\Delta t = 273\,^\circ\)C.

После соприкосновения одинаковые шарики получают одинаковые заряды, равные полусумме исходных. Дальше — закон Кулона.

\(r = 3\) см.