Ведомственная, 2016/17, заключительный этап, 10 класс

Перейдите в систему отсчёта, связанную с крейсером: в ней катер движется со скоростью, равной разности скоростей. Время до носа и обратно найдите как сумму двух равномерных движений.

\(t \approx 1{,}1\) мин.

Перейдя в систему отсчёта, связанную с крейсером, находим время движения катера туда и обратно: \[t = \frac{L}{v+u} + \frac{L}{v-u},\] где \(v\) и \(u\) — скорости катера и крейсера соответственно, \(L\) — длина крейсера. Подставляя значения этих величин, получаем \(t = 1{,}1\) мин.

Запишите закон сохранения механической энергии ракеты на поверхности Земли и на бесконечности. Потенциальная энергия на бесконечности равна нулю.

\(u = 5{,}32\) км/с.

Пусть \(v_1 = 11{,}2\) км/с, \(v_2 = 12{,}4\) км/с, \(u\) — искомая скорость, \(m\) — масса ракеты. Из закона сохранения энергии следует, что потенциальная энергия ракеты на бесконечности равна \(mv_1^2/2\). Следовательно, \[\frac{mv_2^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mu^2}{2}.\] Отсюда \[u = \sqrt{v_2^2 - v_1^2} = 5{,}32~\text{км/с}.\]

Удар неупругий, поэтому в первые мгновения сохраняется импульс системы. Дальше максимальная скорость достигается в положении, где результирующая сила равна нулю, и там удобно применить закон сохранения энергии.

\(v = \sqrt{\dfrac{g^2 m^2}{k(M+m)} + \dfrac{2ghm^2}{(M+m)^2}}\).

До соударения с шайбой пластина находилась в равновесии, т.е. сумма сил, действующих на пластину, равнялась нулю: \(Mg = kl_0\), где \(l_0\) — первоначальное растяжение шнура. Скорость шайбы в момент удара о пластину \(u_0 = \sqrt{2gh}\). Из закона сохранения импульса имеем \[m u_0 = (m+M) u,\] где \(u\) — скорость пластины с шайбой сразу после удара. Максимальную скорость пластина с шайбой будет иметь в том момент, когда их ускорение равно нулю. Из второго закона Ньютона следует \(kl - Mg = 0\), где \(l\) — соответствующее растяжение шнура. Принимая потенциальную энергию пластины с шайбой в поле силы тяжести в этот момент равной нулю, запишем закон сохранения энергии \[(M+m)g(l-l_0) + \frac{kl_0^2}{2} + \frac{(M+m)u^2}{2} = \frac{kl^2}{2} + \frac{(M+m)v^2}{2}.\] Из полученных выражений находим \[v = \sqrt{\frac{g^2 m^2}{k(M+m)} + \frac{2gh\,m^2}{(M+m)^2}}.\]

Среднеквадратичная скорость связана со средней кинетической энергией атомов. При соединении баллонов с одинаковым числом атомов средняя энергия атомов усредняется по двум баллонам.

\(v \approx 1897\) м/с.

Среднеквадратичную скорость молекул можно найти, используя закон сохранения энергии \[2\cdot\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2}.\] Здесь \(v_1 = 1200\) м/с, \(v_2 = 2400\) м/с. Искомая среднеквадратичная скорость \[v = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2}{2}} = 1897~\text{м/с}.\]

Давление у поверхности равно весу атмосферы, делённому на площадь поверхности. Ускорение свободного падения выразите через плотность и радиус планеты, а площадь поверхности и массу планеты — через радиус.

\(m_з/m_м \approx 210\), т.е. масса атмосферы Марса примерно в 210 раз меньше массы земной атмосферы.

Давление \(p = \dfrac{mg}{s}\), где \(m\) — масса атмосферы, \(g\) — ускорение свободного падения, \(s\) — площадь поверхности планеты. Поскольку атмосфера относительно тонкая, полагаем, что ускорение свободного падения в её пределах существенно не изменяется. Ускорение свободного падения \[g = \frac{GM}{R^2},\] где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\), \(R\) — масса и радиус планеты. Масса планеты равна произведению плотности \(\rho\) на объём, который пропорционален \(R^3\). Площадь \(s\) пропорциональна \(R^2\). Тогда \[\frac{p_з}{p_м} = \frac{m_з\rho_з R_м}{m_м\rho_м R_з},\] где индексы «з» и «м» обозначают соответствующие величины на Земле и Марсе. Тогда для отношения масс атмосфер получаем \[\frac{m_з}{m_м} = \frac{p_з}{p_м}\cdot\frac{\rho_м R_з}{\rho_з R_м}.\] Откуда получаем, что масса атмосферы Марса примерно в 210 раз меньше, чем Земли.