Ведомственная, 2016/17, заключительный этап, 9 класс

Абсолютная влажность равна относительной, умноженной на плотность насыщенного пара при той же температуре. Масса испарившейся воды равна разности масс пара до и после.

\(m \approx 207{,}6\ \text{г}\).

\(m = m_2 - m_1\), где \(m_2\) и \(m_1\) — массы водяного пара после и до испарения воды в комнате. По определению абсолютная \(\rho\) и относительная \(B\) влажности воздуха при соответствующей температуре связаны соотношением \[\rho = B\,\rho_{\text{нас}},\] где \(\rho_{\text{нас}}\) — плотность насыщающего пара при той же температуре, которая находится из таблицы. Для данной задачи \(\rho_{\text{нас}}(t = 20\ ^\circ\text{C},\ T = 293\ \text{К}) = 17{,}30\cdot10^{-3}\ \text{кг/м}^3\). Массы водяного пара в комнате с объемом \(V\) до и после испарения дополнительной массы воды равны соответственно \[m_1 = \rho_1 V = B_1\rho_{\text{нас}}V; \qquad m_2 = \rho_2 V = B_2\rho_{\text{нас}}V.\] Используя последние соотношения, получаем \[m = m_2 - m_1 = (B_2 - B_1)\rho_{\text{нас}}V = (0{,}5-0{,}2)\cdot 17{,}3\cdot 10^{-3}\cdot 4 = 207{,}6\ \text{г}.\]

\(w = \dfrac{(\sigma_в - \sigma_{м.р.})L}{m} \approx 1{,}36\ \text{м/с}^2\).

Благодаря смачиванию на соломинку (в горизонтальном направлении, перпендикулярном оси соломинки) действуют нескомпенсированные силы: \(F_в = \sigma_в L\) со стороны воды и \(F_{м.р.} = \sigma_{м.р.} L\) со стороны мыльного раствора. По второму закону Ньютона \[mw = F_в - F_{м.р.} = \sigma_в L - \sigma_{м.р.} L.\] Искомое ускорение соломинки \[w = \frac{(\sigma_в - \sigma_{м.р.})L}{m} = \frac{(7{,}4 - 4{,}0)\cdot 10^{-2}\cdot 4\cdot 10^{-2}}{10^{-3}} \approx 1{,}36\ \text{м/с}^2.\]

\(L_0 = 5\ \text{см}\).

Условия равновесия разных по массе тел, подвешенных поочередно к одной и той же пружине, имеют вид \[m_1 g = (L_1 - L_0)k, \qquad m_2 g = (L_2 - L_0)k.\] Разделив почленно два выражения (убрав при этом неизвестную величину \(k\)) и решив полученное уравнение относительно \(L_0\), получим \[L_0 = \frac{m_2L_1 - m_1L_2}{m_2 - m_1} = \frac{0{,}2\cdot0{,}1 - 0{,}1\cdot0{,}15}{0{,}2 - 0{,}1} = 0{,}05\ \text{м} = 5\ \text{см}.\]

\(v_0 = \dfrac{L}{\tau}\cdot\dfrac{\mu^2 + 2\mu - n}{\mu(\mu+1)}\) при \(n = 3\), \(\mu = 2\), то есть \(v_0 = \dfrac{5L}{6\tau}\).

Решим более общую задачу, когда тело проходит второй участок пути длиной \(nL\) за время \(\mu\tau\), где \(n\) и \(\mu\) — безразмерные величины. Для первого участка пути длиной \(L\): \[L = v_0\tau + \frac{w\tau^2}{2}, \qquad v(\tau) = v_0 + w\tau,\] где \(w\) — ускорение тела. Скорость \(v(\tau)\) является конечной скоростью тела на первом участке и начальной скоростью на втором участке длиной \(nL\). Для второго участка длиной \(\mu L\) пишем одно кинематическое соотношение: \[nL = (v_0 + w\tau)\mu\tau + \frac{w(\mu\tau)^2}{2}.\] Получаем систему двух уравнений для определения \(v_0\) и \(w\): \[L = v_0\tau + \frac{w\tau^2}{2}, \qquad nL = \mu v_0\tau + \frac{w\tau^2}{2}\,(2\mu + \mu^2).\] Решая ее, находим \[v_0 = \frac{L}{\tau}\cdot\frac{\mu^2 + 2\mu - n}{\mu(\mu+1)}, \qquad w = \frac{2L}{\tau^2}\cdot\frac{n - \mu}{\mu(\mu+1)}.\] Для данной задачи \(n = 3\), \(\mu = 2\).

\(\vec v_1 = \vec v_0 - \vec u\,\dfrac{m}{m+M}\);  \(\vec v_2 = \vec v_0 + \vec u\,\dfrac{mM}{(m+M)^2}\).

Опишем в инерциальной системе отсчета, связанной с берегом, акт выброса груза из первой лодки, применив закон сохранения импульса для системы тел «1-я лодка + груз»: \[(m + M)\vec v_0 = m\vec U + M\vec v_1,\] где \(\vec U\) — скорость выброшенного груза относительно берега. Здесь \[\vec U = \vec u + \vec v_1.\] Подставляя это во первое уравнение и решая его относительно \(\vec v_1\), получаем \[\vec v_1 = \vec v_0 - \vec u\,\frac{m}{m+M}.\] Опишем в инерциальной системе отсчета, связанной с берегом, акт падения груза во вторую лодку, применив закон сохранения импульса для системы тел «2-я лодка + груз»: \[M\vec v_0 + m\vec U = (M + m)\vec v_2.\] Подставляя в него \(\vec U\) и найденное \(\vec v_1\), получаем \[\vec v_2 = \vec v_0 + \vec u\,\frac{mM}{(M+m)^2}.\] Векторы \(\vec v_0\) и \(\vec u\) имеют противоположные направления (по существу условия задачи). Это означает, что величина скорости первой лодки после перебрасывания груза увеличится, а величина скорости второй лодки после перебрасывания груза уменьшится.