Ведомственная, 2018/19, заключительный этап, 10 класс

Силы поверхностного натяжения действуют по периметру трубки на её внешнюю и внутреннюю поверхности.

\(r=\dfrac{mg}{4\pi\alpha}\approx 1{,}4\) мм.

Силы поверхностного натяжения действуют на внутреннюю и внешнюю поверхности трубки. Радиусы кривизны этих поверхностей можно считать одинаковыми из-за тонкости стенки трубки, значит, одинаковы и силы, действующие на внутреннюю и внешнюю поверхности. Тогда условие второго уравновешивания весов записывается так: \[mg=2\cdot 2\pi r\alpha.\] Отсюда \(r=\dfrac{mg}{4\pi\alpha}=1{,}4\) мм.

При упругом ударе о стенку сохраняется составляющая скорости, параллельная стенке, а перпендикулярная меняет знак. Проследите за знаками трёх компонент.

\(\Delta\vec V=-2\vec V\).

При упругом столкновении отражение частицы от стенки зеркальное: сохраняется компонента импульса, параллельная стенке, а перпендикулярная ей меняет направление на противоположное. Пусть ось \(OX\) перпендикулярна первой стенке, с которой столкнулась частица, а импульс частицы до столкновения имеет проекции \((p_x,p_y,p_z)\). После столкновения с первой стенкой импульс имеет проекции \((-p_x,p_y,p_z)\). Ось \(OY\) выберем перпендикулярно второй стенке; после столкновения с ней проекции \((-p_x,-p_y,p_z)\), а после столкновения с третьей стенкой, перпендикулярной оси \(OZ\), — \((-p_x,-p_y,-p_z)\). Таким образом, после трёх столкновений вектор импульса, а значит, и скорости меняет направление на противоположное: \(\vec V'=-\vec V\), и изменение вектора скорости \(\Delta\vec V=-\vec V-\vec V=-2\vec V\).

Горизонтальный импульс системы «тело + половина» равен нулю, а механическая энергия сохраняется. Масса половины равна четверти массы целого куба за вычетом выемки.

\(h=\dfrac{M^2}{(m+M)^2}H=\dfrac{H\,\rho^2a^6(6-\pi)^2}{\left(24m+\rho a^3(6-\pi)\right)^2}\), где \(M=\dfrac{\rho a^3(6-\pi)}{24}\) — масса каждой половины.

Пусть масса левой и правой части равна \(M\), скорость тела \(m\) в нижней точке траектории — \(U\), скорость левой части в этот момент — \(V\). Законы сохранения энергии и импульса: \[mgH=\frac{mU^2}{2}+\frac{MV^2}{2}, \qquad (1)\qquad MV=mU. \qquad (2)\] Пусть скорость тела \(m\) в верхней точке траектории — \(U_1\), скорость правой части в этот момент — тоже \(U_1\). Законы сохранения энергии и импульса: \[\frac{mU^2}{2}=\frac{(m+M)U_1^2}{2}+mgh, \qquad (3)\qquad mU=(m+M)U_1. \qquad (4)\] Выразив \(V\) из (2) и подставив в (1), находим \(U^2=\dfrac{2Mg H}{m+M}\). Из (4) \(U_1=\dfrac{m}{m+M}U\). Подставляя в (3), получаем \[h=\frac{M^2}{(m+M)^2}\,H. \qquad (5)\] Найдём массу \(M\): это масса целого куба минус масса шара диаметра \(a\), делённая на четыре: \[M=\frac{\rho a^3-\rho\cdot\frac{\pi a^3}{6}}{4}=\frac{\rho a^3(6-\pi)}{24}.\] Подставив \(M\) в (5), получаем \[h=\frac{H\,\rho^2a^6(6-\pi)^2}{\left(24m+\rho a^3(6-\pi)\right)^2}.\]

Выделенная молекула за секунду проходит путь \(\langle V_{отн}\rangle\); столкновение происходит, если центр другой молекулы попадает в цилиндр радиуса \(d\) вокруг её траектории.

\(\nu=\pi d^2 n\langle V_{отн}\rangle\).

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, равно диаметру молекулы \(d\) (это расстояние называется эффективным диаметром молекулы). Чтобы посчитать среднее число столкновений \(\nu\), предположим, что все молекулы, кроме данной, застыли неподвижно на своих местах (тогда она движется со средней скоростью относительного движения \(\langle V_{отн}\rangle\)). Проследим за её движением. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнётся с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис.). Это соударение произойдёт, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии меньшем эффективного диаметра \(d\). В результате столкновения молекула изменит направление движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно.

За секунду наша молекула проходит путь, равный \(\langle V_{отн}\rangle\). Число соударений с неподвижными молекулами равно числу молекул, центры которых попадают внутри коленчатого цилиндра длины \(\langle V_{отн}\rangle\) и радиуса \(d\). Так как в газе расстояние между молекулами много больше их диаметра, объём цилиндра равен \(\pi d^2\langle V_{отн}\rangle\). Умножив этот объём на число молекул в единице объёма \(n\), получим среднее число столкновений за секунду движущейся молекулы с неподвижной: \[\nu=\pi d^2 n\langle V_{отн}\rangle.\]

Токи задают направления, а значит, знаки потенциалов узлов. Запишите закон Ома для резисторов \(R_1\) и \(R_2\) и найдите разность потенциалов на конденсаторе \(C_1\).

\(q_1=C_1R(I_1+I_2)\).

Нарисуем рисунок, соответствующий условиям задачи, и обозначим на нём потенциалы узлов схемы. По направлениям токов видно, какая из пластин конденсатора заряжена положительно, а также соотношение между потенциалами: \(\varphi_2>\varphi_0>\varphi_1\).

Ток \(I_2\) порождён разностью потенциалов \(\varphi_2-\varphi_0\), поэтому по закону Ома для участка цепи \[\varphi_2-\varphi_0=I_2R. \qquad (1)\] Аналогично для тока \(I_1\): \[\varphi_0-\varphi_1=I_1R. \qquad (2)\] Сложив (1) и (2), получим \(\varphi_2-\varphi_1=R(I_1+I_2)\). Разность потенциалов \(\varphi_2-\varphi_1\) обуславливает заряд на пластинах конденсатора \(C_1\): по формуле ёмкости \(C=q/U\) с \(U=\varphi_2-\varphi_1\) получаем \[q_1=C_1R(I_1+I_2).\]