Ведомственная, 2018/19, заключительный этап, 11 класс

Положение равновесия чаши сдвигается на вес птички. Какое смещение относительно нового положения равновесия даёт сдвиг равновесия, и какая масса колеблется?

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{MA}{mg}}\).

Когда птичка сидит на чаше, система находится в покое: \[(m+M)g = kx,\] где \(k\) — жёсткость пружины, \(x\) — её сжатие. Положение равновесия чаши без птички \(x_0\) находится из условия равенства сил тяжести и упругости: \[Mg = kx_0.\] Амплитуда колебаний \(A = x - x_0\), откуда \(A = \dfrac{mg}{k}\). Период колебаний чаши на пружине \[T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}.\] Из этих соотношений получаем \[T = 2\pi\sqrt{\frac{MA}{mg}}.\]

Запишите выделившуюся энергию как разность кинетических энергий осколков и исходного снаряда. Выразите её через \(k = m_2/m_1\) и найдите минимум.

\(\dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{1}{3}\);  \(E_{\min} = \dfrac{p_1 p_2 (1-\cos\alpha)}{M} = 1{,}35\cdot10^6\) Дж.

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) — массы осколков, \(M = m_1 + m_2\) — масса снаряда. По закону сохранения импульса \(\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2\), откуда \(p_0^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2\cos\alpha\). Кинетические энергии до и после взрыва соответственно равны \[E_0 = \frac{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2\cos\alpha}{2(m_1+m_2)}, \qquad E_{\text{кон}} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}.\] Выделившаяся при взрыве кинетическая энергия \[E = E_{\text{кон}} - E_0 = \left(\frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}\right) - \frac{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2\cos\alpha}{2(m_1+m_2)}.\] После преобразования \[E = \frac{1}{2M}\left(p_1^2 k + \frac{p_2^2}{k} - 2p_1p_2\cos\alpha\right), \qquad k = \frac{m_2}{m_1}.\] Минимум находим из условия \(\dfrac{dE}{dk} = \dfrac{1}{2M}\left(p_1^2 - \dfrac{p_2^2}{k^2}\right) = 0\), откуда \(k = \dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{1}{3}\). Подставляя это значение в выражение для энергии, \[E_{\min} = \frac{p_1 p_2 (1-\cos\alpha)}{M} = 1{,}35\cdot10^6~\text{Дж}.\]

Расставьте потенциалы узлов по направлениям токов. Разность потенциалов на конденсаторе \(C_1\) — это сумма падений напряжения на резисторах \(R_1\) и \(R_2\).

\(q_1 = C_1 R\,(I_1 + I_2)\).

Обозначим потенциалы узлов схемы и расставим их по направлениям токов: \(\varphi_2 > \varphi_0 > \varphi_1\). Ток \(I_2\) создан разностью потенциалов \(\varphi_2 - \varphi_0\), а ток \(I_1\) — разностью \(\varphi_0 - \varphi_1\): \[\varphi_2 - \varphi_0 = I_2 R, \qquad \varphi_0 - \varphi_1 = I_1 R.\] Сложив эти выражения, получим \(\varphi_2 - \varphi_1 = R(I_1 + I_2)\). Эта разность потенциалов приложена к конденсатору \(C_1\), поэтому по определению ёмкости \(C = q/U\) \[q_1 = C_1 R\,(I_1 + I_2).\]

Пока катушки соединены параллельно, напряжения на них равны при любых токах. Сравните скорости изменения токов в катушках: что остаётся постоянным?

\(I_0 = \dfrac{\varepsilon}{3r}\).

После замыкания ключа \(K_2\) напряжения на концах обеих катушек в любой момент времени равны друг другу. Так как активные сопротивления катушек равны нулю, это условие записывается в виде равенства ЭДС самоиндукции: \[L\frac{dI_1}{dt} = L\frac{dI_2}{dt},\] где \(L\) — индуктивность катушек, \(I_1\) и \(I_2\) — силы токов в катушках. Отсюда \(I_1(t) - I_2(t) = \text{const}\): разность токов в катушках не меняется.

Силу тока через первую катушку в момент замыкания ключа \(K_2\) обозначим \(I_0\): \(I_1(t=0) = I_0\). В этот же момент ток через вторую катушку равен нулю: \(I_2(t=0) = 0\). Поэтому \[I_1(t) - I_2(t) = I_0 = \text{const}.\] В установившемся режиме через катушки текут постоянные токи \(I_{\text{уст.1}}\) и \(I_{\text{уст.2}}\). Разность потенциалов на концах катушек равна нулю, поэтому ток через источник \(I_{\text{ист}} = \dfrac{\varepsilon}{r}\). По правилу Кирхгофа \[I_{\text{уст.1}} + I_{\text{уст.2}} = \frac{\varepsilon}{r}.\] По условию \(I_{\text{уст.1}} = 2I_{\text{уст.2}}\). Отсюда \(I_{\text{уст.1}} = \dfrac{2\varepsilon}{3r}\), \(I_{\text{уст.2}} = \dfrac{\varepsilon}{3r}\), и искомая величина \[I_0 = I_{\text{уст.1}} - I_{\text{уст.2}} = \frac{\varepsilon}{3r}.\]

Работа на линейном участке равна площади трапеции под графиком; на изохоре она равна нулю. Для точек 1 и 3 на одной изотерме и точек 1, 2 на одной прямой через начало координат удобно выразить давления через \(T_1\) и \(T_2\).

\(A = \dfrac{RT_1}{2}\left(\dfrac{T_2}{T_1} - 1\right)\left(1 - \sqrt{\dfrac{T_1}{T_2}}\right)\).

Работа, совершаемая газом на участке, численно равна площади трапеции между графиком процесса, осью \(V\) и двумя перпендикулярами из начальной и конечной точек процесса на ось \(V\). Работа положительна, если газ расширяется, и отрицательна, если сжимается. Работа за весь цикл численно равна площади треугольника 1,2,3.

Работа на участке \(1\mapsto2\): \[A_{1\mapsto2} = \frac{1}{2}\,[P_1 + P_2]\,[V_{3(2)} - V_1].\] Работа на участке \(3\mapsto1\): \[A_{3\mapsto1} = -\frac{1}{2}\,[P_1 + P_3]\,[V_{3(2)} - V_1].\] На изохоре \(2\mapsto3\) работа равна нулю. Здесь \(V_{3(2)} = V_2\) — объём изохоры. Тогда работа за цикл \[A = A_{1\mapsto2} + A_{3\mapsto1} = \frac{1}{2}\,[P_1 + P_2][V_{3(2)} - V_1] - \frac{1}{2}\,[P_1 + P_3][V_{3(2)} - V_1].\] Раскрывая скобки и используя уравнение Клапейрона–Менделеева \(PV = RT\) (для одного моля), получаем \[A = \frac{1}{2}[RT_2 - RT_1] + \frac{1}{2}[P_3 - P_2]V_1 = \frac{1}{2}[RT_2 - RT_1] + \frac{1}{2}\left[\frac{P_3}{P_1} - \frac{P_2}{P_1}\right] RT_1.\] Из подобия прямоугольных треугольников на рисунке \(\dfrac{P_2}{V_{3(2)}} = \dfrac{P_1}{V_1}\), а из того, что точки 1 и 3 лежат на одной изотерме, \(P_1V_1 = P_3V_{3(2)}\). Отсюда \(P_1 = \sqrt{P_2P_3}\), то есть \(\dfrac{P_3}{P_1} = \dfrac{P_1}{P_2}\). Изохора \(2\mapsto3\) даёт \(\dfrac{P_2}{P_3} = \dfrac{T_2}{T_3} = \dfrac{T_2}{T_1}\). Следовательно, \[\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}, \qquad \frac{P_3}{P_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}.\] После подстановки получаем \[A = \frac{RT_1}{2}\left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right)\left(1 - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right).\]